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1、第二讲 直角坐标系下二重积分的计算,内容提要 直角坐标系下二重积分的计算 教学要求 理解和熟练掌握二重积分的计算。,预备知识：,(1) 曲顶柱体体积：,(2 ) 在直角坐标下，,二重积分,(3)平行截面面积为已知的立体的体积,如果积分区域为,（1）X型区域,1.对积分区域的讨论：,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1.直角坐标系下二重积分的计算,如果积分区域为,（2）Y型区域,Y-型区域的特点： 穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,可以用平行于坐标轴的直线,(3) 一般区域：,把 D 分解成有限个 x-型区域或 y-型区
2、域,2.二重积分的计算公式：,通常写成：,如果积分区域为 y-型：,类似的有：,通常写成：,计算二重积分需要注意以下几点：,(1) 在计算二重积分时，首先根据已知条件确 定积分区域 D 是 x-型还是 y-型区域，由此确定将 二重积分化为先 y 后 x 的二次积分还是先 x 后 y 的 二次积分。 (2) 当积分区域 D 既是 x-型区域，又是 y-型 区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积 分顺序：,先 y 后 x,先 x 后 y,(3) 如果用平行于坐标轴的直线与积分区域 D 的,则必须分割区域 D,根据二重积分的性质,交线多于两个交点，,如图。,解法一：D 为 X-型区域,二重积分
3、化为先 y 后 x 的二次积分,解法二：D 为 Y-型区域,二重积分化为先 x 后 y 的二次积分,解,将 D 化为 X-型区域,将 D 化为 Y-型区域,D 为 X-型区域,解：画出积分区域 D 的图形.,求出各个交点，如图,将 D 化为 X-型区域,将 D 化为 Y-型区域,这样计算量 就比 X-型区域的计算量大的多 因此，计算二重积分时，要适当的选择积分区域。,D 为 y-型区域,解,将 D 化为 X-型区域,无法用初等函数表示,无法积分.,将 D 化为 Y-型区域,解,积分区域由两个y-型区域构成,转化积分区域为 Y-型区域,积分区域为 X-型区域,解,由原积分知，积分区域为 两个Y-型区域,转化积分区域为 X-型区域,解,积分区域由两个X-型区域构成,转化积分区域为 Y-型区域,的次序.,二重积分在直角坐标下的计算,（在积分中要正确选择积分次序）,小 结,Y型,X型,解,积分区域为 X-型区域,（如图）,故 原式,转化积分区域为 Y-型区域,改变积分,的次序.,