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1、用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性,一般高等数学教材都是二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性。 但是,我们也可以用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性,这种方法有很直观的几何解释,其证明也更简单。,凹弧的定义:,凸弧的定义:,如何判断曲线的凹凸?,设曲线弧上凹,单增,Concave upward,下凸,设曲线弧上凸,单减,Concave downward,下凹,反之,能否由一阶导数的单调性或二阶导数的符号来判断曲线的凹凸? 答案是肯定的。 先证明一个引理。,引理 (利用一阶导数的单调性判断凹凸性) 设函数 f(x) 在 a, b 上连续,在 (a, b) 内可导,那么 若在 (a, b) 内 f
2、(x) 单调增加, 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凹的。 (2) 若在 (a, b) 内 f (x) 单调减少, 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凸的。,设,欲证:,区间 (x1, x2) 的中点,或,或,欲证:,由Lagrange中值定理,(1),不等式(1)成立。,欲证:,(1),不等式(1)成立。,同理可证,定理 2 (曲线凹凸性的判定定理) 设函数 f(x) 在 a, b 上连续,在 (a, b) 内二阶可导,那么 若在 (a, b) 内 f (x) 0, 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凹的。 (2) 若在 (a, b) 内 f (x) 0, 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凸的。,因为,由以上引理得到以下,华阳 南湖 18MAR12,