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1、1997 年 6 月系 工程理 与 践第 6 期灰色系统关联度之分辨系数的研究a吕 锋(武汉工业大学机电科学与工程学院, 430070)摘要 本文讨论了灰关联度 ri 中分辨系数Q的实质意义, 研究了Q与 ri 的关系, 分析了在不同的系统观测信息下, Q的取值对关联度的影响, 提出了 Q的取值准则并给出了应用实例。关键词 灰色系统 关联度 分辨系数R e sea rch o nth eIden t if ica t io n Co eff ic ien to f R e la t io na l G rade fo r G rey Sy stemL u F eng(W uhan U n iv
2、e r sity o f T echno lo gy,430070)Abstrac tInth is p ap e r, theIden t if ica t io n Co eff icien tis d iscu ssed and it is po in ted o u ttha tdeno te s the w e igh t o f the sy stem w ho lene ss in R e la t io na l G rade r.iT he re la t io nlowQQQQ QQQQQQQQQ bQQQ22sh ip s be tw een and ri a re st
3、ud ied,tha t is fo llow ing:1.if1 2 ,then ri (1 ) 2 ,then ri (1 ) ri( 2 ) ;w he re1 and2 a re the va lue s o f.T he inf luence o f va lue s o f o n the R e la t io na l Sp acefo r g rey sy stem is a lso stud ied unde r the k ind s o f im age sequence o f sy stem facto r s. B a sed o n the abo ve a l
4、l, the m e tho d o f de te rm inm ing the va lue s o f is p ropo sed, a s fo l ing:1. if $m ax 3$v , then E$ Q 1. 5E$;2. if $m ax 3$v , then 1. 5E$ Q 2E$;F ina lly,app lica t io n exam p le s a re g iven.Keywordsg rey sy stem ;re la t io na l g rade ; iden t if ica t io n co eff icien t1 引言灰关 空 是灰色系
5、 的基石, 关 度 是灰关 空 的基 , 分辨系数的取 直接影响关 度的 算 果, 从而影响系 的分析、建模、决策与控制, 影响 系 模型GM 的 价和 果的可信度。因此, 分辨系数 行深入研究是十分必要的。记 Q 分辨系数, Fi(k ) 为 k 点的关 系数, ri 关 度, 有1nri=Fi(k )(1)n k= 1F6x 0-+miQ kx 0-x i (k )m in m in(k ) -x i (k )+m ax m ax(k ) -(k ) =ikik(2)ix 0(k )x i(k )Qx 0 (k )x i(k )ax m ax 里, x 0 (k ) 、x i (k ) 是
6、系 因子 x o、x i 的 序列的初 化序列, k = 1, 2, , n , 即x i =x i (k ) k =1, 2, , n i =0, 1, 2, , ma 本文于 1995 年 12 月 25 日收到 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd.All rights reserved.50系 工程理 与 践1997 年 6 月2 分辨系数 Q的意义文献 3 从拓 Fi(k ) 的 域的角度分析了 Q的意 , 其主要 如下:在 算中, 通常有: m in m inx 0 (k ) -x i (k ) =0。根据式(2)ik
7、= maxix 0(k )x i (k )maxx 0 (k ) -k当x i (k ) FF QF FFQ QQ FF时, i(k ) 取下界 im in (k ) , 且im in (k ) =1 + 然,随着 的减小, im in (k ) 也 小。由于关 系数的最大 (上界 ) im ax (k ) = 1, 所以当 im in (k ) 小 ,意味着i (k ) 的 域 大。必 指出: 上述分析只是在 数学上 。那么, 分辨系数具有什么 意 呢? 下面将 一 :$记x0 (k )- x i (k )m in = m in m in$ikx 0 (k ) - x i (k )m ax=
8、 m ax m ax$ikF$Q$ik =x 0 (k ) - x i(k ) 式(2) 改写 i (k )=m in +m ax(3)Q$F$ik +Q$m ax由式(3) 知,m ax 的存在, 使 i(k ) 的 不 直接取决于参考序列 x 0 和比 序列 x i , 而且 接地取决于所有其它比 序列 x j , j = 1, 2, , m , j i。因此, m ax 使关 度 接体 了系 的整体性。是系 整体性在关 空 中的反映。从 在式(2)、式(3) 中的位置看, 它是 m ax 的系数或称 重, 它的取 大小, 在主 上体 了研究者 $m ax 的重 程度, 在客 上 反映了系
9、 的各个因子 关 度的 接影响程度。Q越大, 明 $m ax 越重 ,各因子 关 度的影响越大; Q越小, 表明 $m ax 越不重 , 各因子 关 度的影响越小。3 Q与 ri 的关系Q 的 化, 可以 Fi(k ) 的 域。然而, 种 化会 关 度 ri 来何种 化呢? 研究 一 ,我 将 i(k ) 记为 i (k ,) , 式(3) 改写 :Q$Q$F(k ,)=m in +m ax(4)FQi$ik+Q$Qm ax引理 1 关 系数 i(k , ) 是分 系数 的 增函数。证由式(4)5F Q $ $Q$ $Q$i (k ,)m ax(ik +m ax ) -m ax(m in +m
10、 ax )5Q=$ $ $Q$Q$Q$(ik+m ax ) 2=m ax ( ik -m in )$Q$(ik +5Fm ax ) 2ik Qm in 所以有:由于FF Qi (k ,) 05Q 。引理 2Fi(K , Q) 与 Q无关的充要条件是: $ik = $m in。证 (略)。定理 1记 Q 分辨系数, Q1、Q2 为 Q的任意 定 , ri (Q1 ) 和 ri (Q2 ) 分 于 Q1、Q2 的关 度 , 则有:1若 Q1 Q2 , 则 ri (Q1 ) 2, 则 ri ( 1 ) ri (2 )QQQQn1证 1ri ( 1 ) =i (k , 1 )nk = 1=1( i(1
11、, 1 ) +i(2,1 ) + +i(n ,1 ) )A BMnFQFQFQ同理有QFQFQFQri (1(1,(2,2 ) =( i2 )+i2 ) + +i(n , 2 ) )A BMn$不失一般性, 不妨 k =$ik =, ,时,m in。由引理 2, 得QFA QF A Q,F BQF BA BMi(,1 ) =i( ,2 )i (,1 ) =i ( ,2 ) ,F MQF MQi(,1 ) =i( ,2 )当 k , , 时, 由引理 1, 知FQA BMi (k , 2 )i (k ,1 )k , k , , ,故有11nri ( 1 ) =( i ( ,1 ) +i ( ,1
12、 ) + +i (, 1 ) ) +i (k , 1 ) )QFFFFAAA6QQQQFFF BBBFQQQQQPFFFMMMQQQ6FFFQQQQ n=k = 1 i (k ,F2) =Qri ( 2 )nAA BBMMnk , , 11n=( i ( , 2 ) +i ( ,2 ) + +i ( , 2 ) ) +6i(k , 1 )nnk , , 161n 3$v 时, E$ Q 1. 5E$;2$m ax 3$v 时, 1. 5E$ 3 $v , 即 序列有异常 , E$ Q0. 5; 式(7) 表明, 当 $m ax 3$v , 即 序列比 平 , 离乱性 小 , 0. 5 3 v
13、所以v取Q= 1. 5E$ = 0. 458根据式(1)、式(2) , 求出 Q= 0. 458 时的关联度(见表 4)。为了方便比较, 也将 Q= 1, 015, 011 时的关联度列于表 4表 4Q$关联度序列 r1 r2 r3 z 4r5 关联度分布区间115E0. 665 0. 647 0. 551 0.767 0. 716 0.767,0.551 10. 795 0. 781 0. 695 0.869 0. 835 0.869,0.695 0.50. 681 0. 663 0. 568 0. 78 0. 731 0.78,0.568 0.10. 406 0. 387 0. 328 0
14、.502 0. 437 0.502,0.328 分析表 4可得:QQQE 当变小时, ri ( ) 也变小。 = 1.5$时, 关联度分布区间最大, 即Q$rm ax -rm in = 0.216这表明, 的取值有效地抑制了m ax 的影响。1QQ1QE,631, 与 =0.$相比时各关联度值都大大增加平均增加为这表明的取值使关联度更好地体现了系统的整体性。例 2 关联度用于GM 模型检验。某系统行为的观测序列如下:x (0) =x (0) (1) ,x (0) (2) ,x (0) (3) ,x (0) (4) ,x (0) (5) =32,37,41,46,50 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd.All rights reserved.54系统工程理论与实践1997