1、 .排队论例1题目：某火车站的售票处设有一个窗口,假设购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可效劳2人,试研究售票窗口前排队情况解:由题设=1(人/分),=2(人/分),=平均队长L=1(人)平均等待队长Lq=(人)平均等待时间Wq=(分)平均逗留时间W=1(分)顾客不需要等待的概率为Po=,等待的顾客人数超过5人的概率为P(N6)=- 优选. .例2题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。目的是选取使总费用最小的方案，有关费用损失如下表所示方案每天固定费用每天可变操作费每小时平均装卸袋数甲10010010
2、00乙1301502000丙2502006000设货车按最简单流到达，平均每天按10小时计算到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。解：平均到达率=1.5车/小时,效劳率依赖于方案=2车/小时=4车/小时=12车/小时由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为=2(小时/车)=0.4(小时/车)=0.095(小时/车)每天货车在系统停留的平均损失费为W1015,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)设备忙的概率=cp(元/天)而=0.75 , =0.375 , =0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示:方案固定费用/天可
3、变费用/天逗留费/天总费用/天甲6075300435乙13056.2560246.25丙2502514.75289.25例3题目：要购置计算机,有两种方案.甲方案是购进一大型计算机,乙方案是购置n台小型计算机.每台小型计算机是大型计算机处理能力的设要求上机的题目是参数为的最简单流,大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布,大型计算机的参数是.试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案解：设=，按甲方案，购大型计算机平均等待时间=平均逗留时间=按乙方案，购n台小型计算机，每台小计算机的题目到达率为，效劳率为, =平均等待时间=平均逗留时间=所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，
4、应该购置大型计算机. .word.zl. .例4题目：设船到码头，在港口停留单位时间损失元，进港船只是最简单流，参数为，装卸时间服从参数为的负指数分布，效劳费用为，是一个正常数.求使整个系统总费用损失最小的效劳率解:因为平均队长,所以船在港口停留的损失费为,效劳费为,因此总费用为求使到达最小,先求的导数让=0,解出因为=0 ()最优效劳率是,当时, . .word.zl. .例5 题目：一个理发店只有一个理发师,有3个空椅供等待理发的人使用,设顾客以最简单流来到,平均每小时5人,理发师的理发时间服从负指数分布,平均每小时6人.试求,解:=5(人/小时) , =5(人/小时) , =4 , 用公
5、式(7.2.10),(7.2.11),(7.2.12),(7.2.13)得到=0.438(小时)(小时). .word.zl. .例6题目：给定一个系统,具有=10(人/小时), =30人/小时，=2.管理者想改良效劳机构.方案甲是增加等待空间,使=3.方案乙是将平均效劳率提高到=40(人/小时),设效劳每个顾客的平均收益不变,问哪个方案获得更大收益,当增加到每小时30人,又将有什么结果解:由于效劳每个顾客的平均收益不变,因此效劳机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数成正比(注意,不考虑本钱)方案甲:k=3, =10, =30=9.75方案乙: k=2, =10, =40=9.5
6、因此扩大等待空间收益更大当增加到30人/小时时,=1.这时方案甲有=22.5(人/小时)而方案乙是把提高到=40人/小时.=1, k=2=22.7(人/小时)所以当=30人/小时时,提高效劳效益的收益比扩大等待空间的收益大. .word.zl. .例7题目：一个大型露天矿山,考虑建立矿山卸矿场,是建一个好呢还是建两个好.估计矿车按最简单流到达,平均每小时到达15辆,卸车时间也服从负指数分布,平均卸车时间是3分钟,每辆卡车售价8万元,建立第二个卸矿场需要投资14万元解:平均到达率 =15(辆/小时) 平均效劳率 =20(辆/小时)只建一个卸矿场的情况:=0.75在卸矿场停留的平均矿车数 =3(辆
7、)建两个卸矿场的情况:=0.75, =0.375因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为:3-0.87=2.13辆.就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石.而每辆卡车的价格为8万元,所以相当于增加2.138=17.04万元的设备,建第二个卸矿场的投资为14万元,所以建两个卸矿场是适宜的. .word.zl. .例8题目：有一个系统,假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为元,每个效劳设备单位时间的单位效劳率本钱为元.要求建立几个效劳台才能使系统单位时间平均总损失费用最小解:单位时间平均损失费为要求使到达最小的正整数解,通常用边际分析法:找正整数,使其满足由,得到所以 同样,由得到因此必须
8、满足不等式取=1,2,计算与之差,假设落在,之间,就是最优解. .word.zl. .例9题目：某公司中心实验室为各工厂效劳,设做实验的人数按最简单流到来.平均每天48(人次/天),=6(元).作实验时间服从负指数分布,平均效劳率为=25(人次/天),=4(元),求最优实验设备,使系统总费用为最小.解:= 48(人次/天)，=25(人次/天)，1.92按计算,等(注意以下公式只对1成立).将计算结果列成下表1223.49021.845154.9432.6450.58221.84527.8742.0630.1110.58228.3851.9520.11131.71=16.67所以取=3,总费用最
9、小. .word.zl. .例10题目：设有2个工人看管5台自动机,组成系统,=1(次/运转小时),=4(次/小时),求平均停顿运转机器数 、平均等待修理数以及每次出故障的平均停顿运转时间、平均等待修理时间解：，由7.3.1,(7.3.2)有 =0.3149 =0.391 =0.197由7.3.3,(7.3.4)有 =0.118,=1.094,=3.906由7.3.5,(7.3.6)有=0.28(小时),=0.03(小时)实际上,这些数量指标有表可查例11题目：设某厂有自动车床假设干台,各台的质量是一样的,连续运转时间服从负指数分布,参数为,工人的技术也差不多,排除故障的时间服从负指数分布,参
10、数为.设=0.1,有两个方案.方案一:3个工人独立地各自看管6台机器.方案二,3个工人共同看管20台机器,试比拟两个方案的优劣解:方案一.因为是分别看管,可以各自独立分析,是3个系统.由上面的公式可求出=0.5155,=0.5155, =5.155=0.3295, =0.845,=0.4845,=0.0549方案二.=20,=3,=0.1,可求得=1.787,=17.87,=0.339=2.126,=0.4042,=0.01695机器损失系数,修理工人损失系数都小于方案一,所以方案二较好. .word.zl. .例12题目：某露天铁矿山,按设计配备12辆卡车参加运输作业(每辆载重160吨,售价
11、72万元),备用车8辆,要求保证同时有12辆车参加运输的概率不低于0.995.设每辆平均连续运输时间为3个月,服从负指数分布.有两个修理队负责修理工作,修理时间服从负指数分布.平均修复时间为5天.问这个设计是否合理.解:由假设知,这是系统,=12,=3,=6(月)=2我们有=0.3333,=36用的公式,求,要求设=2,有=0.9474,当=3时,有=0.9968.所以3辆备用车就能到达要求,原设计用的备用车太多当=3时,卡车的利用律=0.7937. .word.zl. .例13题目：假定例2.1中工人的到达服从泊松分布，=8人/小时，试分别计算1h内到达4，5，6，12个工人的概率。解： 泊
12、松分布给出发生x个事件的概率为： Px=当x4时， Px= = = 0.057当x5时， Px= = 0.092其他值可以计算直接得到： P4 = 0.057 P5 = 0.092 P6 = 0.122 P7 = 0.140 P8 = 0.140 P9 = 0.124 P10= 0.099 P11= 0.072 P12= 0.048从占概率89.4%的计算看出，在412范围内两边的概率都要小一些。估计可能有一些差异，但50%以上的时间内到达者是在每小时610人的范围内。. .word.zl. .例14题目：某轮胎维修中心每天营业10h修理漏气的轮胎，平均修理一个需要20min，顾客到达平均每天
13、有20人。计算1正在为一个驾驶员效劳的概率；2在一周6天的工作日内没有漏气轮胎需要维修的小时数。解： 1 所求的概率P就是一定义的流量强度为每10 min 20人，即每小时2人为每小时效劳的顾客数 = 60/20 = 3 P = = 66.7% 2系统中有驾驶员的概率为，它说明有轮胎在修理或等待修理。当系统中无顾客时，说明没有正在修理的轮胎，其概率为 1 P = 1 - = 而在一周内占 = 20 min. .word.zl. .例15题目：一个超级市场的收款员平均每小时能效劳30人，1设顾客平均每小时到达25人，计算有一名或更多名顾客排队的平均队长；2为使平均队长减少1人 ，效劳时间相应要有
14、什么改良？解： 1平均队长公式为 = 25 人/小时 = 60/2 = 30 人/小时得 = = 平均队长为 = 6 2如果平均队长时6 - 1= 5= 5 即 1 = 5 - 5 得出 = 0.8 = 0.8 即 = 故得到改良后的效劳时间为 1min55s. .word.zl. .例16题目：病人已平均每小时8人的速率来到只有一名医生的诊所，候诊室有9把座椅供病人等候，对每名病人诊断事件平均6min。计算1开诊时间内候诊室满员占时间比例；2求下述情况的概率a有一个病人；b由2 个病人在候诊室外排队。解: 1这个系统包含候诊室与诊断室，所以当候诊室刚好满员时，n = 1 + 9 = 10 =
15、 8/10 =0.8 P10= 1 0.8 = 0.021即占开诊时间的2，1% 2a系统已扩展到n = 1 + 9 + 1候诊室外= 11 P11= 1 0.8 = 0.0172 b乘上0.8得到新的概率为 0.80，0172 = 0.0138. .word.zl. .例17题目：一个大企业的高级经理职责是审批申请。每一份申请由一名行政助手送来，并且这名助手将留下来协助经理直道审批完毕。审批每份申请的平均时间为12min，助手每2h到达7人，经理工作时间的费用为5镑/小时，助手为2.25镑/小时。试计算下述情况下每小时的损失：1助手排队等待审批；2经理等待助手送申请来。解: 1为每2 h 7
16、人 = 3.5人/小时 = 60/12 = 5 人/小时所以 = 3.5 / 5 = 0.7系统中助手的期望数等于 = = 每名助手在系统中平均逗留的时间为 = = h所以助手的排队损失为 = 3.5 镑/小时 2当没有助手在系统中时，经理将等待送来申请。仿照例2.42其概率为 1 - = 1-0.7 =0.3所以每小时损失为0.35 = 1.5 镑. .word.zl. .例18题目：车辆按单车道排列驶向一公路隧道，平均每分钟3辆。车辆需要在一个收费处交费，交费时间平均每辆车15 s 。试述当多设一个收费处时1系统中无车的概率；2系统中的平均车辆数；3每辆车在系统中的平均时间。解： 1对单通
17、道的系统 = 3 辆/分 = 60/15 = 4辆/分所以 = = 0.75 得 P = 0.25对多通道的系统变为，其中c为通道数。如多设一个收费口，c = 1 + 1 = 2,那么 = = 0.375新的概率将=0.375代入下式求得分母中的r说明要求和的项数。对这里要求解得问题，先让r=0，求出花括号中的 值，并将其加到r = 2 1 = 1时的的值上。如果需要计算设8个收费口时的概率，r将依次取值0，1，2，7。、对r = 0 表达式 = = 1 对r = 1 表达式 = = 0.75所以其总合 = 1 + 0.75 = 1.75，得出概率值为 = 0.45对三个收费口 = = 0.2
18、5分母中当 r = 0 = 1 r = 1 = = 0.75 r = 2 = = 0.28 1 + 0.75 + 0.28 = 2.03所以新的概率是 = = 0.45 2设一个收费0时平均车辆数为 = 4对多通道系统利用1中计算得到的概率，概率值依赖于通道数。然后用下面公式求出它的值得出要求的平均数，对两个通道 = 0.45得出 = 0.87 辆车对三个通道 =0.46 由此得出 = 0.76 辆车 3不考虑车辆进入系统时的减速和离开时加速造成的耽误，只计算车辆在系统中的平均时间。对单通道来说，这个时间为 = 1 分/辆车对多通道来说，其停留时间的公式为设两个收费口时为 = 0.29 min
19、设三个收费口时为 = 0.25 min. .word.zl. .例19题目：一个钳工看管一组5台同类型的机器。每台机器要求照管的概率为1/8，应用二项分布从理论上分析机器需不需要这名钳工照管的情况。解：P = 1/8 是一台机器要求照管的概率，于是q= 1 1/8 = 7/8是不需要照管的概率。展开式的各个项给出6种可能的状态的概率，即 = + + + + +分别计算各项的值，相加并按百分数计算，我们得到下表中的信息： 机 器 数 有 关 占总时间 需要照管 不需要照管 频 数 的百分比 5 0 1 0.003 4 1 35 0.107 3 2 490 1.495 2 3 3430 10.46
20、8 1 4 12005 36.636 0 5 16807 58.291 32768 100.000为计算方便将每个概率上，有表中数据知，可以期望有略微超过一半的时间有机器均平安运转，有超过36%的时间有一台机器需钳工照管，不到2%的时间有3台以上机器需照管。. .word.zl. .例20题目：一种制造电子组件的机器必须每5min停一次以更换一个线圈，这一操作平均需要调整控制器时操作者也要停机，这种调整平均每12min一次，每次需45 s 。计算更换线圈的效劳因子。解： = 每小时平均停顿次数 平均效劳时间 = = 对控制器的调整为 = 得到总的效劳因子是 + = 因此每小时所有机器将停顿运转
21、的时间总数为 = min例21题目：一台机器平均每10min需操作人员效劳以次，每次需要 min。如一个操作人员需照管4台这样的机器，那么需一小时内他可能有多少空闲时间。解： = 停机次数 平均效劳时间，它等于 = 。当所有机器都在运转时，操作人员是空闲得。对 n = 4， = = 0.61所以他每小时可能有36min36s的空闲时间。例22题目：某企业拥有5台送货的车辆，除主要用于送货外，尚需少量时间用于维护，修理。每运行100h需维修weci ，每次需20min，计算分别有0，1，2和3辆车未使用所占的时间比例。解： 同前 = = h=1/ = 0.9668有r台机器这个例子中为车辆停车的概率按下式计算 ，由此 = = 0.0322 = 0.000859 =0.0000172因此有96.68%的时间所有车辆都在运行，占3%的时间有4辆运行，只有3台以下运行占的时间比例少，实际上可不考虑. .word.zl.
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