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1、3.4 基本不等式,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,a,b,问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积和是S=,问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=，,问3：S与S有什么样的关系？,从图形中易得， s s,即,探究1,探究2,问题1：s, S有相等的情况吗？何时相等？,图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有,形的角度,数的角度,当a=b时a2+b22ab=(ab)2=0,结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且
2、仅当a=b时，等号成立,此不等式称为重要不等式,探究2,问题2：当 a,b为任意实数时， 成 立吗？,类 比 联 想 推 理 论 证,（特别的）如果 也可写成,a0 ,b0 ,探究3,a0 ,b0 ,概念：,一般地，对于任意实数a，b，我们有,当且仅当a=b时等号成立,证明：,0,（ a0，b0）,基本不等式,分析法证明基本不等式,要证,只要证,要证，只要证,要证 ，只要证,显然， 是成立的，当且仅当a=b时， 中的等号成立,运用基本不等式证明：,1. 基本不等式：,a=b,基本不等式的变形：,知识要点：,（当且仅当_时取“”号）,（当且仅当a=b时取“”号）,重要变形2,基础知识,（由小到大
3、）,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小 和定积最大,（ a0，b0）,注意,1、两个不等式的适用范围不同; 2、一般情况下若“=”存在时，要注明等号成立的条件； 3、运用重要不等式时，要把一端化为常数（定值）。,一正 、二定 、三相等,（1）如果a，b0，且abP（定值），那么 a+b有最_值_(当且仅当_时取“=”）. （2）如果a，b0，且abS （定值），那么 ab有最_值_(当且仅当_时取“=”）.,2. 利用基本不等式求最值问题：,小,大,利用基本不等式求最值的条件：,一正、二定、三相等。,一知识要点,a=b,
4、a=b,（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？,（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？,ab=36,当a=b=6时，和a+b最小为12,a+b=18,当a=b=9时，积ab最大为81,是解决最大（小）值问题的有力工具。,【应用练习】,例题讲解,结论1：两个正数积为定值，则和有最小值,一利用基本不等式证明不等式,二、利用基本不等式求函数的最值,例:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?,分析:水池呈
5、长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。,解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有: 由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得 即 当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.,设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为a(a1)，画面的上下各留出8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸
6、，能使宣传画所用纸张面积最小？,设宣传画的宽为xcm，面积为S,某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少？),设使用x年报废最合算,时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？,练习：已知三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？ 最小值是多少？,解：,设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,xy=100,篱笆的长为2（x+y）m,由,可得,2（x+y）40,当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10,这
7、个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m,设三角形的两条直角边为x、y,解：,则s=,xy=100,当且仅当x=y=10时取等号,当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20,例题1,（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大？面积最大值是多少？,练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？,解：,设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,2(x+y)=36,即 X+y=18,=81,当且仅当x=y=9时取等号, 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81,解：,设矩形的长为xm，宽为ym，则,
8、2(x+y)=20,即 x+y=10,=25,当且仅当x=y=5时取等号, 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为25,x,x,y,y,（3）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形 的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？,解：,设菜园的长和宽分别为xm，ym,则 x+2y=30,x,y,菜园的面积为s=xy=,x2y,=,当且仅当,x=2y时取等号,此时x=15，y=,解：,x+4y=40,x（4y）,=400,xy100,当且仅当x=4y时等号成立,此时，x=20,y=5,当x=20,y=5时，xy的最大值为100,分析：,水池呈长方形，它
9、的高时3m，底面的长与宽没有确定。如果地面的长和宽 确定了，水池的总造价也就确定了。因此，应当考察底面的长与宽取什么值 时水池的总造价最低。,解：,设底面的长为xm，宽为ym，水池的总造价为z元，,根据题意，有,x,y,3,Z=150,+,=240 000+720(x+y),容积为4800,3xy=4800,即xy=1600,由基本不等式与不等式的性质，可得,z,z297 600,当x=y，即x=y=40时，等号成立,所以，将水池的底面设计成长40m的正方形时总造价最低， 最低总造价为297 600元.,练习：,做一个体积为32,，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么,值时用纸最少？,解：
10、,根据题意，有,Z=2,+4x+4y,体积为32,2xy=32,即xy=16,由基本不等式与不等式的性质，可得,z32+48=64,x,y,2,设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z,=32+4(x+y),=8,当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4,当x=y=4时，用纸最少为64,拓展提高,D,高考欣赏,B,略解：,(4,6),A,1. 两个不等式 （1） （2） 当且仅当a=b时，等号成立 注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”,课堂小结,3. 利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解。 4. 形如 这类函数，当不能利用基本不等式求 最值时，可以借助函数单调性求解。,