能量法与超静定.ppt

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1、第五讲 能量法与超静定,材料力学的主要内容,一、能量法,二、超静定,三、动载荷,考点 基本理论与应用 知识掌握与能力,10-1 能量法概述,一、基本概念 二、基本理论 三、基本方法 四、典型例题,1、结构的变形分析 2、超静定结构分析 3、结构的稳定性分析 4、杆件的冲击分析,五、能量法的应用,一、基本概念,1、能量法 利用功和能的原理求解变形固体的位移、 变形和内力等的方法称为能量法。 2、变形能 在线弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内储蓄的能量，称为弹性变形能或称应变能。,二、基本理论,1、功能原理； 2、克隆原理； 3、虚位移原理；4、虚功原理； 5、虚力原理； 6、互等定理

2、； 7、卡氏定理； 8、莫尔定理。,三、基本方法,1、能量法 2、求导法 3、单位载荷法 4、图乘法,重点：功能原理、单位载荷法。 难点：虚位移、虚功、虚功原理、虚力原 理、虚位移原理。 考点：变形能的概念，能量法在超静定、 冲击中的应用。,10-2 弹性杆件的变形能,一、轴向拉伸和压缩,二、扭转,三、弯曲,纯弯曲：,横力弯曲：,杆件基本变形的变形能,一、轴向拉伸和压缩 二、扭转 三、横力弯曲,杆件组合变形的变形能,式中：K剪切形状系数。矩形K=6/5; 圆形K=10/9; 圆环K=2。,10-3 克隆原理,线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。,所有的广义力均以静力方

3、式，按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移 与整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。,式中：K剪切形状系数。矩形K=6/5; 圆形K=10/9; 圆环K=2。,内力表示的克隆原理,重要基本概念 1、广义位移（用表示）线位移: 水平位移ix ; 竖向位移iy ; 角位移i ; 相对位移：一对力引起的位移。AB,2、广义力（用F表示） 广义外力（F、R）。 广义内力（N、Q、T、）。 3、实位移和虚位移 实位移位移是由作功的力自身引起的。 虚位移位移不是由作功的力自身引起的,例10-1：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。,解：,例10-2：悬臂梁在自由端承受集中力F

4、及集中力偶矩M0作用。设EI为常数，试求梁的变形能。,解：方法一 内力表达式,当F和M0分别作用时,克隆定理（方法二 外力表达式）,关于变形能的讨论,1、上述各能量式仅适用于线弹性材料杆件在小变形下的变形能的计算。 2、变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段上的变形能计算，然后积分求得整个杆件的变形能。 3、变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不作功时，才可应用叠加原理。,关于变形能的讨论,两个以上载荷引起同一种基本变形的 变形能，不等于各个载荷引起的变形 能的叠加。与当杆件发生两种或两种 以上的

5、基本变形时，杆件的总变形能 等于各个基本变形的变形能的和。的 概念容易混淆，应注意理解。,关于变形能的讨论,4、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立地选择坐标系。 5、弹性体所受的外力从零缓慢（逐渐）增加到最终值。 6、变形能大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应的位移的最终值。,关于变形能的讨论,7、对于一般结构剪切变形能比较小通常略去不计。若剪切变形能比较大，不能略去时其计算公式： 式中K是与截面形状系数。矩形： K=6/5 圆形： K=10/9,讨论题,1弹性体在外力作用下因弹性变形而储存的能量，称为弹性变形能（ ）。 2、弹性体在内力作用下因

6、弹性变形而储存的能量，称为弹性变形能（ ）。 3、在线弹性情况下，力与位移呈线性关系，其变形能随力在做功。不考虑能量损失的情况，力与位移的三角形阴影部分的面积就等于变形能（ ）。 4、弹性变形的大小等于广义力与相对应的广义位移乘积的一半（ ）。,讨论题,5、广义力可以是一个集中力、一个集中力偶、一对集中力、一对集中力偶（ ） 6、广义位移可以是一点的线位移、一个截面的角位移、两点间的相对位移、两个截面的相对角位移（ ）。 7 、广义力与广义位移的对应关系，一个集中力对应的广义位移与该力作用点沿该力作用方向的位移（ ）。,讨论题,8、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形能也可以叠加（ ）。 9、对

7、线弹性结构，位移可以叠加，其变形能不可以叠加（ ）。 10、非线弹性结构，位移和变形能都可以叠加（ ）。 11、非线弹性结构，位移和变形能都不可以叠加（ ）。,讨论题,12、当某一种基本变形的变形能由两个以上的载荷共同引起时，该变形能不等于这些载荷单独作用时引起的变形能的叠加（ ）。 13、当杆件发生两种或两种以上基本变形时，杆件的总变形能等于各个基本变形的变形能的和（ ）。 14、在小变形情况下，每一基本变形下的内力分量对其他基本变形并不做功（ ）。 15、变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段上的变形能计算，然后积分求得整个杆件的变形能（ ）。,讨论题,16、变形能

8、为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不作功时，才可应用叠加原理（ ）。 17、两个以上载荷引起同一种基本变形的变形能，不等于各个载荷引起的变形能的叠加（ ） 。 18、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立地选择坐标系（ ）。 19、变形能大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应的位移的最终值（ ） 。,作业P105 习题：13.1、13.3 、13.4。,10-4 变形体的虚功原理,一、基本概念 1、广义位移（用表示）线位移: 水平位移iX竖向位移iy角位移i 相对位移：一对力引起的位

9、移。AB,2、广义力（用F表示） 广义外力（F、R）。 广义内力（N、Q、T、）。 3、实位移和虚位移 实位移位移是由作功的力自身引起的。 虚位移位移不是由作功的力自身引起的,4、实功和虚功 实功力在实位移上作的功。 虚功力在虚位移上作的功。 5、虚功中力和位移的性质：力和位移彼此独立无关的两种状态。 6、求解静定结构位移的基本理论 变形体的虚功原理：外力的虚功等于内力的虚功 W外W内 虚功原理的两种形式： 1）虚位移原理：实力状态，虚位移状态。 2）虚力原理： 实位移状态，虚力状态。,二、求解静定结构位移的基本方法 单位荷载法 ：积分法，图乘法 三、变形体的虚功原理 外力的虚功等于内力的虚功

10、。 W外W内,关于虚功原理的讨论,1、虚位移是在平衡位置上再增加的位移，杆件原有外力和内力保持不变，且始终是平衡的。 2、虚位移应满足边界条件和连续条件且符合小变形要求。 3、虚功是杆件上的力在虚位移上所作的功。 4、虚功是杆件上的虚力在实位移上所作的功。 5、虚位移表示其他因素造成的杆件位移，与杆件的外力和实际位移无关。,10-5 互等定理,位移发生点,荷载作用点,功的互等定理：,位移互等定理：,例10-3 求图示简支梁C截面的挠度。,F,例10.4求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移 。,F,1、在功的互等定理公式的两边可以是不同类的力和位移，如一边是力和线位移的乘积，另一边是力偶和角位移的乘积

11、。 2、位移互等定理公式的两边，一边是线位移，另一边可以是角位移。,关于互等定理的讨论,关于互等定理的讨论,3、功的互等定理与位移互等定理的两边，也可以是同一点的不同类型的力和位移 。 4、功的互等定理可以推广到弹性体的两种应力状态，即第一种应力状态在第二种应力状态引起位移上做的功等于第二种应力状态在第一种应力状态引起位移上做的功。,作业P106 习题：13.5。,10-6 卡氏定理,卡氏定理是描述变形能与位移之间关 系的一个重要定理，是由意大利学者阿 卡斯提里安诺于1879年提出的。主要有 卡氏第一定理和卡氏第二定理。 卡氏定理第一定理： 弹性杆件的变形能对于杆件上任一位 移的偏导数，等于与

12、该位移相应的载荷。,10-6 卡氏定理,卡氏第一定理： 弹性杆件的变形能对于杆件上任一位移的偏导数，等于与该位移相应的载荷。,10-6 卡氏定理,卡氏第二定理： 弹性杆件的变形能对于杆件上任 一载荷F i 的偏导数，等于载荷Fi作用点沿Fi方向的相应位移 。, 10-6 卡氏定理,若只给 以增量 ，其余不变，在 作用下，原各力作用点将产生位移,变形能的增加量：,略去二阶小量，则：,如果把原有诸力看成第一组力，把 看作第二组力，根据互等定理：,所以：,卡氏第二定理求位移的应用,横力弯曲：,桁架杆件受拉压：,轴受扭矩作用：,组合变形的卡氏第二定理,关于卡氏第二定理的讨论,1、由于变形能是对截面X积

13、分，而卡氏第二定理是对荷载F求偏导数，因偏导数与积分号无关，故在计算中可以先求后积分。 2、适用于线弹性结构在小变形情况下结构位移计算 3、若计算结果为正，表示与 F，的方向相同；若为负，表示与 F方向相反。 4、式中为相应于广义力F的广义位移，若欲求位移处没有相应的载荷，则可以在结构上施加于欲求位移相应的载荷，求得偏导后，再令所加载荷为零 （通常称为零载荷法）。 5、若结构上作用于不同点的若干个力符号相同（如两个力均为F ），求偏导时应将各载荷加以标记，以示区分。,例10-5 利用卡氏定理，试求图示悬臂梁自由端 B的挠度。,解：,(1),(2),解得：B = FL3/ 3EI,例10-6 教

14、材P95例13.12 利用卡氏定理，试求刚架自由端A的铅垂位移和截面 B的转角B。,作业 P87 例题 13.7； P107 习题 13.9。,10-7 单位载荷法 莫尔积分,单位荷载法的证明有三个方法。 1、虚功原理； 2、能量法； 3、卡氏定理。,莫尔定理（莫尔积分）,例10-7 试用单位荷载法计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,例10-8 教材P95例13.12 利用单位载荷法，试求刚架自由端A的铅垂位移和截面 B的转角B。,作业 P107 习题 13.9。,10-8 计算莫尔积分的图乘法,在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：,对于等直杆的EI，可以提到积分号外，故只

15、需计算积分,直杆的M0(x)图必定是直线或折线。,10-8 计算莫尔积分的图乘法,式中A是(x）图形的面积；yc 是 图形中与 图形的形心C对应的纵坐标。,应用图乘法的条件：用图乘法计算位移时，梁和刚架的杆件必须满足以下条件： （1）杆段的弯曲刚度 EI为常数。 （2）杆段的轴线为直线。 （3）各杆段的 (x）图和 图中至少有一个为直线图形。,应用图乘法时应注意： (1)在图乘前要先对图形进行分段处理，保证两个图形中至少有一个是直线图形。 (2) A与yC是分别取自两个弯矩图，竖标yC必须取自直线图形。 (3) 当A与yC在杆的同侧时，乘积AyC取正号；A与yC在杆的异侧时，乘积AyC取负号。

16、,下面给出了图乘运算中几种常见图形的面积及其形心位置。在应用图示抛物线图形的公式时，必须注意曲线在顶点处的切线应与基线平行，即在顶点处剪力为零。,图乘法的技巧：,在图乘运算中，经常会遇到一些不规则的复杂图形，这些图形的面积和形心位置不易确定，在这种情况下，可采用图形分块或分段的方法，将复杂图形分解为几个简单图形，以方便计算。,讨论题,例10-9 试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,L,F,解（1）求自由端的挠度,m=1,(2) 求自由端的转角,例10-10 试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。,q,M,解（1）简支梁的最大挠度,（2）求最大转角 最大转角发生在两个支座处,例1

17、0-11 试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。,CL12TU34,解：,例10-12 试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,CL12TU35,解：,例10-13 试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。,CL12TU36,解：,例10-14 图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。,CL12TU37,F,解：(1),F,(2),例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。,CL12TU38,解：,例10-15 图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对

18、角位移 AB 和沿P力作用线方向的相对线位移 AB 。,CL12TU39,解：,例10-16 用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。,CL12TU40,解：,例10-17 图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移 AH 和转角A 。,CL12TU41,解：,例 计算刚架B截面的水平位移，已知刚架的抗弯刚度EI = 常数。,作业 P107 习题 13.9。,第十一章 超静定结构,第十一章 超静定结构,11-1 概述 11-2 变形比较法 11-3 力法求解超静定结构 11-4 对称及反对称性质的利用,目录,11-1 概述,目录,一、超静定结构的概念 结构的约束反力或内力仅用独立

19、的平衡方程不能全部求解，该结构称为超静定结构。,二、超静定结构的类型 外力超静定，内力超静定，混合超静定。,_,三、超静定结构的次数 1、外力超静定：位置约束反力个数独立静力平衡方程数=超静定结构的次数。 2、 内力超静定： 一个平面封闭框架为三次内力超静定； 平面桁架的内力超静定结构的次数等于杆数加三减两倍节点数。,三、超静定结构的次数 3、混合超静定：需综合考虑。 4、结构有中间铰的超静定次数的判定： 结构中加一个中间铰，结构减少一次超静定次数。 四、求解超静定结构的方法 1、变形比较法；2、力法；3、位移法。,11-2 变形比较法求解超静定结构,典型题1 如图所示杆件，两端固定，在横截面

20、C处受轴向载荷F作用。试求杆两端的支座反力。,解：(一)静力平衡方程,(a),两个未知力，一个平衡方程，故为一次超静定。,(二)变形协调方程,(b),(三)物理方程,(c),(d),(四)补充方程,(五)求解支座反力,将式(c)和式(d)代入式(b)，即得补充方程为,(e),联立求解平衡方程(a)与补充方程(e)，于是得,典型题2 图4-17a所示等截面圆轴AB，两端固定，在截面C处承受扭力矩 M作用。试求轴两端的支反力偶矩。,解：(一)静力平衡方程,(a),(二)变形协调方程,(b),(三)物理方程,(四)补充方程,将上述物理关系代入式(b)，得变形补充方程为,(c),(五)求解支座反力,联

21、立求解平衡方程(a)与补充方程(c)，于是得,典型题3 如图所示梁AB，在横截面B处承受轴向载荷F作用。试求梁的支座反力。,解：(一)静力平衡方程,Fy = 0， - FBy + FAy = 0 MA = 0, MA + FL/2 - FBy L = 0 (a),(二)变形协调方程,= 0,(b),(三)物理方程,(四)补充方程,将上述物理关系代入式(b)，得变形补充方程为,(c),= 0,(五)求解支座反力,联立求解平衡方程(a)与补充方程(c)，于是得,FAY =,FBY =,11-3 力法求解超静定结构,在求解超静定结构时，,目录,以“未知力”为未知量的求解超静定的方法称为“力法”。,一

22、般先解除多余约束，,以多余约束力代之，,得到基本静定系统,再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。,该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁,解除多余支座B，并以多余约束X1代替,若以 表示B端沿竖直方向的位移，则：,是在F单独作用下引起的位移,是在X1单独作用下引起的位移,目录,力法正则方程,目录,对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力“1”的X1倍，故 也是 的X1倍，即有,若：,于是可求得,所以（*）式可变为：,例11.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。,目录,解：,例11.2：两端固定的梁，跨中受集中力作用，设梁的抗弯刚度 为EI，不计轴力影响，求梁中

23、点的挠度。,目录,解：,例11.3：求图示刚架的支反力。,目录,解：,目录,上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！,那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？,目录,由叠加原理：,同理,变形协调条件 ：,表示 作用点沿着 方向的位移,目录,力法正则方程：,矩阵形式：,表示沿着 方向 单独作用时所产生的位移,表示沿着 方向 单独作用时所产生的位移,表示沿着 方向载荷F单独作用时所产生的位移,目录,则 ：,引起的弯矩为,引起的弯矩为,载荷F引起的弯矩为,设：,力法的计算步骤：,（1）选取基本结构、确定超静定次数。 (基本静定结构不是唯一的) 去掉原结构的多余约束，以相应的未知力代替多余约束的

24、作用。 （2）建立力法典型方程。根据基本结构在去掉多余约束处的位移与原结构相应位置的位移相同的条件，建立力法方程。,（3）计算系数和自由项。利用静定结构的位移计算公式，或分别绘出基本结构在单位多余力Xi和荷载作用下的弯矩图，然后用图乘法计算系数和自由项 。 （4）解方程求多余未知力。将所得各系数和自由项代入力法方程，解出多余未知力Xi。,【例】试用力法计算图示超静定刚架。,【解】 1) 建立相当系统。 该刚架为二次超静定结构，去掉B支座处的两个约束，代之以相应的多余未知力X1、X2，得到图(b)所示基本结构。,(a)原结构,(b)相当系统,2) 建立力法方程。 由基本结构在多余未知力X1、X2

25、及荷载共同作用下，B支座处沿X1、X2方向上的位移分别为零的位移条件，建立力法方程,3) 计算系数和自由项。 分别绘出基本结构在荷载作用下的MF图图(c)及在单位力X11、X21作用下的 图、 图图(d，e)。,F,A,B,C,A,a,对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。,目录,11-4 对称及反对称性质的利用,正确利用结构的对称性，可以降低超静定结构的次数。,对称结构的特征,1、结构的材料、几何形状对称； 2、结构的截面尺寸、刚度EI对称； 3、结构的约束条件对称。,对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷完全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重

26、合，且作用力的大小也相等）。,目录,反对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。,目录,目录,当对称结构上受对称载荷作用时，,于是正则方程可化为,目录,在对称面上反对称内力等于零。,对称结构在对称载荷作用下的情况：,用图乘法可证明,可得：,对称结构在反对称载荷作用下的情况：,目录,同样用图乘法可证明,当对称结构上受反对称载荷作用时，,在对称面上对称内力等于零。,可得：,于是正则方程可化为,对称结构在对称载荷作用下，在对称截面上，反对称内力剪力等于零。,1、对称结构在对称载荷作用下的性质,2、对称结构在反对称载荷作用下的性质,对称结构在反对称载荷作用下，在对称截面上，对称内力轴力和弯矩都等于零。,例11.4:平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及A、B处的支座反力。,解：,例11.5：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。,解：载荷关于对角线AC和BD反对称,由平衡条件可得：,