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1、 充分利用课本例习题，有效培养学生探究意识襄阳三中 陈显宏 课本是学生知识资源的依据，课本中的例题、习题是学生务必要掌握的，因考虑到教学的阶段性要求，课本中的例题一般或体现某个定理（公式）的应用，或体现某种解题（思想）方法，具有基础性和示范性，有利于学生模仿、操练。笔者以为，适时、适度地对课本例题（习题）进行拓展，值得提倡。通过拓展，建立联系，整合知识，提炼思想方法，有利于学生开阔视野，学会借鉴，学会欣赏，激活其思维发散。本文就人教社全日制普通高级中学教科书数学例题（习题）来具体地谈谈如何拓展。问题1：（人教版新课程教材第一册（上）第129页练习4）已知数列是等比数列，是其前项的和（1）求证：
2、成等比数列（2）设成等比数列吗？引导探究：若使用等比数列前n项的和的公式来证明问题，不仅要对q的取值情况进行讨论，而且变形及运算也较繁，不妨先研究、及之间的关系由，同理，得，从而，由等比数列的性质可知，7为奇数、，、成等比数列，类似可以证明也成等比数列 引申：设等比数列的公比为q，前n项的和,那么证明：公式揭示了一个等比数列的几个前若干项的和的内在联系，公式形式简单，易懂易记，但用该公式证明有关等比数列前n项和的某些问题时，却有独到之处，使用等比数列前n项的和的公式，对q的取值情况有时需要讨论，而使用本公式却无此之虑，因此该公式有化难为易，避繁就简之效，而且解题过程别具一格，令人耳目一新应用举
3、例1（人教版新课程教材第一册（上）第129页习题7）：已知数列是等比数列，是其前项的和，、成等差数列，求证：成等比数列证明：由已知得，即， ，又，成等比数列利用公式证明本题，不需要对的取值情况进行讨论，在证明中，正、逆两次使用公式 ，使证明过程自然而流畅应用举例2 已知数列是等比数列，是其前项的和，若，求公比解析：由题意，只需利用公式，将，分别化为，然后清去得到一个关于的方程，解方程求出即可由，得，应用举例3 （2005，全国卷1，文），设正项等比数列的首项，前项的和为，且，求的通项 解析：由已知得，即 ，由已知， ，于是 公式 中，、的取值非常灵活，在使用公式时，要注意选择恰当的数值，本题在
4、证明过程中，采用，两个变换，可尽快地化简式子，迅速解决问题用该公式还可以推导等比数列的前n项的和公式（）当时，有；（）当时， ，综上， 上述推导过程只用到了等比数列前n项的和的意义，通俗简捷，在学习了教材上介绍的“乘公比相减法”求等比数列的前n项的和的公式后，顺便介绍本公式和上面的求的方法，对加深对等比数列意义的理解，是很有帮助的！在一题多解的拓展中，学生们可看到不同知识块间的相关性（有利于形成知识链），还可以看到不同人思维的差异（从别人的思维中获得启迪），还可看到建立在独立思考基础上的合作交流意义重大。在一题多用，一题多变的拓展中，学生们看到了多题一法，看到了特殊与一般的转化，在拓展的过程中
5、，学生们的情感体验也在变化：或感叹于我怎么没想到，或惊叹数学的神奇，或陶醉于心理的积极暗示下一次，我也要多想想，多试试。不难看出，这样的拓展 是对已有资源更充分的利用，对学生探究意识和能力的形成具有很大的促进作用。问题2（人教版新课程教材第二册上75页例2）：已知圆的方程是x2y2r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的圆的切线方程 引申一：若圆的方程是(xa)2(yb)2r2 , 那么经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程还是x0xy0yr2吗？下面我们来探求过点M(x0，y0)的圆的切线方程方法一：用例2的方法(利用点斜式方程求解)，可求得过点M(x0，y0)的圆的切线方程为（x0a）x(y
6、0b)yax0by0r2，显然不是x0xy0yr2yOMPCx图1方法二：利用平面向量求解设P（x，y）为切线上的任意一点（如图1），则（x0a，y0b）, =(xx0，yy0)，由得（x0a，y0b）(xx0，yy0)0，即（x0a）(xx0)(y0b)（yy0)0，展开整理得（x0a）x(y0b)yax0by0r2，显然不是x0xy0yr2引申二：若点M(x0，y0)不在O：x2y2r2上，而在O外，直线L：x0xy0yr2还是过点M(x0，y0)的O的切线吗？若不是，它与O的位置关系如何？它是一条怎样的直线？P2MxyP1Oa图引导探究：（1）M在圆外，|OM|r，即x02y02r2设圆
7、心到直线L的距离为d，则d，dr,L不是过M的O的切线，L与O相交（2）过M作O的两条切线MP1，MP2（P1，P2为切点，如图2），设P1，P2坐标分别为(x，y)， (x，y)，下面我们来探求过点P1，P2的直线a的方程方法一：利用点斜式方程求解（此法较繁，从略），可得直线a的方程为x0xy0yr2 方法二：利用例2的结论求解P1在圆上，经过P1(x，y)的O切线方程是x1xy1yr2M(x0，y0)在此切线上，x1x0y1y0r2同理有xx0yy0r2直线a上两点P1，P2坐标满足直线方程x0xy0yr2，直线a的方程为x0xy0yr2 方法三：利用圆系知识求解MP1MP2，以M为圆心，
8、MP1为半径的M与O相交，线段P1P2为公共弦由圆系知识得直线P1P2的方程为(xx0)2(yy0)2(x02y02r2)(1)( x2y2r2)0 , 整理得x0xy0yr2P1P2NxyOM图引申三：若点M(x0，y0)不在O：x2y2r2上，而在O内，直线L：x0xy0yr2还是过点M(x0，y0)的O的切线吗？若不是，它与O的位置关系如何？它是一条怎样的直线？引导探究：（1）M在圆内，|OM|r，即 x02y02r2设圆心到直线L的距离为d，则d，dr，L不是过M的O的切线，L与O相离（2）过M作O的动弦P1P2（P1，P2为弦两端点），过P1，P2作O的两条切线NP1，NP2（P1，
9、P2为切点，如图3），交点为N设P1，P2坐标分别为(x，y)， (x，y)，点的坐标为（x，y）由相关点法或交轨法得N的轨迹方程为 x0xy0yr2著名科学家爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想像力。”因此，读书时，不仅要多动脑筋，勤于思考，不仅要懂得如何处理问题，解决问题，还要懂得如何发现新问题，提出新问题。波利亚（G.POLYA）说：“好问题同同某种蘑菇有些相似，他们大都成堆的生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有几个。”我们对例题进行一题多
10、解的探究后，还应进一步思考，该题是否适合一题多变，师生共同探究，得出了下面问题。问题3：（人教版新课程教材第二册上第60页引例）设，式中变量满足下列条件，求的最大值和最小值 引申：若变量满足的条件不变，设,如何求的最大值和最小值？3x+5y=2561图4x4y=36引导探究1：目标函数，即，该直线斜率为，纵截距作直线并平移穿过可行域（如图4中阴影部分），过（5，2）时，最小，此时最大，将最优解（5，2）代入目标函数得；当它过C时，得求这种目标函数形如 截距型二元一次目标函数的最值时，先把“目标函数”整理成直线方程的斜截式形式，讨论目标函数的最值转为讨论截距的最值，通过数形结合找出最优解代入目标
11、函数获最值，同时注意截距的最值与目标函数的最值之间的对应关系引申2：若变量满足的条件不变，设，如何求的最大值和最小值？3x+5y=2561图5x-3y-3=0x4y=36引导探究2：方法（一）：利用变式1中的方法求出的范围为，继而得即的范围为，从而得，此法较繁琐方法（二）：目标函数，即，其几何意义为可行域（如图5中阴影部分）上任一点M到直线：的距离的倍，所以求的最值，要先找可行域上到直线的距离最大和最小的点即最优解将直线平移穿过可行域，最先过（5，2），最后过C，得最优解（5，2）和，代入，得求这种目标函数形如点线距离型二元一次绝对值型目标函数的最值时，一般结合点到直线的距离公式，转化为讨论可
12、行域上点到定直线距离最值的讨论，平移定直线穿过可行域，寻找最优解得目标函数最值3x+5y=2561图6x4y=36EF引申3：若变量满足的条件不变，设，如何求的最大值和最小值？引导探究3：目标函数，即，其几何意义为定点E（1，2）与可行域（如图6中阴影部分）上任一点M的距离的平方，所以求的最值要先找可行域上与E距离最大（小）的点即最优解如图6，以E为圆心，（0）为半径作圆E，辐射整个可行域，当圆E与相切时，最小，此时切点F（1，2）为最优解，代入目标函数得，或由的最小值为，即点E到直线的距离的平方，得；同法得当圆E过A时，最大，将最优解A（5，2）代入目标函数得3x+5y=2561图7x4y=
13、36D求这种目标函数形如点点距离型二元二次型目标函数一般先进行配方，结合两点间距离公式，转化为讨论定点与可行域上点之间的距离的最值的讨论，以定点为圆心作圆，当圆与可行域有公共点时，由半径最值寻找最优解得目标函数最值引申4：若量满足的条件不变，设，如何的最大值和最小值？引导探究4：目标函数的几何意义是过D（1，1）和可行域（如图7中阴影部分）上任一点的直线的斜率如图7，先找一条过D的直线，把绕点D旋转一周扫过可行域，当过B（1，）时，斜率最小，将最优解（1，1）代入目标函数，得；当过C）时，斜率最大，将最优解代入目标函数，得3x+5y=2561图8x4y=36求这种目标函数形如斜率型二元一次分式
14、型目标函数联想到直线的斜率公式，利用其几何意义数形结合，便可找到最优解，求出目标函数的最值引申5：变量满足的条件不变，设,若取得最大值时的最优解有无穷多个，求的值引导探究5：目标函数，即，该直线斜率，纵截距，任作一直线并平移穿过可行域（如图8中阴影部分），只有当时，取最大值，因为线段AC上任一点即为最优解（有无穷个），除此之外，取最大值的最优解只有一个这种已知最值或取最值时最优解的个数求参数值型非常规规划题往往难度较大，但只要对目标函数的最值讨论比较熟练且善于应用数形结合思想及运动变化的解题策略，便很容易化险为夷发展学生思维能力是数学教学的一项中心任务，也是素质教育的要求，思维品质的培养是发展
15、学生思维能力的突破口。教师要求学生在课堂上数学时对有些例题进行一题多解，课后教师要求学生对适宜一题多解、一题多变的数学问题进行一题多解、一题多变，如何判断解题方法的合理性和科学性，主要根据题设和结论来判定，我们在选择解题方法时，要认真分析，辩证看待，全面考虑，科学决策。因此，在课本中适时安排一题多解、一题多变的教学，对培养学生思想品质很有效果，在所学知识范围内，进一步探究数学问题的解法对培养学生的思维品质有重要作用。现行试验修订本教材中不少例题和习题，题中概念少，难度不大，但往往蕴含着丰富的内容若重视引导学生钻研这些例题和习题，不仅能全面掌握基础知识和基本技能，还能培养学生的探究意识，提高分析解决问题及灵活应用数学知识的能力