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1、第三篇 动力学,动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系,运动分析 画速度、加速度图,动力学,静力学 运动学,受力分析 画受力图,动力学,质点动力学 质点系动力学,动力学的力学模型,质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转质点系,质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转质点 刚体的平动质点,刚体：质点系的一种特殊情形不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。,第十章 质点动力学基本方程,一、质点动力学的基本定律 二、质点的运动微分方程 三、质点动
2、力学的两类基本问题,一、质点动力学的基本定律,第一定律 (惯性定律):,不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。,不受力作用的质点是不存在的，指作用于质点上合力为零。,质点上作用的是平衡力系,惯性物体具有保持其原有运动状态的特征,第三定律 (作用与反作用定律):,两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。,第二定律（力与加速度关系定律）：,力的单位:牛顿,在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关，而且还决定于物体本身的特征 m 惯性,物体的运动状态容易改变惯性小,在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与物
3、体的质量成反比，方向与力的方向相同。,物体的运动状态不易改变惯性大,合力矢,二、质点的运动微分方程,矢量形式的微分方程,1 、在直角坐标轴上的投影,2、在自然轴上的投影,混合问题：对于多数非自由质点，一般同时存在 以上动力学的两类问题。,第一类问题：比较简单。 已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常未知 的是约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。 第二类问题：比较复杂。 已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动 微分方程的积分过程。,第一类问题：已知质点的运动,求作用于质点的力。 第二类问题：已知作用于质点的力,求质点的运动。,三 、质点动力学的两类基本问题,已知：物体由高
4、度h 处以速度v0 水平抛出，如图所示。空气阻 力可视为与速度的一次方成正比，即 ，其中 m 为物体的质量，v 为物体的速度，k 为常系数。 求：物体的运动方程和轨迹。,解：以物体为研究对象，分析物体任意位置的受力与运动。 列出物体直角坐标形式的运动微分方程,（1）,（2）,物体的运动方程,物体的运动轨迹,已知：图示质点的质量为m ，受指向原点O 的力 作用， 力与质点到点O 的距离成正比。如初瞬时质点的坐标 为 ， ，而速度的分量为 ， 。 试求：质点的轨迹。,解：画质点受力图（质点在水平面内运动）,解法一：,边界条件定积分常数 t=0 时,解法二：,（1）,（2）,已知：如图所示，在三棱柱
5、ABC 的粗糙斜面上，放一质量为m 的物体M，三棱柱以匀加速度a 沿水平方向运动。设摩擦 系数为 fs ，且 。为使物体M 在三棱柱上处于 相对静止， 试求：a 的最大值，以及这时物体M 对三棱柱的压力。,解：设物体M 即将沿斜面上滑时，画受力图,习题：质量为2kg的滑块在力F 作用下沿杆AB 运动，杆AB 在 铅直平面内绕A 转动。 已知： ， （s 的单位：m； 的单位：rad； t 的单位：s），滑块与杆AB的摩擦系数为0.1。 求： 时，推动滑块力F 的大小。,解：（1）滑块的速度分析,科氏加速度,垂直，,已知：图示一小球从半径为R的光滑半圆柱体的顶点无初速地 沿柱体下滑。 求：（1）
6、写小球沿圆柱体的运动微分方程； （2）小球脱离圆柱体时的角度 。 解：以小球为研究对象，分析小球任意位置的受力与运动。 列写小球自然坐标形式的运动微分方程,小球沿圆柱体的运动微分方程为,初始条件：,脱离约束的条件为 ，由此得出当,小球脱离圆柱体,例22 长l，质量为m 的均质杆 AB 和 BC 用铰链 B 联接，并用铰链 A 固定，位于平衡位置。今在 C 端作用一水平力F，求此瞬时，两杆的角加速度。,解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。 AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得,BC作平面运动，取B为基点，则,将以上矢量式投影到水平方向，得,(4),由(1) (4
7、)联立解得,对BC由刚体平面运动的微分方程得,(2),(3),例23平板质量为m1，受水平力F 作用而沿水平面运动，板 与水平面间的动摩擦系数为f ，平板上放一质量为m2的均质 圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。,解：取圆柱分析，,于是得：,F,a,C,取板分析,例24行星齿轮机构的曲柄 OO1受力偶 M 作用而绕固定铅直轴 O 转动，并带动齿轮O1在固定水平齿轮O 上滚动如图所示。设曲柄 OO1为均质杆，长l、重 P；齿轮 O1为均质圆盘，半径 r 、重 Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。,解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程,由运动学关系，有,联立求解(1) (4)，得,取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动,