线性控制系统的能控性与能观测性.ppt

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1、线性控制系统的 能控性与能观测性,能控性定义 能控性 能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性 能控性与能观测性的对偶关系 能控和能观测标准型 系统的结构分解 传递函数的实现 能控性和能观测性与零极点的关系,主要内容,能控性和能观测性的基本概念：,20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。,能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能够控制状态（控制问题）,能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）,3.1 能控性定义,指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转

2、移的问题。,有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能不受u(t)的控制。,受u(t)控制的状态称为能控状态，不受u(t)控制的状态称不能控状态。,一、例子 例1：系统的结构图如下,显然， 只能控制 而不能影响 ，我们称状态变量 是可控的，而 是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。,+,L,例2:取 和 作为状态变量,u输入, y= -输出.,-,u,(1)当,状态可控,(2)当,u只能控制， 状态不可控,二、能控性定义,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始状态 转移到任一终端状态 ，则称此状态是能控的。如果系统的所有状

3、态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。,对于线性定常系统：,几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置，可以分为：,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始状态 转移到零态 ，则称系统是状态能控的。,2、系统的状态能达性：,初始状态为状态空间原点，即零态；终端状态为状态空间任意非零有限点。,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统从零态 转移到任意非零状态 ，则称系统是状态能达的。,3.2 能控性判据,约当标准型判据 秩判据,1、具有约当标准型的系统 （1）系统特征根为单根 状态方程为：，则系统状态完全能控的充要条件为： 中没有任意一行的

4、元素全为零。,一、约当标准型判据,（2）系统特征根有重根 状态方程为：，则系统状态完全能控的充要条件为： 阵中，对应于每一个约当块的最后一行 元素不全为零。,2、具有一般形式的系统,系统的线性变换不改变系统的能控性。,（1）设线性系统 具有两两相异的特征值 则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：,中， 不包含元素全为0的行。,1）,例：考察以下系统的能控性：,状态完全能控,3）,状态完全能控,状态不完全能控,X2 状态不能控,2）,中， 阵中与每个约当小块 最后一行所对应的元素不全为零。,（2）：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，

5、则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MI系统，其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一行所对应的B中的行向量是否是行线性无关，是则状态能控，否则状态不能控。,如果 行线性无关，则状态能控,含义：,对于：,状态完全能控,状态完全能控,例：考察如下系统的状态能控性：,推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SI系统，系统状态必不能控。,状态完全能控,状态不完全能控,状态不完全能控,X2 状态不能控,二、秩判据,对于线性连续定常系统： 状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：,满秩,即：,证明：,证明目

6、标：,对系统的任意的初始状态 ，能否找到输入u(t)，使之在 的有限时间内转移到零 。则系统状态能控。,已知：线性定常非齐次状态方程的解为：,（2）,由（1）式得：,将 代入上式：,（1）,由凯利哈密顿定理 有：,（3）,（4）,将（3）式代入（2）式得：,（5）,令：,（6）,将（5）式代入（4）式得：,由以上可以看出式（6）中各参数维数如下：,说明：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质：,式（6）是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：,由于x(t0)任意，所以，必须有：,证毕,例 判别如下系统的能控性,解：,1）构造能控性判别矩阵：,故系

7、统的状态完全可控,2）求能控性判别矩阵的秩：,例 判别如下线性连续定常系统的能控性,解：,故系统状态不完全能控。,指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。,3.3 能观测性及其判据,有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能,能通过y(t)确定下来的状态称为能观状态，不能通过y(t)确定下来的状态称为不能观状态。,1、举例 系统结构图如下,显然输出 中只有 ，而无 ，所以从 中不能确定 ，只能确定 。我们称 是可观测的， 是不可观测的。,一、能观测性的定义,+,L,例2:取 和 作为状态变量,u输入, y= -输出.,-,u,(1)当,状

8、态可观测,(2)当,u只能控制， 状态不可观测,2、能观测性定义,如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间 ，使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。,1、能观测性规定为初始状态的确定。任意状态可在输入作用下由状态转移矩阵得到。,2、能观测性是研究输出反映状态向量的能力，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。 由于输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u恒等于0。,几点说明：,二、能观测性判据,前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性,1、约当标准型判据,（1

9、）线性系统 具有两两相异的特征值 则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：,中， 不包含元素全为0的列。,例：考察如下系统的能观测性：,中， 阵中与每个约当小块 首列所对应的列，其元素不全为零。,（2）：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MO系统，同一个特征值对应的每个约当块的首列所对应的C中的列向量是否是列线性无关的，是则状态能观测，否则状态不能观测。,推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SO系统，系统状态

10、必不能观测。,例如：,列线性无关，则状态能观测,例：考察如下系统 的能观测性：,2、秩判据,对于线性连续定常系统： 状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵：,满秩,即：,例 判别如下系统的能观测性,解：,1）构造能观测性判别矩阵：,故此系统不是状态完全能观测的,例 判别如下系统的能观测性：,故此系统是状态完全能观测的,解：,构造能观测性判别矩阵，并判断其秩：,1、离散系统的能控性定义,若存在控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(ln)能将某个初始状态x(0)=x0在第l步上到达零态，即x(l)0，则称此状态是完全能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态能控的。,对于n

11、阶线性定常离散系统：,一、离散系统的能控性,3.4 离散系统的能控性与能观测性,满秩,即：,线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：,2、离散系统的能控性判据,故系统状态完全能控。,解：,首先构造能控判别阵：,所以能控性判别阵为：,求能控性判别阵的秩：,例：系统的状态方程如下，试判定系统的状态能控性。,如果根据有限个采样周期内测量的y(0)，y(1)，y(l)，可以唯一地确定出系统的任意初始状态x0 ，则称x0为能观测状态。如果系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。,二、离散系统的能观测性,对于n阶线性定常离散系统：,1、离散系统的能观测性定义,2、离散系统

12、的能观测性判别,对于线性离散定常系统，其状态完全能观测的充要条件是其能观测性判别矩阵：,满秩,即：,例：设线性定常离散系统方程如下，试判断其能观测性,解：,系统状态 不完全能观测,三、采样周期对离散化系统能控性和能观测性的影响,思考：对于线性连续定常系统，离散化后其状态能控性和能观测性是否发生变化。,例：,已知连续系统： 是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期T的范围。,解：,先求连续系统的状态转移矩阵：,所以：,要使系统状态能控，则能控判别阵的行列式非零，即：,要使系统状态能观测，则能观测判别阵的行列式非零，即：,联立上2式可知，要使离散

13、化后系统能控且能观测，T必须满足：,1）、对于线性连续定常系统如果是不能控和不能观测的，则其离散化后的系统也必是不能控和不能观测的。,2）、对于线性连续定常系统如果是能控和能观测的，则其离散化后的系统不一定是能控和能观测的。,3）、离散化后的系统能否保持能控和能观测性，取决于采样周期T的选择。,故，线性连续定常系统离散化后，系统的能控和能观测性变差了。,结论：,一、线性系统的对偶关系,线性系统1、2如下：,如果满足如下关系，则称两系统是互为对偶的：,3.5 能控性与能观测性的对偶关系,对偶系统状态结构图,输入r维，输出m维,输入m维，输出r维,互为对偶关系的系统之间的性质,1）互为对偶的系统，

14、其传递函数阵是互为转置的。,2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。,若 能控，则能控性矩阵 满秩。即,设 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性； 的能观测性等价于 的能控性。,二、对偶原理,证明：,的能观测性矩阵为：,所以 能观测。,*：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。,反之亦然。,3.6 能控标准型和能观测标准型,一、单输入系统的能控标准型,n维线性定常系统 如果状态完全能控，必有： 上述能控判据矩阵中，有且仅有n个列向量是线性无关的，可取n个线性无关的列向量或其某种组合构成状态空间的一组基底

15、。所谓能控标准型，就是指系统在上述基底下所具有的标准形式。要使列向量取法唯一，则r=1。故能控标准型仅讨论SI系统。,1、能控标准I型,其中：,如果单输入线性定常系统： 是状态能控的，,将状态方程化为能控标准I型：,则存在线性非奇异变换：,非奇异变换阵为：,是 相乘的结果：,通过推导，得出：,推导过程：见教材P89,提示：令 由 的列向量的线性组合组成，即：,例：设线性定常系统用下式描述 式中： 试将状态方程化为能控标准I型。 注意：非特别标明，能控标准型指的是能控标准I型。,解：,1）判断系统能控性,2）计算特征多项式,3）计算变换阵，并化为能控标准I型,例：写出以下传递函数的能控标准I型。

16、,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。,所以：,能控标准I型为：,2、能控标准II型,其中：,如果单输入线性定常系统： 是状态能控的，,将状态方程化为能控标准II型：,则存在线性非奇异变换：,推导过程：,由凯利哈密顿定理有：,代入有：,写成矩阵形式：,所以：,由于：,所以：,欲使上式成立，必须有：,解：,1）判断系统能控性,2）计算特征多项式,3）化为能控标准II型,例 试将下列状态空间表达式变换为能控标准II形。,二、单输出系统的能观测标准型,n维线性定常系统 如果状态完全能观测，必有： 上述能观测判据矩阵中，有且仅有n个行向量是线性无关的，可取n个线性无关的行向量或其某

17、种组合构成状态空间的一组基底。所谓能观测标准型，就是系统在上述基底下所具有的标准形式。要使行向量取法唯一，则m=1。故能观测标准型仅讨论SO系统。,1、能观测标准I型（对偶于能控标准II型）,如果单输出线性定常系统： 是能观测的，,则存在线性非奇异变换：,将状态方程化为第一能观测标准型：,其中：,非奇异变换阵为：,证明思路：用对偶原理证明，能观测标准I型，就是其对偶系统的能控标准II型。,以下两系统互为对偶系统：,其中：,的能控标准I I型为：,根据对偶关系， 的第能观标准型为：,根据对偶原理， 的能控标准II型就是 的能观测标准I型。,注：状态转移矩阵互为转置逆，故其变换阵也应该互为转置逆：

18、,2、能观测标准II型（对偶于能控标准I型）,如果单输出线性定常系统： 是能观测的，,将状态方程化为能观测标准II型：,则存在线性非奇异变换：,其中：,将 代入上式，即可得到 。,非奇异变换阵为：,证明思路：仍然用对偶原理证明，能观测标准II型，就是其对偶系统的能控标准I型。,例：设线性定常系统用下式描述 式中： 试将状态方程化为能观测标准II型。 注意：非特别标明，能观测标准型指的是能观测标准II型。,解：,1）判断系统能观测性,3）计算变换阵，并化为能观测标准II型,2）计算特征多项式,例：写出以下传递函数的能观测标准II型。,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。,所

19、以：,能观测标准II型为：,3.7 系统的结构分解,按能控性分解 按能观测性分解 按能控能观测性分解,分解的目的：,除了对角线和约当标准型可能明显识别外，其它能控、能观测、不能控和不能观测部分不能显性地表示出来。 结构分解是： 1）最小实现的理论依据：本质上反映状态空间描述的特性 2）状态反馈的基础：能控部分极点可任意配置。 3）状态重构的前提。,一、按能控性分解,目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分。为实现做准备。,如果线性定常系统： 是状态不完全能控的，它的能控性判别矩阵的秩,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,非奇异变换阵： 前n1列为Qc中n1个线性无关的列，其余列

20、在保证Rc非奇异下任选。,能控性分解示意图：,其中 是n1维能控部分：,其中 是n-n1维不能控部分：,u不能直接控制 ，而 未来信息中又不含 的信息。,二、按能观测性分解,目的：将系统显性地分解为能观测和不能观测两部分。 观测器设计基础。,如果线性定常系统： 是状态不完全能观测的，,它的能观测性判别矩阵的秩：,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,非奇异变换阵： 前n1列为Qo中n1个线性无关的行，其余行在保证Ro非奇异下任选。,能观测性分解示意图：,能观测部分,不能观测部分,其中 是n1维能观测部分：,其中 是n-n1维不能观测部分：,对y没有直接影响，而 中又不含 的信息。

21、,三、按能控和能观测性分解,目的：将系统显性地分解为能控能观测、能控不能观测、不能控能观测、不能控不能观测四部分。,其中：,能控能观测性分解示意图：,非奇异变换阵的构造：,逐步分解法：,原系统,其中：,3.8 传递函数阵的实现问题,实现的基本属性 能控性实现和能观测性实现 最小实现,一、实现的基本属性,对于给定的传递函数阵 ，如果有一个状态空间描述：,1、定义：,使得下式成立：,则称该状态空间描述是该传递函数阵的一个实现。,2、W(s)中每个元素是s的正常型（分子多项式系数等于分母多项式系数，实现中有D）或严格正常型函数 （分子多项式系数低于分母多项式系数，实现中无D） 。,2、实现的存在性（

22、物理可实现条件）,1、W(s)中每个元素的分子分母多项式系数均为实常数。,例,解,求 和D,二、能控性实现和能观测性实现,1、SISO系统能控标准I型实现(无零极点相约)：,2、SISO系统能观测标准II型实现(无零极点相约)：,3、MIMO系统能控标准I型实现：,4、MIMO系统能观测标准II型实现：,1、当mr时，用能观测标准型实现较简单； 反之，用能控标准型实现较简单。,说明：,2、对于SISO系统，能控和能观测标准型中各阵互为转置；对于MIMO系统则不成立。,三、最小实现,定义：传递函数阵实现中，维数最小的实现，称为最小实现。,最小实现的充要条件 某个实现是最小实现的充要条件是： 该实

23、现既是能控又是能观测的。,求最小实现的步骤： 1、先任意求出能控标准型或能观测标准型。原则同以上说明。 2、对能控（观测）标准型，判断能观测（控）性，若为能控且能观测，则为最小实现，否则进行能观测（控）性分解。找出能控且能观测部分的状态空间描述，则为最小实现。,例题：求以下传递函数的最小实现。,解：,无零极点相约，故能控且能观测，用能控（观）都可以。,所以：,能观测标准II型实现：,能控标准I型实现：,例题：求以下传递函数阵的最小实现。,解：严格正常型，D0。,所以：,从传递函数阵可以看出，系统为2输入单输出系统，用能观标准型实现。,所以 能控且能观测的，为最小实现。,判断能控性：,满秩，系统能控。,3.9 能控性和能观测性与传递函数零极点的关系,描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函数之间，是必然存在密切关系的，能控性、能观测性与传递函数的零极点对消现象之间的关系，可用来判断单输入-单输出系统的能控性、能观测性。,当由状态空间描述导出的传递函数存在零极点对消时，该系统或是能控不能观测、或是能观测不能控、或是不能控不能观测，三者必居其一。故对单输入-单输出系统可综合出以下判据： 无论A阵有相异或重特征值，系统能控能观测的充要条件是：传递函数没有零极点对消，或传递函数不可约。,