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1、1.2 曲面及其方程,一、空间曲面方程概念,曲面的实例： 水桶的表面 台灯的罩子面 反光镜的镜面， 管道的外表面 锥面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、 二次曲面,（2）根据方程F（x，y，z）=0的特点，讨论该方程所表示曲面的形状,下面介绍一些常见的曲面,主要讨论一下两个问题：,（1）根据曲面上动点的特性建立曲 面的方程F（x，y，z）=0,常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、 二次曲面,方程 F(x,y,z)=0 决定了空间直角坐标系上的一张曲面.,二、平面和球面,设有三元一次方程,此方程称为平面的一般方程.,（1）
2、平面,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D = 0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xOy 面 的平面;,平行于 yOz 面 的平面；,平行于 zOx 面 的平面.,根据题意有,化简得所求方程,解,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知
3、点,得,化简,得所求平面方程,想一想：,通过x轴：A=D=0 通过y轴:B=D=0 通过z轴： C=D=O,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,（2）球面,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,定义,三、柱面与旋转曲面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.,1、柱面,播放,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的
4、形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程
5、:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行
6、于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,1、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,柱面的母线平行于z轴,准线C是xOy平面上的一条曲线,其方程为F(x,y)=0.,例如方程,表示的曲面 :,的坐标也满足方程,在xoy面上，,表示准线圆C,沿曲线C平行于z 轴的一切直线所形成的曲面
7、称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行z轴的直线l ,表示母线平行于z轴,准线C是xOy平面上的一条曲线的圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线:xoz 面上的曲线 l3.,母线:,柱面,准线:xoy 面上的曲线 l1.,母线:,准线:yoz 面上的曲线 l2.,母线:,柱面举例,抛物柱面,平面,椭圆柱面.,2、旋转曲面,定义 以一条平面曲线C 绕其平面上的一条直线L 旋转所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,播放,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平
8、面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以
9、一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2
10、、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,将 代入,得方程,例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,解,圆锥面方程,（2）圆锥面,（1）球面,（3）旋转双曲面,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲
11、面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,四、二次曲面,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为,球面,方程可写为,（二）抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,（ 与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,（三）双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,双叶双曲面,小结,常见的曲面： 平面（方程的特点是什么） 球面（方程的特点是什么） 柱面（方程的特点是什么） 旋转曲面（方程的特点是什么） 二次曲面（如何大概了解图形全貌）,