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1、一、判断题1. 是三阶微分方程. （）2. 是四阶微分方程. （）3. 设函数在点的偏导数存在，则在点可微. （）4. 设函数在点的可微，则在点偏导数存在. （）5. 二重积分表示以曲面为顶以区域为底的曲顶柱体的体积. （） 6. 若二重积分表示以曲面为顶，以区域为底的曲顶柱体的体积. （）7. 若级数收敛，则 （）8. 若级数收敛. （）9. 若级数收敛，则级数也收敛. （）10. 若级数收敛，则级数也收敛. （）二、填空题1. -2e-x2 + C ，其中C为任意常数 .2. 函数定义域为 x，y| x2 + y2 16 .3. 等于 02dx0x-2f（x,y）dy .4. 级数收敛性为
2、 发散 （填“收敛”、“发散”或“无法判断敛散性”）.5. 级数收敛性为 收敛 （填“收敛”、“发散”或“无法判断敛散性”）.6. 级数 无法判断敛散性（P1时收敛，P1时发散） .三、解答题1. 解：由题可知该方程是一个一阶线性方程那么 p(x) = 2x , q(x) = 2xe-x2 由公式 y = e-p(x)dx( C + q(x)ep(x)dxdx ) 可得该方程的通解y = e-2x（ C + 2xe-x2ex2dx ） = e-2x（ C + x2 ） 该微分方程的通解是y = e-2x（ C + x2 ），其中C为任意常数2. 求微分方程的通解.解：由题可知该方程是二阶常系数
3、线性齐次方程而该方程的特征方程为 r2-r-6=0 该特征方程有两实根即 r1,2=-(-1)2(-1)2-4(-6)2 可得 r1=2, r2=-3 该微分方程的通解是 y = C1e2x + C2e-3x ，其中C1 , C2为任意常数3. 求由方程所确定的隐函数的全微分.解：全微分方程 dz = zxdx + zydy令原式 x2+y2+z2-4z=F 可得Fx=2x , Fy=2y , Fz=2z-4又 zx = - FxFz = - 2x2z-4 = - xz-2同理 zy = - FyFz = - 2y2z-4 = - yz-2再将zx ，zy 代入全微分方程，则可得到该方程的全微
4、分即 dz = - xz-2dx - yz-2dy4. 若，其中求z的两个偏导数.解：令u = x2-y2，v = xy 那么 zx = zx = zuux + zvvx = zu*2x +zv*y同理 zy = zy = zuuy + zvvy = -zu*2y +zv*xz的两个偏导数分别为zx = 2xzu + yzv ，zy = -2yzu + xzv5. 计算二重积分，解：D区域为如右图所示的阴影部分原式 = 010xx2ydxdy = 01dx0xx2ydy = 0112x2y21xdx = 110 二重积分x2yd = 1106. 计算二重积分，解：D区域为右图所示的阴影部分由于是环形区域，所以可以用极坐标来表示即 2r4 ，02 ，而被积函数则可写成 f(rcos,rsin) = r2cos 2 那么原式 = 02d24r2cos 2rdr =02cos 2d24r3dr = 2 + sin24 02 r4424 = 607. 判定级数的收敛性.解：原式 = limn13*5+ 15*7+12n+1(2n+3) = limn12(13-15)+ 12(15-17)+12(12n+1-12n+3) = 12limn(13-12n+3) = 16 原级数是收敛的，而且它的和是 16