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1、解 n维单位坐标向量组构成的矩阵,E = ( e1， e2， ， en ),是 n 阶的单位矩阵。由 |E| = 1 0，知R(E) = n ，即 R(E) 等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无关的。,例2 已知,试讨论向量组 1，2，3 及向量组 1，2 的线性相关性。,解 对矩阵（ 1，2，3 ）施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵 (1，2，3) 及矩阵（1，2）的秩，由定理 4 即可得出结论。,（1，2，3）,=,=,可见 R( 1，2 ，3) = 2,由定理4知向量组 1,2 ,3 线性相关； R( 1，2)2，向量组 1,2 线性无关。,例3 已知向
2、量组1, 2 , 3线性无关 ,令 1 = 1 + 2 , 2 = 2 + 3 , 3 = 3 + 1,试证向量组1 , 2 , 3线性无关。,证 设有x1 , x2 , x3使,x1 1+ x2 2 +x3 3 = 0,即 x1 ( 1 + 2 ) + x2( 2 + 3 ) + x3 ( 3 + 1 ) = 0,亦即 ( x1 + x3 ) 1 + ( x1 + x2 ) 2 + ( x2 + x3 ) 3 = 0,因 1, 2 , 3 线性无关 ，故有,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解 x1= x2 = x3 = 0，所以向量组 1 ,2 ,3 线性无关。,定理5 （1）若向量
3、组 A: 1 ,2, , m 线性相关，则向量组 B :1, 2 , m , m+1也线性相关。反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。,证:记 A = ( 1 ,2, ,m ) , B = ( 1, 2 ,m ,m+1 ) 有 R(B) R(A) + 1 ，若向量组A线性相关，则由定理4有R(A) m ,从而 R(B) R(A) + 1 m + 1,再由定理4知向量组 B 线 性相关。,由上面的证明知：一个向量组若有线性相关的部分组， 则该向量组必线性相关。特别地，含有零向量的向量组一 定线性相关。一个向量组线性无关，则它的任何部分组都 线性无关。,(2) 设,( j =
4、1,2,m ),即向量j添上一个分量后得向量j,若向量A:1, 2, m线性无关,则向量组B:1,2 ,m也线性无关, 反言之,若向量组 B 线性相关,则向量组 A 也线性相关.,证 记Arm = ( 1,2,m ), B(r+1)m = ( 1, 2 , , m ),有 R(A) R(B).若向量组A线性无关，则R(A) = m,从而R(B) m. 但 R(B) m,故 R(B) m ，因此向量组 B 线性无关。,推论 若r维的向量线性无关,在r维的向量组每个向量都 添上n-r个分量，得n维的向量组，则n维的向量组线性无关。,（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量的 个数m时一定线
5、性相关。,证 m个n维向量1,2,m构成的矩阵 Anm = (1,2,m), 有R(A) n.,若n m,则R(A) m,故m个向量1,2,m线性相关。,例4 设有向量组iT = (ai, ai2, ,ain ),(i = 1,2,m. m n ),试证向量组1T,2T,mT,线性无关，其中a1, a2, am 为m个互不相等且不等于零的常数。,证 因为,1T = (a1, a12, a1m,a1n ),2T = (a2, a22, a2m,a2n ),mT = (am, am2, amm,amn ), ,前m个分量作成的行列式,从而向量组,1T = (a1, a12, a1m),2T = (
6、a2, a22, a2m),mT = (am, am2, amm),线性无关，所以增加分量后所得的向量组 1T , 2T, , mT 线性无关。,例5 设A是 nm 矩阵，B是 mn 矩阵，其中nm，若AB = E，证明B 的列向量线性无关。,证 设B = ( 1, 2, , n )，其中1, 2 , , n 是 B 的列向量，若,x1 1 + x2 2 + + xn n = 0,即 （ 1, 2 , , n ）,= BX = 0,两边左乘 A得 ABX = 0 ，即 EX = 0，从而X = 0，所以 1, 2 , , n 线性无关。,例6 设向量 可由向量组1，2， ， m线性表示，但不能
7、向量组 () 1，2， ,m-1 线性表示，记向量组（） ，1，2， ,m-1 ，则m能由（） 线性表示，但不能由()线性表示。,证 由于 可由1，2， ， m线性表示，即, 11+ 22+ + m m,又因为不能向量组 1，2， ,m-1线性表示，所以 m0， 从而,故则 m 能由（） 线性表示。,假设m能由()线性表示，则有,m k11 + k22 + + km-1m-1, 1 1+ 2 2+ + m m, 11+ 22+ + m ( k11+k22+ +km-1m-1),(1+ mk1)1+(2 +mk2)2+ +(m-1+ mkm-1)m-1,这与 不能由()线性表示矛盾，故 m不能由()线性表 示。,所以,作业 128页 4、5、8、9。,