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1、 你的首选资源互助社区2010全国各地高考数学真题分章节分类汇编-数列(解析版)第4部分:数列一、选择题:1（2010年高考山东卷理科9）设an是等比数列，则“a1a2a3”是数列an是递增数列的（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件、（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得且，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。2（ 2010年高考全国卷I理科4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则
2、= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.3（2010年高考福建卷理科3）设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。4（2010年高考安徽卷理科10）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是
3、A、B、C、D、4.D【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.5. (2010年高考天津卷理科6)已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且。则数列的前5项和为来源:Z+xx+k.Com （A）或5 （B）或5 （C） （D） 【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则当公比时，由得，而，两者不相等，故不合题意；当公比时，由及首项为1得： ，解得，所以数列的前5项和为=，选C
4、。【命题意图】本小考查等比数列的前n项和公式等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思想以及计算能力。6（2010年高考广东卷理科4）已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=w_w w.k*s_5 u.c o_mA35 B.33 C.31 D.29【答案】C【解析】设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知，即 ，即，即7（2010年高考四川卷理科8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B） （C） 1 （D）2解析：由,且 w_w_w.k*s 5*u.c o*m作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1w_w w.
5、 k#s5_u.c o*m故an是公比为2的等比数列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1则答案：B8（2010年高考陕西卷理科9）对于数列a n，“a n+1a n（n=1，2）”是“a n为递增数列”的【B】(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件来源:学+科+网(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，为递增数列.当为递增数列时，若该数列为，则由不成立，即知：不一定成立.故综上知，“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选.9（2010年高考北京卷理科2）在等比数列中，公比.若，则m=（A）9 （B）10 （C）11 （D）12【答案】C【解析】
6、由得，又，所以，解得m=11，故选C。10（2010年高考江西卷理科5）等比数列中，函数，则ABCD【答案】C11（2010年高考浙江卷3）设Sn 为等比数列an的前n项和，8a2+ a5=0, 则S5/S2=（A）11 （B）5 （C）-8 （D）-11【答案】D12（2010年高考辽宁卷理科6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（A） (B) (C) (D) 【答案】B13(2010年高考全国2卷理数4）如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 来源:学科网来源:Zxxk.Com【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公
7、式和性质.【解析】13(2010年高考重庆市理科1)在等比数列中，则公比q的值为（A） 2（B） 3（C） 4（D） 8【答案】A解析： 。二、填空题：1（2010年高考福建卷理科11）在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 .【答案】【解析】由题意知，解得，所以通项。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。2. (2010年高考湖南卷理科15)若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 【答案】2，【解析】因为，而，所以m=1,2,所以2.所以1, 4，9
8、，16，猜想【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。3（2010年高考江苏卷试题8）函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_【答案】21 解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。4（2010年高考浙江卷14）设n2，n，（2 x+）（3x+）= a+ a x2+ a xn,将a（0kn）的最小值记为，则=0，=，=0，=，其=_.【答案】5（2010年高考浙江卷15）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等
9、差数列an 的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是 。【答案】或6（2010年高考辽宁卷理科16）已知数列满足则的最小值为_.【答案】三、解答题：1（2010年高考山东卷理科18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。2. （22）(2010年高考天津卷理科22)（本小题满分1
10、4分）在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为。()若=2k，证明成等比数列（）；()若对任意，成等比数列，其公比为. （i）设1.证明是等差数列； (ii)若，证明【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。【解析】（）证明：由题设，可得。所以=2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比数列。（）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得当1时，可知1，k从而所以是等差数列，公差为1。（）证明：，可得，从而=1.由（）有所以因此，以下分两种情况进行讨论：（
11、1） 当n为偶数时，设n=2m()若m=1,则.若m2，则+所以(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）所以从而综合（1）（2）可知，对任意,有证法二：（i）证明：由题设，可得所以由可知。可得，所以是等差数列，公差为1。（ii）证明：因为所以。所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。从而。所以，由，可得。于是，由（i）可知以下同证法一。3. (2010年高考数学湖北卷理科20） (本小题满分13分)已知数列满足: , , ；数列满足： =-（n1）.()求数列，的通项公式;()证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.4. (2010年高考湖南卷
12、理科21)（）是否存在【解析】易知令 (1)故在（2）（3）5. （2010年高考安徽卷理科20）（本小题满分12分） 设数列中的每一项都不为0。 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。来源:Zxxk.Com6. （22）（ 2010年高考全国卷I理科22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知数列中， .（）设，求数列的通项公式；（）求使不等式成立的的取值范围 .【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.【解析
13、】（）用数学归纳法证明：当时.（）当时，命题成立；7（2010年高考四川卷理科21）（本小题满分12分）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.8（2010年高考江苏卷试题19）（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解析 本小题主要考查等差数列的
14、通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。9. (2010年全国高考宁夏卷17）（本小题满分12分）设数列满足（1） 求数列的通项公式；（2） 令，求数列的前n项和（17）解：（）由已知，当n1时，。而 所以数列的通项公式为。（）由知 从而 -得 。即 10（2010年高考陕西卷理科16
15、）(本小题满分12分)已知是公差不为零的等差数列, 成等比数列.求数列的通项; 求数列的前n项和解由题设知公差由成等比数列得解得(舍去)故的通项,由等比数列前n项和公式得11（2010年高考江西卷理科22）（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；（2）存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列. 22（本小题满分14分）证明：（1）易知成等差数列，故也成等差数列，所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列（2）若成等差数列，则有，即 选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于因此令 ，可得 易验证满足，因此成等差数
16、列，当时，有且因此为边可以构成三角形其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：，据比例性质有：所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列12(2010年高考全国2卷理数18）（本小题满分12分）已知数列的前项和（）求；（）证明：【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.来源:Z&xx&k.Com【参考答案】【点评】2010年高考数学全国I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.13. (2010年高考重庆市理科21) (本小题满分12分，()小问5分，()小问7分) 在数列中，其中实数() 求的通项公式；() 若对一切有，求c的取值范围14（2010年上海市春季高考23)