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1、第三章 系统的时间响应分析,3.1 时间响应及其组成,一、概念,时间响应：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式。在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。,二、组成,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,时间响应的一般形式,若系统的输入为单位阶跃函数，因为单位阶跃函数是单位脉冲函数的积分，即,则,根据传递函数的定义和拉氏变换积分定理可得,即得,系统对输入信号积分的响应，等于对该输入信号响应的积分；系统对输入信号微分的响应，等于对该输入信号响应的微分。,按振动形式，时域响应可分为： 自由响应：由系统结构、参数所决定的输出 强迫响应：由外加输入所决定的输出,按输入形式，
2、时域响应可分为： 零输入响应：无输入时系统初态引起的输出 零状态响应：系统初态为零仅由输入引起的输出,系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两部分组成,三、瞬态响应与稳态响应,系统微分方程的特征根就是系统传递函数的极点,不同特征根对应不同的自由响应特性（收敛性、振荡）,特征根的实部影响自由响应项的收敛性： 若所有特征根均具有负实部，则系统自由响应项收敛； 若存在特征根的实部为正，则系统自由响应项发散； 若存在特征根的实部为零，其余的实部为负，则系统自由响应项为等幅振荡； 系统稳定时，特征根实部绝对值的大小决定了自由响应衰减的快慢程度。 特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况： 虚部绝对值越大，自
3、由响应项的振荡越剧烈。,四、控制系统中的典型输入信号,1 单位脉冲信号,2 单位阶跃信号,3 单位斜坡信号,5 正弦信号,4 单位抛物线信号,6 某些随机信号,3.2 一阶系统的时间响应,一阶系统的数学模型,(只包含瞬态项),1、单位脉冲响应,2、单位阶跃响应,T 瞬态分量 瞬态响应时间 极点距虚轴距离； T 瞬态分量 瞬态响应时间 极点距虚轴距离。,1) 阶跃响应的质量取决于特征参数T,3）调整时间（信号加入到输出稳定所需时间）ts,t=T xo(t)=63.2% 实验法求T,t=3T xo (t)=95% 允许误差 5% 调整时间 ts=3T t=4T xo(t)=98.2% 允许误差 2
4、% 调整时间 ts=4T,3、单位斜坡响应,经过足够长的时间(4T)，输出增长速率近似与输入相同； 输出相对于输入滞后时间T; 稳态误差= T.,(对于一阶系统),输入信号微分 系统响应微分 输入信号积分 系统响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。,线性定常系统的一个性质,不同时间常数下的响应情况,一阶系统的性能指标：,调整时间：一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的（1-）所需要的时间。,调整时间反映系统响应的快速性,实验法求传递函数,4、单位加速度响应,传递函数:,微分方程：,3.3 二阶系统的时间响应,特征参数：,特征方程：,特征根：,（1）欠阻尼情况：,（2）零阻尼情况：,（3）临界
5、阻尼情况：,（4）过阻尼情况：,1. 单位脉冲响应,欠阻尼：0 1,过阻尼： 1,无阻尼： =0,临界阻尼： =1,两个一阶系统的并联,特点： 均无稳态项； t=0时的斜率均不为零； 除无阻尼为等幅振荡外，其余三种情况均可随着时间增加而衰减至零，即稳态误差为零； 临界阻尼和过阻尼时，响应幅值为单一符号（恒正）。,2.单位阶跃响应,（1）欠阻尼情况：,特点: 无稳态误差； 含有衰减的复指数振荡项,其振幅衰减的快慢由和n决定,振荡幅值随减小而加大; d和可由传递函数的极点来确定.,称 n 为衰减系数,（2）零阻尼情况,系统以无阻尼自然频率作等幅振荡,（3）临界阻尼情况,系统达到衰减振荡的极限而不再
6、振荡,（4）过阻尼情况,其中,二阶系统在不同阻尼比情况下对单位阶跃信号的时间响应曲线,（5）负阻尼(0)情况,特征根实部大于零，响应发散，系统不稳定,（6）几点结论,3）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：,0,阶跃响应发散，系统不稳定,= 0,等幅振荡,01,振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快, 1,无振荡、无超调，过渡过程长,1）稳态项为1，后面两项或一项为瞬态项,2）初始时刻的斜率均为零,4）一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速， 系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,5）通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4-0.8之间。,3.单位斜坡响应,过阻尼： 1,欠阻尼：0 1,临
7、界阻尼： =1,无阻尼：=0,3.4 二阶系统的性能指标,一般对机械工程系统有三个方面的性能要求，即稳定性、快速性和准确性。准确性用误差来衡量，而系统的瞬态响应则反应了系统本身的动态性能，表征了相对稳定性和快速性。,1.瞬态响应的性能指标,通常，在下面两个假设下定义系统的瞬态响应的性能指标,（1）系统在单位阶跃信号（工作状况较恶劣）作用下的瞬态响应； （2）初始条件为零，即在阶跃信号作用前，系统处于静止状态，输出量及各阶导数均为零。,瞬态响应的性能指标：,(1) 延迟时间td：单位阶跃响应第一次达到其稳态值的50所需时间； (2) 上升时间tr：单位阶跃响应第一次从稳态值的10上升到90（过阻
8、尼情况），或从0上升到100（欠阻尼情况）所需时间; (3) 峰值时间tp：单位阶跃响应超过其稳态值而达到第一个峰值所需时间；,(4) 超调量Mp：单位阶跃响应第一次超过稳态值而达到的峰值时，对稳态值的偏差与稳态值之比，即：,Mp， ts表征了系统的相对稳定性； td， tr， tp表征了系统的快速性。,(5) 调整时间ts：单位阶跃响应与稳态值之差进入允许的误差范围所需的时间。允许误差通常取5或2。,2.二阶系统的瞬态响应性能指标,（1）上升时间tr,当t tr时,（2）峰值时间tp,输出达到峰值时，阶跃响应的导数为零，即,（3）超调量Mp,由超调量的定义：,（4）调整时间ts,调整时间ts
9、的表达式难以确切求出，用近似的方法. 对于欠阻尼系统：,设允许误差范围为,由调整时间的定义：,(5) 振荡次数,对系统性能指标的影响,当 时， ， 都比较小，故称为最佳阻尼比。,分析设计二阶系统时，通常先根据要求的超调量确定 ，然后通过调整 使其达到快速性要求。,例3.3 设系统如图所示，其中 当有一单位阶跃输入时，求最大超调量Mp，上升时间tr，峰值时间tp和调整时间ts,解：,误差范围取5时，,误差范围取2时，,例3.4 如图所示系统，在质量块m上施加F3N的阶跃力后，时间响应x（t）如图所示。根据响应曲线，确定质量m，粘性阻尼系数B和弹簧刚度系数k。,解：（1）列写传递函数,（2）求k,
10、（3）求m和B,例3.5 有一位置随动系统，其方块图如下所示，当输入单位阶跃时，要求,（1）校核该系统的各参数是否满足要求； （2）在原系统中增加一微分负反馈，求满足要求的负反馈时间系数 。,解：（1）系统的闭环传递函数为：,该系统不满足设计要求。,加入了微分负反馈后相当于增大了阻尼比，改善了系统的相对稳定性，减小了超调量，而没有改变系统的无阻尼自然频率,（2）加上负反馈后,含零点的欠阻尼二阶系统：,在典型二阶系统上增加了一个零点,单位阶跃响应：,为典型二阶系统的单位阶跃响应。,系统的响应不仅与 而且与 的变化率有关。,3.零点对二阶系统瞬态响应的影响,当典型二阶系统含有零点时，系统的瞬态响应
11、不仅与极点分布有关，还与零点和极点的相对位置有关。,例3.6 一位置伺服系统，为了提高系统阻尼分别在前向通道和反馈通道采用比例微分控制器，试分别求：各系统的阻尼比、无阻尼固有频率、单位阶跃响应的超调量、峰值时间和调整时间。,解：(1)由图（a）可得系统闭环传递函数,则：,(2)由图（b）可得系统闭环传递函数,则：,(3) 由图（c）可得系统闭环传递函数,单位阶跃输入,令 得,G2(s),G1(s),G3(s),例3.7 已知二阶系统传递函数为,试分别用Matlab求其阶跃响应，并分析零点的影响。,零点对系统响应的影响： （1）超调量增大，上升时间和峰值时间减小； （2）附加零点越靠近虚轴对系统
12、影响越大； （3）附加零点离虚轴很大时，其影响可以忽略。,3.5 高阶系统的时间响应,高阶系统：三阶及三阶以上的系统。用高阶微分方程描述。 不易得到时间响应的表达式定性分析极点对系统性能的影响,特征根：设有n1个实数根，n2对共轭复根，则n=n1+2n2,单位阶跃响应：,高阶系统的响应可看成多个一阶环节和二阶环节响应的叠加。,3）若离虚轴最近的极点，实部小于其它极点实部的1/5，且附近不存在零点，则该极点称为主导极点。 系统的响应特性主要由主导极点决定。 共轭：高阶二阶,1）系统的极点均位于s平面的左半平面时，第二、三项衰减。衰减的快慢取决于极点离虚轴的距离。,2）幅值与极点、零点均有关。极点
13、离原点越远，幅值越小，对过渡过程影响越小；当零点和极点很近时，幅值也很小，这一对零极点对过渡过程影响将很小。,讨论：,例：利用matlab分析下面三个系统单位阶跃响应。,阶跃响应基本相同,响应近似为一阶系统,响应近似为二阶系统,3.6 系统误差分析与计算,系统在输入信号作用下，时间响应的瞬态分量反映了系统的动态性能，而稳态分量的值反映了系统的准确性。,控制系统希望的输出值与实际的输出值之间的偏差，称为误差。,瞬态误差：调整时间之间的误差； 稳态误差：调整时间之后的误差。,内因：系统本身的结构； 外因：输入量及其导数的连续变化。,1、误差与偏差,误差：以输出端为基准来定义,偏差：以输入端为基准来
14、定义,偏差与误差的关系：,单位反馈：,2、稳态误差与稳态偏差,稳态误差：系统进入稳态后的误差,稳态偏差：,3、与输入有关的稳态偏差,（1）单位阶跃输入,位置无偏系数,（2）单位斜坡输入,速度无偏系数,（3）单位加速度输入,加速度无偏系数,无偏系数： 用一个系数来表示输入某种信号而引起的稳态偏差。,无偏系数越大，精度越高，稳态偏差越小。 无偏系数为零，则稳态偏差为，不能跟踪输出；无偏系数为，则稳态偏差为零。,系统结构开环传递函数对稳态偏差的影响,无差度：表征系统的结构特征（能够跟踪的信号的阶数）,0、I、II、III型系统,标准形式！,开环增益：,（1）单位阶跃输入,0型：,I、II型：,（2）
15、单位斜坡输入,0型：,I型：,II 型：,（3）单位加速度输入,0型、I型：,II 型：,不同类型系统在不同输入时的稳态偏差,主对角线上： 对角线以上： 对角线以下：,（1）系统的稳态偏差与输入信号、系统的结构特征及开环增益有关。,（2）当系统存在几个输入作用时，可按叠加原理进行计算；系统存在干扰作用时，总的偏差等于给定输入和干扰分别作用引起的偏差之和。,（3）对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。对于非单位反馈系统，利用二者之间的关系把稳态偏差换算为稳态误差，而不能把系统化为单位反馈系统，再由计算偏差得到误差。,求振荡系统在单位阶跃、单位恒速、单位恒加速输入时的稳态误差。,单位阶跃输入：,单位恒速输入：,单位恒加速输入：,或：按定义,4、与干扰有关的稳态偏差,H(s),单位反馈系统在阶跃干扰下的稳态偏差,为了增加系统的抗干扰能力，必须增大干扰作用点之前的回路的放大倍数K1，以及增加这一段回路中积分环节的数目。 而增加干扰作用点之后到输出量之间的这一段回路的放大系数K2或增多这一段回路中积分环节的数目，对减小干扰引起的误差没有好处。,3.7 函数在时间响应中的作用,例4.1 系统的脉冲响应函数为 ，系统的输入 如图所示，求系统的输出,