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1、巧用能量守恒简化解题过程长沙市明德中学 李启洪能的转化和守恒定律是自然界最基本、最普遍的规律。这个定律告诉我们，各种不同形式的能量可以互相转化，而总能量保持不变。也就是说，某种形式的能量减少了，必有其它形式的能量增加了，而且减少的数量和增加的数量总是相等的。这个规律虽然不象牛顿第二定律、动能定律等规律那样有一个明确的公式，但如能深刻理会能的转化和守恒定律的实质，搞清实际问题中能量变化的情况，合理运用能量守恒规律，能使解题过程大大简化。 例1、一质量为m的物体，从高h1处由静止起匀加速下降，落到雪地上后，又匀减速陷入深度为h2的雪中。设空气对物体的阻力为F1，求雪对物体的阻力F2。(设阻力恒定)
2、【解一】用牛顿第二定律求解。, 设在空气中下落时物体的加速度为a1。, 物体刚落入雪地时的速度v为, 物体在雪地中运动的加速度a2为因为物体落地时的速度即为在雪地中运动的初速度 由、得：, 解得：【解二】用能的转化和守恒定律求解。物体的重力势能减少了mg(h1+h2)，而物体的初、末速度均为0，其动能未变。因此，物体减少的重力势能通过空气阻力和雪的阻力做功转化为内能。由能量守恒： mg(h1+h2)=F1h1+F2h2, 解得：【点评】比较两种解法，不难看出，用能量守恒求解比用牛顿第二定律求解要简洁得多。当然，这道题目也可用动能定理求解，过程也很简洁。例2、总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速
3、前进。其末节车厢质量为m，中途脱钩。司机发觉时，机车已行驶了L的距离，于是立即关闭油门，撤去牵引力。设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力恒定。当列车的两部分都停止时，它们相距多远？【解一】用牛顿第二定律求解。设脱钩前列车的速度为v0。脱钩前列车匀速运动，其牵引力 F=kMg脱钩后末节车厢的加速度 a1=f/m=kmg/m=kg末节车厢的位移 , 关闭油门前机车的加速度关闭油门时机车的速度 v2=v022a2L , 关闭油门后机车的加速度机车的位移 , 由、解得：, s=s2Ls1【解二】用动能定理求解。设列车的牵引力为F，脱钩前列车的速度为v0，脱钩后两部分的位移分别为s1、s2。对机车脱钩
4、到静止的全过程，由动能定理：FLk(Mm)gs1=0(Mm)v02/2 对末节车箱，脱钩后运动的全过程，由动能定理：kmgs2=0mv02/2 脱钩前列车匀速运动，有：FkMg=0 由以上三式解得：【解三】用能的转化和守恒定律求解。若末节车厢脱钩时司机立即关闭油门，机车和末节车箱都克服摩擦力做功，动能转化为内能。由于两部分运动情况完全相同，因此停止时距离为0。现在机车在脱钩后运动了L的距离才关闭油门，此过程牵引力多做了FL的功(其中F为机车的牵引力，大小为kMg)。牵引力多做的这部分功，使机车的动能增大了，增加的动能在机车比末节车箱多走的s距离中，克服摩擦力做功而转化为内能。 kMgL=k(M
5、m)gs, 【点评】解法二中用动能定理比解法一就要简洁得多了，但解法三中，抓住能量变化这一线索，通过分析能量的变化情况，用能量守恒求解，较解法二又更简洁了。例3、如图1所示的平板车，质量为M，置于光滑水平面上。其竖直弧形轨道AB光滑，水平部分BC不光滑。一质量为m的物体从离平板车水平部分高为h处由静止开始滑下，最后停在平板车上的C点处。已知物体与平板车水平部分之间的动摩擦因数为，求物体在水平部分滑动的距离s。 A B C 图1【解一】物体从圆弧轨道由静止下滑到轨道最低点B的过程中，物体和平板车组成的系统水平方向动量守恒。 mv物=Mv车 此过程只有重力做功，系统机械能守恒。 , 由、解得： 此
6、后，物体在平板车上做匀减速运动，平板车也做匀减速运动，最后物体与平板车的速度相同，设为v。此过程物体与平板车组成的系统动量守恒。 mv物Mv车=(Mm)v将v物、v车代入，得： v=0此过程系统损失的动能通过克服摩擦力做功转化为内能。 解得： s=h/【解二】物体从平板车的弧面上下滑到B点再到C点相对于平板车静止的全过程中，系统水平方向的总动量始终为0，因此，物体在C点相对于平板车静止时，物体和平板车的速度均为0。所以，整个过程中系统损失的重力势能转化为内能。由能量守恒： mgh=mgs解得： s=h/【点评】解法一中用机械能守恒定律和动能定理求解。不难看出，由和式可联立得出mgh=mgs，即
7、为解法二中由能量守恒得出的表达式。这不是一种偶然的巧合，而是一种必然的结果。实际上，机械能守恒和动能定理只不过是能的转化和守恒定律的一个特例。例4、两根金属杆ab和cd长度均为l，电阻均为R，质量分别为M和m，Mm，用两根质量和电阻均可忽略不计的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，两导线分别跨绕在一根水平的光滑绝缘杆上，两金属杆ab和cd均处于水平位置，如图2所示。整个回路处在一个与回路平面垂直的的匀强磁场中，磁感强度为B。若金属杆ab正好匀速向下运动，求其运动速度的大小。(93全国高考题)M a b mc d 图2【解一】对ab杆，它受到重力Mg、方向向上的绳的拉力T、方向向上的安培力F作
8、用，此三力的合力为0。 FT=Mg 对cd杆，它受到重力mg、方向向上的绳的拉力T、方向向下的安培力F作用。由于ab、cd两杆的长度相等，且由于它们是串联连接，故电流相等，因此F=F。 T=Fmg 由、得： 2F=(Mm)g 导体切割磁感线产生的感应电动势 =Blv导体受到的安培力 , 由、解得： 【解二】ab杆匀速向下运动，其重力势能减少，cd杆匀速向上运动，其重力势能增加，而两杆的动能均未变，ab杆减少的重力势能转化为cd杆的重力势能和系统的电能(最后又转化为内能)，由能量守恒定律，在某段时间t内： Mgvt=mgvt2I2Rt 由于ab和cd两杆均切割磁感线，各自产生的感应电动势大小为B
9、lv，且此两感应电动势在回路中形成同方向的电流，故回路中的电流为, 由、联立解得：【点评】解法一中是先从物体平衡的角度求出安培力，而这个安培力是联系物体平衡和电磁感应的关键量。实际上，电磁感应着是伴随着能量转化的，解法二直接从能量转化的角度求解，舍弃了中间过程，用整体思维求解，使解题过程简化。例5、电阻为R的矩形导线框abcd，边长ab=L，ad=h，质量为m。自某一高度自由下落，通过一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域的宽度为h，如图3所示。若线框恰好以恒定速度通过磁场，线框中产生的焦耳热是_。(89年全国高考题)【解一】由于线框是匀速通过磁场区域，故线框在通过磁场区域的过程中，重力和
10、安培力等大反向。, 设cd边刚进入磁场的速度为v。安培力等于重力：, 感应电流： l a b c d, h 图3穿越时间： , 焦耳热： =2mgh【解二】线框穿过磁场(从线框下边进入磁场到线框上边离开磁场)的过程中，线框下落的高度为2h，重力势能减少了2mgh，而此过程线框的动能能变，减少的重力势能转化为电能，再以焦耳热的形式放出去。根据能量守恒，有： Q=2mgh【点评】这是一道典型的用能量守恒求解的问题。比较两种解法不难看出，用能量守恒求解比用常规解法简洁得多，甚至不需要计算，可通过分析能量的变化情况直接得出答案。例6、如图4所示，一个质量为m，带电量为q的小物体，在水平轨道Ox轴上运动
11、，O端有与Ox轴垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，场强的大小为E，方向沿Ox正方向。小物体以初速度v0从x0点沿轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f作用，且fqE。设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变。求小物体停止前所通过的总路程。(89年全国高考题) E -qO x x0 图4【解一】 如小物体是沿Ox正方向开始运动的，则在电场力F和摩擦力f作用下先做匀减速运动，再反向做匀加速运动。与竖直墙壁碰撞后，又沿Ox轴正方向做匀减速运动，再反向做匀加速运动。如此反复，最后停在竖直墙壁处。, 沿Ox轴正方向运动的加速度, 沿Ox轴负方向运动的加速度, 从开始运动到第一次速度为0时的位移s1
12、此后小物体沿Ox轴负方向做匀加速运动，到达墙壁时的速度v1为： v12=2a2(x0s1), 碰后又沿Ox轴正方向匀减速运动，位移s2此后小物体沿Ox轴负方向做匀加速运动，到达墙壁时的速度v2为： v22=2a2s2, 碰后又沿Ox轴正方向匀减速运动，位移s3, 同理可推得：小物体运动的总路程 s=s1(x0s1)2s22s3 =x02(s1s2s3), 而s1又可写成： 如小物体开始时沿Ox轴的负方向运动，用同样的方法可求得：【解二】不管物体先沿Ox轴正方向运动还是先沿Ox负方向运动，物体从开始运动到最后停在竖直墙壁处的整个过程中，动能减少了 eq o(sdo-8(),sdo 0(),sdo
13、 8()mv02，电势能减少了qEx0，减少的动能和电势能通过克服摩擦力做功转化为系统的内能。 fs=qEx0 eq o(sdo-8(),sdo 0(),sdo 8()mv02【点评】这是一道牵涉到多种形式的能量相互转化的问题，也是一道典型的用能量守恒求解的问题。比较两种解法可以看出，用能量守恒求解，不需要考虑物体的运动方向，也不需要考虑物体运动的过程，只要抓住物体初、末状态的能量及能量变化情况即可。通过以上几道例题的分析可见，在不牵涉到加速度的问题、在不需要求解中间量的问题中，用能量守恒比用牛顿第二定律简洁，甚至比用动能定理、机械能守恒定律都简洁。用能量守恒求解较简洁的原因在于，能量是状态量，用能量守恒求解时，只需抓住初、末状态的能量变化情况即可，可以不考虑具体的中间过程，舍弃了繁琐的中间过程的计算。用能量守恒解题的关键是要分析清楚题述过程中能量的变化情况，要象分析物体受力情况那样去分析能量变化的情况，理解能的转化和守恒的实质，抓住“某种形式能量的减少量必等于其它形式能量的增加量”，利用能量变化关系列方程求解。