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1、,第二章 序列算子与灰色序列生成,6.1 序列算子(sequence operator) 一、冲击扰动系统预测陷阱 定义6.1.1 设 为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为 其中为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列. 要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列X(0)的系统之变化规律的正确把握和认识,必须首先跨越障碍 .如果不事先排除干扰,而用失真的数据X 直接建模、预测，则会因模型所描述的并非由X(0) 所反映的系统真实变化规律而导致预测的失败。,二、缓冲算子公理(the axioms of buffer operator) 定义6.1.2 设系统行为数据序列为X=(x(1),x(2
2、), ,x(n) ,若 k=2,3, ,n ,x(k)-x(k-1)0则称X 为单调增长序列; 1中不等号反过来成立,则称X 为单调衰减序列; 存在k,k1 ,有 x(k)-x(k-1)0 x(k1)-x(k1-1)0 则称X为随机振荡序列.设 M=maxx(k)|k=1,2, ,n,m=minx(k)|k=1,2, ,n 称M-m 为序列X 的振幅.,定义6.1.3 设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算子,X经过算子D作用后所得序列记为 XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d) 称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列. 序列算子的作用可以进行多次,若D1,D2,D3皆为序列算子
3、,我们称D1D2为二阶算子,并称 X D1D2=(x(1)d 1d2, x(2)d 1d2 , ,x(n)d 1d2) 为二阶算子作用序列.,公理6.1.1(不动点公理, Axiom of Fixed Points) 设X为系统行为数据序列,D为序列算子,则D满足 x(n)d=x(n) 公理6.1.2(信息充分利用公理, Axiom on Suffi-cient Usage of Information)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k),k=1,2, ,n,都应充分参与算子作用的全过程. 公理6.1.3(解析化、规范化公理, Axiom of Ana-lytic Representat
4、ions)任意的x(k)d，皆可由一个统一的x(1), x(2), ,x(n)的初等解析式表达。,定义6.1.4 称上述三个公理为缓冲算子三公理(three axioms of buffer operators),满足缓冲算子三公理的序列算子,称为缓冲算子,一阶、二阶、 缓冲算子作用序列称为一阶、二阶、 缓冲序列(buffer sequences)。 定义6.1.5 设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时: 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小,我们称缓冲算子D为弱化算子; 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)加快或
5、振幅增大,则称缓冲算子D为强化算子.,三、缓冲算子的性质 定理6.1.1 设X为单调增长序列,XD为其缓冲序列,则有 D为弱化算子x(k)x(k)d D为强化算子x(k) x(k)d 定理6.1.2 设X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列,则有 D为弱化算子x(k) x(k)d D为强化算子x(k) x(k)d 定理6.1.3 设X为振荡序列,XD为其缓冲序列,则有 D为弱化算子 maxx(k) maxx(k)d min x(k) minx(k)d 2 D为强化算子 maxx(k) maxx(k)d min x(k) minx(k)d,四、实用缓冲算子的构造 定理6.1.4 设原始数据序列X=(
6、x(1),x(2), ,x(n),令 XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d) 其中 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为弱化算子(weakening operator). 推论6.1.1 对于定理6.1.4中定义的弱化算子D,令 XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2),则D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列，皆为二阶弱化算子。,定理6.1.5 设原始序列和其缓冲序列分别为 X=(x(1),x(2), ,x(n) XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d) 其中 x(n)d=x(n) 则当X为单调增长序列或单调衰减序列时,D皆为强化算子(str
7、engthening operator). 推论6.1.2 设D为定理6.1.5中定义的强化算子,令 XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2) 其中 x(n)d2=x(n)d=x(n) 则 D2 对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算子.,定理6.1.6 设X=(x(1),x(2), ,x(n),令 XDi=(x(1)di,x(2)di, ,x(n)di) 其中 x(1)d1=x(1), x(1)d2=(+1)x(1) x(n)di=x(n) i=1,2 则D1对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列为强化算子. 推论6.1.3 对于定理6.1.6中定义的D1,D2,
8、则 , 分别为单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子.,6.2 均值生成(Generations Based on Average),在收集数据时,常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺(也称空穴,blank)也有一些数据序列虽然数据完整,但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据,给研究工作带来很大困难,这时如果剔除异常数据就会留下空穴.因此,如何有效的填补空穴,自然成为数据处理过程中首先遇到的问题,均值生成是常用的构造新数据,填补老序列空穴,生成新序列的方法.,定义6.2.1 设序列X= (x(1),x(2), ,x(k),x(k+1), ,x(n) x(k)与x(k+1)为X
9、的一对紧邻值,x(k)称为前值,x(k+1)称为后值,若x(n)为新信息,则对任意k=n-1,x(k)为老信息. 定义6.2.2 设序列X在k处有空穴,记为(k),即 X=(x(1), x(2), ,x(k-1), (k), x(k+1), ,x(n) 则称x(k-1) 和x(k+1)为(k)的界值, x(k-1)为前界, x(k+1)为后界,当(k)由x(k-1)与x(k+1)生成时,称生成值x(k)为x(k-1) , x(k+1)的内点. 定义6.2.3 设x(k)和x(k-1)为序列X中的一对紧邻值,若有 x(k-1)为老信息, x(k)为新信息 X*(k)=x(k)+(1- )x(k-
10、1) 则称X*(k)为由新信息与老信息在生成系数下的生成值(generated value).,定义6.2.4 设序列 X=(x(1), x(2), ,x(k-1), (k), (k+1), ,x(n),为在 k处有空穴(k)的序列,而X*(k)=0.5x(k+1)+0.5x(k-1)为非紧邻均值生成数,用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序列(generated mean sequence of nonconsecutive neighbors) . 定义6.2.5 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n),若X*(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1)则称X*(k
11、)为紧邻均值生成数.由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列(generated mean sequence of consecutive neighbors). 在GM建模中,常用紧邻信息的均值生成.它是以原始序列为基础构造新序列的方法.,6.3 级比与光滑比(Stepwise and Smooth Ratios) 当序列的起点和终点为空穴,这时,就无法采用均值生成填补空缺,只有转而考虑别的方法.级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法. 定义6.3.1 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n)我们称,为序列的级比(stepwise ratio).称,为序列的光滑比(
12、smooth ratio).,定义6.3.2 设X为端点是空穴的序列: X=(1), x(2), ,x(n-1), (n) 若用(1)右邻的级比(或光滑比)生成x(1),用(n)左邻的级比(或光滑比)生成x(n),则称x(1)和x(n)为级比(或光滑比)生成;按级比生成(或光滑比生成)填补空穴所得的序列成为级比生成(或光滑比生成)序列. 命题6.3.1 设X是端点为空穴的序列,那么 若采取级比生成,则 x(1)=x(2)/(3) x(n)=x(n-1) (n-1) 2 若采取光滑比生成,则,命题6.3.2 级比与光滑比有下述关系:,命题6.3.3 若X=(x(1), x(2), ,x(n)为递
13、增序列,且有 对于k=2,3,n , (k)2 对于 k=2,3,n ,(即光滑比递减) 则对指定的实数0,1和k=2,3, ,n,当(k) 0, 时,必有(k+1) 0,1+ .,2 3 0.5 则称X为准光滑序列(quasi-smooth sequence). 定义6.3.4 设X为有空穴的序列,若新序列生成满足准 光滑条件,则称此生成为准光滑生成.,定义6.3.3 若序列X满足 1,6.4 累加生成算子(Accumulating Generation Operator)与累减生成算子(Inverse Accumulating Generation Operator) 累加生成是使灰色过程
14、由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要的地位.通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来. 累减生成是在获取增量信息时常用的生成,累减生成对累加生成起还原作用.累减生成与累加生成是一对互逆的序列算子.,则称D为X(0)的一次累加生成算子,记为1-AGO.称r阶算子Dr为X(0)的r次累加生成算子,记为r-AGO. 定义6.4.2 设X(0)为原始序列X(0)=(x(0)(1), x(0)(2), ,x(0)(n),D为序列算子,X(0)D=(x(0)(1)d, x(0)(2)d, ,x(0)(n)d),其中 x(0)(k)d= x(0
15、)(k)- x(0)(k-1) 则称D为X(0)的一次累减生成算子, 称r阶算子Dr为X(0)的r次累减生成算子.,定义6.4.1 设X(0)为原始序列X(0)=(x(0)(1), x(0)(2), ,x(0)(n),D为序列算子,X(0)D=(x(0)(1)d, x(0)(2)d, ,x(0)(n)d),其中,定理6.4.1 累减算子是累加算子的逆算子,即 (r)X(r)=x(0) 鉴于累减与累加互逆,我们将累减生成算子记为IAGO. 命题6.4.1 设X(0)为非负序列,X(0)=(x(0)(1), x(0)(2), ,x(0)(n), 其中,x(0)(k)=0, 且x(0)(k) a,b
16、 X(r)=(x(r)(1), x(r)(2), ,x(r)(n) 为X(0)的r次累加生成序列,则当r充分大时,对于0,存在N,使k,Nk=n,有下式成立:,这就是说,对于有界非负序列,经过多次累加生成后,所得序列可充分光滑,且光滑比(k) 0,命题6.4.2 设X(0)为非负序列 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2), ,x(0)(n), 其中,x(0)(k)=0, 且x(0)(k) a,b X(1)=(x(1)(1), x(1)(2), ,x(1)(n) 为X(0)的1次累加生成序列 z(1)=(z(1)(1), z(1)(2), ,z(1)(n) 为X(1)的紧邻均值生成序列,
17、则对于0,存在N,使k,Nk=n,有下式成立:,6.5 累加生成的灰指数律(Grey Exponen-tiality of Accumulating Generations ) 一般的非负准光滑序列经过累加生成后,都会减少随机性,呈现出近似的指数增长规律.原始序列越光滑,生成后指数规律也越明显.,定义6.5.1 设原始序列 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2), ,x(0)(n), (1)X(0)=(1) x(0)(1), (1) x(0)(2), , (1) x(0)(n) 为X(0)的一次累减生成序列,若 1 有k,使(1) x(0)(k)= x(0)(k)- x(0)(k-1)0
18、,则称序列X(0)在第k步是增长的,反之,称X(0)在第k步是衰减的 对于k=1,2, ,n,恒有(1) x(0)(k)0,则称序列X(0)为非波动增长序列 对于k=1,2, ,n,恒有(1) x(0)(k)0, (1) x(0)(k2)0则称X(0)为随机序列.,定义6.5.2 若 X(0)为非波动序列, (1)X(0)为随机序列,则称X(0)为一阶弱随机序列; 对于i=0,1,2, ,r-1, (i)X(0)皆为非波动序列,而(r)X(0)为随机序列,则称X(0)为r阶弱随机序列; 对于r,r, (r)X(0)为非波动序列,则称X(0)为非随机序列.,定理6.5.1 设X(0)为正序列,即
19、 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2), ,x(0)(n), x(0)(k)0 而x(r)为X(0)的r次累加生成序列,则X(0)必为r阶弱随机序列.,则当b=0时,称X(t)为齐(homogeneous )指数函数;b0时,称X(t)为非齐次(non-homogeneous )指数函数 定义6.5.4 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n),若对于任意的k , x(0)(1),定义6.5.3 设连续函数为,则称X为齐次指数序列,则称X为非齐次指数序列,定理6.5.2 X为齐次指数序列的充分必要 条件是,对于k=1,2, ,n,恒有(k)=const成立. 定义6.5.5 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n),若 则称序列X具有负的灰指数规律 则称序列X具有正的灰指数规律 则称序列X具有绝对灰度 为的灰指数规律 0.5时,称X具有准指数规律(the law of quasi-exponent),定理6.5.3 设X(0)为非负准光滑序列,则X(0)的一次累加生成序列X(1)具有准指数规律. 定理6.5.4 设X(0)为非负序列,若X(r)具有指数规律,且X(r)的级比(r)(k)= ,则有,