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1、陕西省汉中市南郑中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n=（）A10B11C12D132（5分）下列不等式不成立的是（）Aa2+b2+c2ab+bc+caB+（a0，b0）C（a3）D+23（5分）用反证法证明命题“
2、设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根4（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件C命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题5（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面B
3、B1D1D所成角的正弦值为（）ABCD6（5分）已知直线l1的方向向量=（2，4，x），直线l2的方向向量=（2，y，2），若|=6，且，则x+y的值是（）A3或1B3或1C3D17（5分）已知曲线和直线ax+by+1=0（a，b为非零实数），在同一坐标系中，它们的图形可能是（）ABCD8（5分）已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（）Ay2=8xBy2=8xCy2=4xDy2=4x9（5分）若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为（）A1B1CD以上都不对10（5分）已知M（a，2）是抛物线y2=2x上的一定点，直线
4、MP、MQ的倾斜角之和为，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为（）ABCD二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卷的相应位置）11（5分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|=7，则ABF1的周长为12（5分）设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为 13（5分）已知椭圆C的方程为+=1（a2b0），则椭圆C的离心率的取值范围是14（5分）已知F是抛物线y2=4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P（3，1）是一个定点，则|MP|+|MF|的最小
5、值是15（5分）已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b=三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）求双曲线9y24x2=36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线的方程17（12分）已知命题p：对于m，不等式a25a3恒成立；命题q：不等式x2+ax+20有解，若pq为真，且pq为假，求a的取值范围18（12分）设抛物线y2=8x的焦点是F，有倾角为45的弦AB，|AB|=8（1）求直线AB方程，（2）求FAB的面积19（12分）已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABC
6、D，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点（1）求点D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离20（13分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长21（14分）设x，yR，、为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量+=2x+2y，=4，|+|=8（1）求动点M（x，y）的轨迹c的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线c交于A，B两点
7、，设=，是否存在这样的直线l，使四边形OAPB是矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，请说明理由陕西省汉中市南郑中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n=（）A10B11C12D13考点：归纳推理
8、专题：计算题分析：根据m2=1+3+5+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值解答：解：，m=623=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，n3的分解中最小的数是21，n3=53，n=5m+n=6+5=11故选B点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键2（5分）下列不等式不成立的是（）Aa2+b2+c2ab+bc+caB+（a0，b0）C（a3）D+2考点：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：A利用（ab）2+（bc）2+（ac）20，展开即可得出
9、；B平方作差，展开即可得出；C利用分子有理化=，=，即可比较出大小D平方作差，展开即可得出解答：解：A（ab）2+（bc）2+（ac）20，a2+b2+c2ab+bc+ca，正确；B=0，因此正确；Ca3，=，因此正确D.=120，因此不正确故选：D点评：本题考查了平方作差、乘法公式、有理化因式比较两个数的大小，考查了计算能力，属于基础题3（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证
10、法与放缩法 专题：证明题；反证法分析：直接利用命题的否定写出假设即可解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根故选：A点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查4（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件C命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：命题的否定；必要
11、条件、充分条件与充要条件的判断 分析：对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x21，则x1”，故错误对于B：因为x=1x25x6=0，应为充分条件，故错误对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为xR，均有x2+x+10故错误由排除法即可得到答案解答：解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”因为否命题应为“若x21，则x1”，故错误对于B：“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件因为x=1x25x6=0，应为充分条件，故错误对于C：命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”因为命题的否定应为xR，均有x2+x+10故错
12、误由排除法得到D正确故答案选择D点评：此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点5（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）ABCD考点：直线与平面所成的角 专题：计算题分析：由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角解答：解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2
13、，1）=（2，0，1），=（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量cos，=BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D点评：此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题6（5分）已知直线l1的方向向量=（2，4，x），直线l2的方向向量=（2，y，2），若|=6，且，则x+y的值是（）A3或1B3或1C3D1考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直 专题：空间向量及应用分析：由已知利用向量的模和向量垂直的性质得，求出x，y，由此能求出x+y的值解答：解：由已知得，解得x=4，y=1或x=
14、4，y=3，x+y=3或x+y=1故选：A点评：本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用7（5分）已知曲线和直线ax+by+1=0（a，b为非零实数），在同一坐标系中，它们的图形可能是（）ABCD考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：证明题分析：可以以直线的方程为主进行讨论，根据直线的位置关系得出参数a，b的符号，再由此关系判断曲线的形状，不出现矛盾者即是所求的正确选项解答：解：A选项中，直线的斜率大于0，故系数a，b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对；B选项中直线的斜率小于0，故系数a，b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对；C选项中，直线斜率为正，故系
15、数a，b的符号相反，且a正，b负，此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线，图形符合结论，可选；D选项中不正确，由C选项的判断可知D不正确故选：C点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键是根据直线的位置关系判断出两个参数的符号，以此确定曲线的类型，再结合选项中图形的形状，得出正确答案8（5分）已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（）Ay2=8xBy2=8xCy2=4xDy2=4x考点：抛物线的标准方程；抛物线的定义 专题：计算题分析：先根据MN的坐标求出|MN|然后设点P的坐标表示出关系=0即可得到答案解答：解：设P（x，y），
16、x0，y0，M（2，0），N（2，0），则由，则，化简整理得y2=8x故选B点评：本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点也是2015届高考常常考查的重要内容之一在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直，既要注意它们联系，也要注意它们的区别9（5分）若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为（）A1B1CD以上都不对考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题分析：先利用数形结合结合的方法把理解为是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率，显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线方程与抛物线方程联立，根据判别式等
17、于0求得k解答：解：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率，显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x2）代入椭圆方程（4+k2）x24k2x+4k24=0令=0，k=kmin=；故选C点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题解题的关键是利用的几何意义，利用数形结合的方法来解决10（5分）已知M（a，2）是抛物线y2=2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为（）ABCD考点：抛物线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：将M代入抛物线求出a，利用直线MP，MQ的倾斜角的和为，则其斜率互为相反数，设出MP
18、的方程，将方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出P的纵坐标与k的关系；同理得到Q的纵坐标与k的关系；利用两点连线的斜率公式求出PQ的斜率解答：解：将（a，2）代入抛物线方程得a=2，即M（2，2）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为k，设p（x1，y1），Q（x2，y2）直线MP的方程为y2=k（x2），由，消x得，ky22y+44k=0，由韦达定理得y1+2=，同理y2+2=，y1+y2=4，PQ的斜率为=故选B点评：本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常用的方法是将它们的方程联立，通过韦达定理得到交点的坐标的关系、考查两点连线的斜率公式二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25
19、分，把答案填写在答题卷的相应位置）11（5分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|=7，则ABF1的周长为30考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长解答：解：由双曲线的方程可知a=4，则|AF1|AF2|=8，|BF1|BF2|=8，则|AF1|+|BF1|（|BF2|+|AF2|）=16，即|AF1|+|BF1|=|BF2|+|AF2|+16=|AB|+16=7+16=23，则ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=23+7=30，故答案为：30
20、点评：本题主要考查双曲线的定义，根据双曲线的定义得到A，B到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键12（5分）设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为 考点：空间两点间的距离公式 专题：计算题分析：设出点M的坐标，利用A，B的坐标，求得M的坐标，最后利用两点间的距离求得答案解答：解：M为AB的中点设为（x，y，z），x=2，y=，z=3，M（2，3），C（0，1，0），MC=，故答案为：点评：本题主要考查了空间两点间的距离公式的应用考查了学生对基础知识的熟练记忆属基础题13（5分）已知椭圆C的方程为+=1（a2b0），则椭圆C的离心率的取值范围是解答
21、：解：由a2b可得a24b2，又b2=a2c2，可得a24a24c2，即为4c23a2，即ca，即有e=，由0e1，可得e1故答案为：17（12分）已知命题p：对于m，不等式a25a3恒成立；命题q：不等式x2+ax+20有解，若pq为真，且pq为假，求a的取值范围考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：分别求出命题p，q中的a的取值范围，再利用若pq为真，且pq为假，则p与q一真一假即可得出解答：解：若命题p：对于m，不等式a25a3恒成立；由于=3，a25a33，解得a6或a1若命题q：不等式x2+ax+20有解，则=a280，解得或若pq为真，且pq为假，则p与q一真一假当p真q假时，
22、解得，此时当q真p假时，解得，此时综上可知：a的取值范围是点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、恒成立问题的等价转化、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题18（12分）设抛物线y2=8x的焦点是F，有倾角为45的弦AB，|AB|=8（1）求直线AB方程，（2）求FAB的面积考点：抛物线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设AB方程为y=x+b，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得b=3，进而得到直线方程；（2）求得抛物线的焦点，运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，计算即可得到解答：解：（1）设AB方程为y=x+b由，消去y
23、得：x2+（2b8）x+b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（2b8）24b20，解得b2且x1+x2=82b，x1x2=b2|AB|=|x1x2|=8，解得：b=3，直线方程为y=x3，即xy3=0； （2）抛物线y2=8x的焦点是F（2，0），即有F到直线xy3=0的距离为d=，则FAB的面积S=d|AB|=8=2点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点到直线的距离公式和三角形的面积计算，属于中档题19（12分）已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点（1）求点D到
24、平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离考点：点、线、面间的距离计算 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点D到平面PEF的距离；（2）利用ACEF，可得直线AC到平面PEF的距离也即是点A到平面PEF的距离解答：解：（1）建立如图坐标系，则A（1，0，0），E（1，0），F（，1，0）P（0，0，1）=（，0），=（1，1）设平面的法向量为=（x，y，z），则故=（2，2，3），点D到平面PEF的距离d=；（2）ACEF直线AC到平面PEF的距离也即是点A到平面PEF的距离又=（0，0）点A到平面PEF的距离为d=点评：本题考查点
25、D到平面PEF的距离、直线AC到平面PEF的距离，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（13分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何分析：（）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空
26、间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1CE；（）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1CEC1的正弦值可求；（）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出的值，则线段AM的长可求解答：（）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）则，而=0所以B1C
27、1CE；（）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=3，y=2所以由（）知B1C1CE，又CC1B1C1，所以B1C1平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=从而=所以二面角B1CEC1的正弦值为（）解：，设 01，有取为平面ADD1A1的一个法向量，设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则=于是解得所以所以线段AM的长为点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题21（14分）设x，yR，、为直角坐标平面内x，y轴正方
28、向上的单位向量，若向量+=2x+2y，=4，|+|=8（1）求动点M（x，y）的轨迹c的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线c交于A，B两点，设=，是否存在这样的直线l，使四边形OAPB是矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据向量的表达式和|+|=8的值可推断出点M（x，y）到两个定点F1（0，2），F2（0，2）的距离之和为8根据椭圆的定义判断出其轨迹为椭圆，进而根据c和a，求得b，则椭圆方程可得；（2）先看当直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点根据=+=，可推
29、断出P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾不可知直线的斜率一定存在，设出直线方程，和A，B的坐标，把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，根据=+和矩形的性质判断出OAOB，即=0，求得x1x2+y1y2=0，进而求得k解答：（1）解：向量+=2x+2y，=4，可得=（x，y+2），=（x，y2），由|+|=8，可得+=8，点M（x，y）到两个定点F1（0，2），F2（0，2）的距离之和为8c=2，a=4，则b=2，轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为+=1（2）l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点=，即有=+=，P与O重
30、合，与四边形OAPB是矩形矛盾直线l的斜率存在设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+3，+=1消y得（4+3k2）x2+18kx21=0此时，=（18k）2+84（4+3k2）0恒成立且x1+x2=，x1x2=+，四边形OAPB是平行四边形若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OAOB，即=0=（x1，y1），=（x2，y2），=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）（）+3k（）+9=0，即k2=，得k=存在直线l：y=x+3，使得四边形OAPB是矩形点评：本题考查轨迹方程的求法，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题突出考查了向量的坐标化等数学思想方法，