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1、第2章 单自由度系统,机械工程学院 王文瑞 博士，副教授 ,2.6 周期强迫振动 2.7非周期强迫振动,2.6 周期强迫振动,模型简化依据：非简谐的周期激励在工程结构中的振动中大量存在，一般地，如果周期激励中的某一谐波的振幅比其他谐波的振幅大得多，大多可以作为简谐激励；反之，则周期激励。 求解方法：一般周期激励下系统的响应问题需要将激励展开为Fourier级数，分别求出各个谐波引起的响应，再利用叠加原理得到系统的响应。,周期函数展开为傅立叶级数的物理意义: 把一个比较复杂的周期激励看成是许多不同频率的简谐激励的叠加。,Fourier级数 定理：设周期为T的周期函数f(t)满足收敛定理的条件，
2、则它的傅立叶级数展开式为 其中系数 利用三角函数的正交性求出：,周期激励函数一般都满足收敛定理的条件，都 可以展开为如下形式的傅立叶级数：,其中,谐波分析 频率 称为基本频率，简称基频；对应于基频的简谐分量，称为基波； 对应于频率为 ， 的简谐分量称为二次谐波，三次谐波，等等。,谐波分析法基本思想： 首先，将周期激励分解为一系列简谐激励之和。 然后，求出系统对各个简谐激励的响应。 最后，由线性系统的叠加原理，将每个响应叠加起来。 即得到系统对周期激励的响应。,周期激励的处理,将f(t)展成Fourier级数： 其中的第p项为： 对应的响应为：,求解,振系在简谐激励 与 分别作用下,相应的强迫振
3、动可依次表示为,组集总响应,根据线性系统的叠加原理,结论,系统的稳态响应也是周期函数，其周期仍然为T，并且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应，这是线性系统的特点。 在周期激励中，只要系统的固有频率和激励中的某一谐波频率接近就会发生共振，因此，对于周期激励，要避开系统共振区比简谐激励要困难。通常使用适当增加系统阻尼的方式来减振。,实例,例1 无阻尼单自由度系统受如图所示的周期方波激励。试求系统的稳态响应。,解：周期方波激励的数学描述为,式中T为周期。,将F(t)展开为傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为,则周期方波表示的傅里叶级数为,求得响应为,例2 图示凸轮使顶杆D沿水平线作周期锯齿波形运
4、动，通过弹簧k1使振动系统有强迫振动。已知凸轮升程为2 cm，转速为60 r/min,k1=k=10 N/cm,c=0.5 Ns/cm,m=1/20 kg。试求振动系统的稳态振动。,解：顶杆D的运动方程为,图 3.7-2,激振频率为1 Hz，即T=1 s，=2 。将激励x1展开成傅里叶级数为,傅里叶级数的系数为,得x1的傅里叶级数为,振动系统的运动微分方程为,令,则对应于激励的j次谐频 ，振动系统的稳态运动为,对应于常数项k1，振动系统的响应为,因此，在凸轮运动的作用下，振动系统的稳态运动为,由给出的数据，有,因此，得,作业: 无阻尼弹簧质量系统受到如图所示的力， 试求系统的响应,解 ：激励力
5、可表示为,2.7 非周期激励作用下的强迫振动,非周期激励作用的特点 作用时间短 峰值大 非周期强迫振动求解,瞬态激励,周期激励与响应的特点,前面章节讨论的激励力，无论是外界力或是支座的位移，我们都假定其函数要么为简谐，要么可以通过Fourier级数展成一系列简谐函数的和。 振动系统对周期激励的响应通常指系统的稳态强迫振动响应，是按照激励频率（可以是单一的，亦可以是一系列）进行的周期振动。,非周期激励的特点,在许多实际问题中，对振动系统的激励往往不是周期的，而是任意的时间函数，或者只是持续时间很短（相对于振动系统固有周期）的冲击。 举例：车辆越障，瞬时冲击,非周期激励响应的特点,相应地，瞬态激励
6、引起的系统振动响应持续时间也不长，但响应的峰值往往很大，使结构产生较大应力和变形。 振动系统通常没有稳态运动，只有瞬态振动 在激励消失后，振动系统进行阻尼自由振动，即所谓的剩余振动。 振动系统在任意激励下的运动，包括剩余振动，称为振动系统对任意激励的响应。,非周期强迫振动求解（时域法） 脉冲响应函数法,解决问题的思路：,把非周期激振力看作是一系列作用时间极短的脉冲分力的叠加；,在脉冲力作用下的响应 应用动量定理；,总响应 叠加原理。,脉冲力定义,如果F(t)的幅值很大，但作用时间很短，即 ，那么如果冲量： 仍然为通常的数量级，这种力称为脉冲力。 通常硬物体之间的碰撞力、闪电、电容瞬间的放电（照
7、相机的闪光灯）都具有脉冲力的类似性质。,状态描述,如果F(t)的作用时间为(，)(为任意非负实数)，即当t和t 时，F(t)=0，在这过程中，动量的改变量： 上式的物理含义：物体所受的冲量等于物体动量的改变量。 这种描述成为状态描述。,Dirac函数,一般，我们对脉冲力的作用过程不太关心，而关心它产生的后果。 为了能在理论分析中更好的体现脉冲力的性质，在数学上用Dirac函数来表示脉冲力，通常又称作函数,任意时刻脉冲力的表示,在 时刻的脉冲力可以表示为： 利用函数，在任意时刻作用的脉冲力可以表示为： 这里： 是一个常数，上式的物理意义：在时刻的一个力值无限大，但作用时间为0的脉冲力，其冲量为：
8、,Dirac函数性质,Dirac函数有一个重要性质：如果F(t)是一个连续函数，则： 在某些文献上，该式作为Dirac函数定义的一部分，又称为Dirac函数的筛选性。,单自由度系统的脉冲响应,设单自由度系统在t=0以前静止，在t=0受到脉冲力,系统微分方程为,根据动量定理：在0-到0+这段时间系统的动量改变：,系统的运动情况,在t=0时的脉冲力作用下，系统速度由 变成 ，而系统的位移没有变化（或者说，位移的变化 是小量） 当t0后，系统不受外力，自由振动。系统受到脉冲力作用后的运动微分方程：,它的解为： 这就是初始时刻静止的系统在t=0时刻受到脉冲力 作用后的响应。,系统单位脉冲响应函数,系统
9、受到单位脉冲力作用，此时的系统的响应称为系统单位脉冲响应简称系统脉冲响应，用h(t)表示 ：,一般单位脉冲响应,显然，在 以前静止的系统在 时，受到一个单位脉冲激励后的响应为：,各时刻脉冲响应的叠加,时刻的脉冲力 该脉冲力的响应 系统在t时刻的响应,把非周期激振力f（t）看作是一系列脉冲力的叠加；,如果系统初始条件不为零，即：,系统总的响应为 ：,脉冲响应的意义,系统的脉冲响应由系统本身的物理性质决定。 系统的脉冲响应反映了系统的振动特性。,实例：锤击法,在振动试验中，有一种方法叫做锤击法。 用锤头带有力传感器的锤子敲击被测的结构，力传感器测出敲击的力信号，装在结构上的加速度传感器测出结构的加
10、速度响应信号，把测出的力信号和加速度信号经过处理，可以求出系统的振动参数。 如固有频率，阻尼比等。锤击法测试速度快，所需设备少，便于现场测试。,前面讲述的方法都是直接在 时域中 求解微分方程，得到是系统的时间响应历程。 对于一个振动问题，可以用Fourier变换在 频率域 内分析激励频谱，响应频谱以及系统特性的频率域描述之间的关系。,非周期强迫振动求解（频域法） Fourier变换方法求解,周期激励的频谱图,频谱是信号中各频率分量按频率高低依次排列的总体。 幅频是信号中各频率分量的幅值与频率之间的关系。 相频是信号中各频率分量的相位与频率之间的关系。,非周期激励和傅里叶变换,周期激励的傅里叶级
11、数的复数形式为：,谱线之间的频率间隔 离散频谱中相邻的谱线无限接近，离散频谱成为连续频谱 离散变量 变成了连续变量，求和运算就变成了求 积分运算，于是得：,非周期信号,称 为 的傅里叶变换或傅里叶积分,Fourier（正）变换,称 为 的傅里叶逆变换，两者互为傅里叶变换对， 即,Fourier逆变换,傅里叶变换对,构成傅里叶变换对,记为,傅里叶变换的常用性质,1. 线性叠加性 若 和 分别有傅里叶变换为 、 ，则,若 则 即把时域信号沿时间轴平移一常值t0，则使其频域引起相应的 相移,2. 时移特性,3. 频移特性,若 则 在频域中将频谱沿频率轴平移一常值 ，则相当于在对 应时域中将信号乘以因
12、子 。,若 则,4. 微分和积分特性,两个函数 和 ，定义 为函数 与 的卷积，记作,5. 卷积特性,若 ， 则,若 则 在时域中计算的信号总能量等于在频域中计算的信号总能量。,6. 能量积分(巴什瓦等式),1. 列出系统的微分方程： 如果激励f(t)的Fourier变换存在，即有：,Fourier变换方法求解微分方程,2. 对方程两边进行Fourier变换，根据Fourier变换的性质： 得到响应的Fourier变换为：,3. 做响应频谱的Fourier逆变换，获得时域解：,频响函数,定义： 为系统的频率响应 函数，简称频响函数。,频响函数是系统振动特性的频域描述，它反映了系统本身的频域特性
13、。,频响函数的作用,已知系统频响函数 的表达式,则可以通过下面的式子求出系统的刚度和阻尼。 通常 无法直接获得，而是根据测量到的一系列 ，通过曲线拟合的方法获得。,特别地，用Fourier变换求解的条件,用Fourier变换条件是： f(t)在任意有限区间内都只有有限个第一类间断点; f(t)在 上绝对可积： 系统的初始条件是静止的，即初始条件为零,工程应用,可见，利用Fourier变换在频域中求解，免去了在 时域中求解微分方程的困难 但要得到系统在时域的响应要用到Fourier逆变换，而用解析法求Fourier逆变换也比较麻烦。 由于快速Fourier变换（FFT，数值解法）方法的广泛应用，
14、因此，求Fourier变换一般用FFT而不用积分。,例1,求系统 中响应 对激励 的频响函数,例1解,对 两边进行Fourier变换得：,Laplace变换是常用的求解微分方程的方法，可以方便的求系统在任意载荷下的响应，而且可以计入初始条件。,非周期强迫振动求解（频域法） Laplace变换方法求解,单自由度系统的微分方程： 由Laplace变换的常用性质：,方程的解,两边取Laplace变换， 响应的Laplace变换为：,例1,例：用Laplace变换求解方程,做变换,由书后附录： 方程两边做Laplace变换,非共振时,当 查表可得Laplace逆变换,共振时,当 时 由： 时域解：,传递函数,传递函数,脉冲响应，频响和传递函数的关系,