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1、立体几何解题方法指导 钢城四中 苏慧兰一、考点扫描 1常考题型及分值情况：从近三年的高考来看，立体几何题型一般是“两小一大”，两小即两道选择题或一道选择题一道填空题，一大即一道解答题，有2-3问，一般位于六道解答题前三道的位置，分值共约计22分，约占整个试卷的15%。2知识点的考查情况：从历年的高考试题看，对高中数学教材立体几何这一章节所涉及的概念、性质、公式、法则、公理、定理都作了较为全面的考查。小题以线与线，线与面，面与面的基本位置关系判定或以多面体、柱体、锥体、球为载体计算角、距离、表面积、体积等的考查为主。其中平行关系与垂直关系的考查是重点，垂直关系的考查是核心内容，常常以命题、充要条
2、件的形式出现进行考查；由书本典型例、习题总结出的如三角余弦定理，二面角中面积射影定理等也有过考查。空间角的问题常以异面直线所成的角或线面角的考查为主，解决的基本方法有平移法，定义法等；空间距离常以点面距离、线面距离、球面距离的考查为主，求法主要有直接法、间接法、定义法等，尤其要关注用间接法中的等积转换法求点面距离；同时对柱体、锥体、球或空间图形组合体的表面积或体积的考查也有一定的力度，常用的解决方法有展开与折叠法，割补法，等积转换法等。大题主要考查立几的综合问题，重点考查立几中的逻辑推理问题，如空间线与线，线与面，面与面平行或垂直关系的论证；异面直线所成的角或线面角或二面角的求解；点面距离、线
3、面距离、面面距离的求解；利用所给的条件探索某些点或线是否存在的问题；平面几何图形与空间几何体的展开与折叠问题；长度、角、面积定值与最值问题等。一般设有2-3问，每问之间具有一定的连贯性。命题载体可趋向于不规则的几何体，但仍以“方便建系”为原则，解题方法有几何推理的传统法和代数计算的向量法。以下结合湖北省及全国近五年的高考试题就立几问题的传统法进行剖析，所有的方法不可能面面俱到，摘选一些供大家参考。二、方法指导：例1：（09四川）已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是（ ）APBAD B面PAB面PBC C直线BC/面PAE D直线PD与面ABC
4、所成角为45PABCDEF解析：本题是对空间中的线线垂直，线面垂直，线面平行，线面角，面面垂直等的定义、判定定理以及性质定理的考查。定理直接应用法：PA面ABCDEF PB在面ABCDEF内射影为AB若PBAD 则 ABAD，（三垂线定理的逆定理），而AB不垂直AD，选项A不正确反证法：若面PAB面PBC，作AGPB于G，则AG面PBC，BCAG 又BCPABC面PAB BCAB，而BC与AB不垂直 选项B不正确反证法：若直线BC/面PAE，注意到BC/AD，而AD与面PAE相交，BC与面PAE相交 选项C不正确定义法：PD与面ABC所成角为PDA，在RtPDA中，AD=2AB=PA PDA=
5、45 故选择D点评：本题考查了三垂线定理，面面垂直的性质定理，线面角的求法，每一个选项都设计精巧，很好地考查了空间想象能力和逻辑推理能力，是历年高考考查的重点。例2：（09陕西）球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O=，A、B是圆O1上两个点，若A、B两点间的球面距离为，则AO1B= OABO1解析：本题主要考查球面距离，把握好球心角，圆心角的转化是求解本题的关键。定义，公式并用法：设球心角AOB=，利用球面距离公式，知AOB=60 又OA=OB AOB为正三角形，可知AB=OA=2，在等腰AO1B中， O1A= O1B= AO1B为等腰Rt，圆心角AO1B=90点评：高考题中与球相关联的考题
6、往往结合截面圆，经度，纬度，弧长等考查球面距离，同时也可以结合与球有关的组合体（如球内接正方体，长方体；球内接棱柱，棱锥；正方体的与棱或与面相切的内切球；几个球外切堆放等）考查球的表面积与体积问题等。解决的关键在于将空间图形问题转化为平面图形的问题，将复杂的图形分解成简单的图形，同时需要有一定的空间想象力才能在没有给出图形的前提条件下自己作图，所以在平时的练习中要加强训练。例3：（08安徽）在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC=，OA面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点。（1）证明：直线MN/面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；（3）求点B到
7、面OCD的距离。OABCDMNEPQ解析：（1）证明线面平行往往有两种方法：用线线平行判定定理或面面平行性质定理，无论哪一种方法添加合适的辅助线才是关键。（2）两条异面直线所成的角，要以运动的观点运用“平移法”，使之成为两相交的直线所成的角，要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系，尤其要利用“中点”特性等。（3）求距离常有直接法和间接法，直接法是直接寻找并作出所求距离对应的线段，证明它就是所求距离后根据图形特点进行求解；间接法有等积法和转化法。等积法即把所求距离看作某三棱锥从某一顶点出发的高，再通过变换合适的三棱锥的顶点，利用同一三棱锥改换顶点体积也不变的结论列方程求出相应的距离。转化法是将点面、
8、线面、面面之间的距离利用线面平行或面面平行进行等价转化，直到容易求出为止。证明：（1）线面平行判定定理直接应用法：取OD中点E，连ME、EC，易知MENC 四边形MNCE是平行四边形MN/EC 又MN面OCD，EC面OCD MN/面OCD另法：（面面平行性质定理直接应用法）取OB中点E，易知ME/CD，又EN/OC，可分别证得ME/面OCD，EN/面OCD面MNE/面OCD，MN面MNE MN/面OCD（2）平移法：CD/AB MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作APCD于P，连MP OA面ABCD CDMP（三垂线Th）ADP= DP=， MD= AB与MD所成角大小为（3）直接
9、法：AB/面OCD 点B到面OCD距离等于点A到面OCD距离连OP ，过A作AQOP于Q APCD，OACD CD面OAP CDAQ又AQOP AQ面OCD， 线段AQ的长就是A到面OCD的距离AP=DP= ， OA=2 OP=，AQ=B到面OCD距离为间接法：在OCD中，OD=，OC= CD=1 在OCD中由余弦Th知 由，同时设B到面OCD距离为d 得知 点评：线面平行是空间中的一种重要的位置关系，是联系线线平行及面面平行的关键，常出现在选择或填空中，也可能以柱体、锥体的形式出现在解答题中，要做好它需要有严谨的空间想象能力和逻辑推理能力，同时还要注意书写的规范性，是历年高考的重点。空间角是
10、立体几何中的一个重要概念，包括线线角（主要是异面直线所成的角）、线面角、二面角的平面角，可以在选填题中出现，更多地是在解答题中出现。它同距离一样是空间图形的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故以高频率出现在历届高考试题中，理应予以高度重视。点面距离、线面距离、面面距离、异面直线间的距离都是高考的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇，解决的步骤分别为“一作”：作出所求距离对应的线段；“二证”：证明线段就是所求的距离；“三计算”：根据图形特点找到相应关系求出线段长度，即所求的距离。例4：（09湖北理科）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=，AD=，点E是
11、SD上的点，且）。（1）求证：对任意的，都有ACBE；（2）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为若，求的值。解析：本题考查线面、面面垂直的判定或性质Th，线面与二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力和计算求解能力。（1）连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影 ACBE（2）由SD平面ABCD知，DBE= SD平面ABCD是正方形 CDAD,F又底面ABCD是正方形 CDAD 而SDAD=D CD平面SAD 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DFAE于F，连接CF，则CFAE 故CFD是二面角CA
12、ED的平面角，即 CFD= 在Rt中 BD=2a，DE=，在Rt中 AD=a，DE=，从面 在Rt，由，得由，得解，即为所求。点评：本题以四棱锥为背景，垂直关系为载体，以几何动态变化中不变量为素材，探索线线垂直、线面角、二面角等有关知识，重在让考生在动静结合之中展现空间想象能力和理性思维过程，两问螺旋式设计是很好体现了由浅入深，由常量到变量，由静态到动态的变化，一证一求，一推理一探索。立几在高考的考查中突出考查逻辑思维能力，运算能力，空间想象能力，分析和解决问题的能力，在平时的立几学习中加强数学思想方法的训练，转化、化归思想贯穿立几学习的始终，在复习中应注意培养化归，转化意识，掌握常见的化归、
13、转化方法，将空间问题平面化，再进行量化处理。巩固练习：一填空题1如图，在三棱柱中，侧棱的长为1，则该三棱柱的高等于 2等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于 3如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km(结果中保留反余弦的符号)第3题图二 解答题4 在ABC中，B=,AC=,D
14、、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将ABC沿DE折成直二角角，求：（）异面直线AD与BC的距离；（）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.第4题图5如图，在三棱锥中，ACBP（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离巩固练习答案1 .1/2 2. 1/6 3. 4（）在图1中，因，故BEBC.又因B90，从而ADDE.第4题图1在图2中，因A-DE-B是直二面角，ADDE,故AD底面DBCE，从而ADDB.而DBBC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.下求DB之长.在图1中，由，得又已知DE=3,从而第4题图2因（）在图2中，过D作DFCE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，AD底面DBCE,由三垂线定理知AFFC,故AFD为二面角A-BC-B的平面角.在底面DBCE中，DEF=BCE,因此从而在RtDFE中，DE=3,在因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan5（）取中点，连结，ACBEP，平面平面，（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，二面角的大小为（）由（）知平面，ACBDPH平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中，点到平面的距离为16