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1、2 行列式的性质与计算,1 行列式的定义,3 行列式展开定理、克拉默法则,一、余子式、代数余子式,二、行列式按一行（列）展开法则,3 行列式展开定理、克拉默法则,三、克拉默法则,引例,可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示,一、余子式、代数余子式,定义,在 n 阶行列式 中将元素 所在的,第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置,次序构成一个 阶的行列式，,称之为元素 的余子式,记作 ,令,称 之为元素 的代数余子式,注：, 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式,和一个代数余子式,无关，只与该元素所在行列式中的位置有关, 元素 的余子式和代数余子式与 的大小,例如,元素除 外都为 0
2、，则,1.引理,二 、行列式按行(列)展开法则,若n 阶行列式 D = 中的第 i 行所有,例如,证：,先证的情形，即,由行列式的定义，有,结论成立.,一般情形：,结论成立.,例1.计算行列式,解：,2.定理,行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其,对应的代数余子式乘积之和，即,或,行列式按行（列）展开法则,证：,例2.计算n阶行列式,解：,考虑按照第一行或是最后一行或是最后一列展开,例3.证明范德蒙行列式,特点：1.第一行都是1。 2.第二行是基本元素行。 3.从第一行开始每一行是第二行的幂形式。,先证明3阶范德蒙行列式,证明,证：用数学归纳法.,时，,假设对于 阶范德蒙行列式结论成立
3、即,结论成立,把 从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的,倍，得,下证对于 n 阶范德蒙行列式 结论也成立.,范德蒙行列式 中至少两个相等,注：,范德蒙行列式另一形式：,第一节的例2：解方程,例4.计算2n阶行列式,其中未标明的元素都是0.,解：,3.推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的,对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证, 当 时,同理可证,综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：,代数余子式三种和形式比较,定理,推论,2和3的解题思路：根据行列式D构造新的行列式。,例5.设 求,解：,和,自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的 个数很多的线性方程组如n元一次线性方
4、程组,它的解也有类似二元、三元一次线性方程组的结论.,三、克拉默法则（Cramer,瑞士，17041752）,定理 如果线性方程组（1）的系数行列式,则方程组()有唯一解,（2）,Cramer法则,所得的一个 n 级行列式，即,的元素用方程组（1）的常数项代换,注解1：,克拉默(Cramer)法则中包含着两个前提和三个结论：,前提：,（1）线性方程组（1）中方程的个数等于未知量的个数；,（2）线性方程组（1）的系数矩阵的行列式不等于零.,结论：,（1）线性方程组（1）有解；,（2）线性方程组（1）的解是唯一的；,（3）线性方程组（1）的解由公式（2）给出.,例 5 用克拉默法则解方程组,解：,方程组的系数行列式,程的个数与未知量的个数不等时, 就不能用克拉,通过上述例子, 我们看到用克拉默法则求解,线性方程组时,要计算 n+1 个 n 阶行列式,这个,计算量是相当大的, 所以, 在具体求解线性方程,组时, 很少用克拉默法则.,另外, 当方程组中方,默法则求解.,注解2：,但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论,中的重要地位.,克拉默法则不仅给出了方程组有,唯一解的条件, 并且给出了方程组的解与方程组,的系数和常数项的关系.,注解3：,8.（5）证明行列式,解：,另解1：数学归纳法,另解2：根据最后一行降阶展开,9.（1）计算行列式,解：按照第一列降阶展开， 原式=,