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1、1.2.3 空间几何体的直观图,上图是浙江省台州的斑马线披上的“立体彩装”.,画在地面上的斑马线怎么会产生出了立体感觉？,如何把立体图形画在纸上？,这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？,三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，如何绘制空间图形的直观图呢？,立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法,1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变. 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变. 3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变,投影规律,例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.,注意：画水平放置的平面图形
2、的关键是确定多边形顶点的位置,画法：(1)在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O画相应的x轴，y轴，两轴相交于点O，使 xo y=45.,建系时要尽量考虑图形的对称性,(2)以O为中点，在x轴上取AD=AD，在y轴上取 以点N为中点，画BCx轴，并且等于BC；再以M为中点，画EFx轴，并且等于EF.,注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长变为原来的一半,并擦去辅助线x轴和y轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图,(3)连接,请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤.,【变式】1.已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所
3、示的直观图,BO=CO=1,AO= ,那么原ABC是一个() A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形,【解析】选A.由已知得ABC中AOBC，BO=CO=1，AO= (如图)，所以BC=2BO=2，AB=AC= 所以AB=AC=BC，所以ABC是等边三角形.,斜二测画法的步骤,(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xoy=45（或135），它们确定的平面表示水平面,(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段,(3)已知图形中平
4、行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半,【提升总结】,斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？,斜二测画法,(二) 空间几何体的直观图的画法,对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？,例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、 2 cm的长方体ABCD-ABCD的直观图.,画法：（1）画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使xOy=45， xOz=90. （2）画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，
5、使MN=_cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=_cm，分别过点M和N作y轴的平行线，过点 P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD.,4,1.5,(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA,BB，CC,DD.,思考2:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？,M,画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？,画轴,画底面,成图,画侧棱,分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体.它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可
6、以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.,例3 如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.,相应的,P,P,A,B,A,B,O,O,1.如图所示:正方形OABC的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( ),【解析】1.由斜二测画法可知,对应的B点应在直角坐标系的 y轴上且|OB|= ,点A在x轴的正半轴上且|OA|=1,原图形如图: 四边形OABC为平行四边形,AB= 所以其周长为8 答案:8,2.已知ABC的斜二测直观图ABC是边长为a的正三角形,求ABC的面积.,【解析】如图甲所示为直观图,乙为实际图形,取BC所在直线为x轴,BC中点O与Ox成45的直线为
7、y轴,过A点作ANOx,交y轴于N点,过A点作AMOy,交x轴于M点.则在直角三角形AOM中,因为OA= a,AMO=45,所以MO= AO= a,所以AM= a. 如图乙，在直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离 为 a，到y轴距离为 a的点A，在x轴左侧取OB=OB, 右侧取OC=OC,连接AB，AC.则ABC即为所求，显然 SABC=,【规范解答】如图, 由斜二测画法原理知,原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高.,原梯形的高OC是直观图中OC长度的2倍,OC的长度是 直观图中梯形的高的 倍.由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的长度的2 倍 故其面积是梯形OABC面积的2 倍,因为梯形OABC的面积为 ,所以原梯形的面积是4.,D,