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1、超静定结构解法,能正确判定超静定次数，恰当地选好求解的方法；了解矩阵位移法的解题过程及超静定结构的性质。,了解力法、位移法求解超静定结构的过程。,目的：,要求：,超静定结构解法,退出,超静定结构解法,8-1 超静定结构及超静定次数的确定,8-2 力法和典型方程,8-3 对称性的利用,*8-4 超静定结构在温度变化和支座移动时的计算,8-5 位移法的基本概念,*8-7 矩阵位移法,8-6 转角位移方程解法,8-8 力矩分配法,退出,8-1 超静定结构及超静定次数的确定,超静定结构也叫静不定结构，是工程中常见的一类结构。从结构组成分析来讲，就是有多余约束的几何不变体。由于有多余约束存在，相应地就有
2、多余约束力，因此单靠静力学平衡方程就不能确定所有未知力，故名静不定。,超静定结构解法,求解超静定问题的方法有多种，力法是最基本、也是历史最悠久的一种。它是以多余约束力为未知数，列出变形补充方程求解后，其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。,所谓超静定次数，就是多余约束的个数，它可从超静定结构中解除多余约束的个数来确定，即它等于将有多余约束的几何不变体变为无多余约束的几何不变体时所要解除的约束数。,end,超静定结构解法, 而在体系内去掉一个铰，则相当于解除2个约束；, 切断一根梁(杆)则相当于解除3个约束。, 切断一根链杆或在杆件内添加一个铰，相当于解除1个约束；,超静定次数的多少就等于使超
3、静定结构成为无多余约束的几何不变体所要解除的约束数。,(a) 1次,(c) 1次,(c) 4次,(e) 1次,(b) 2次,(i) 4次,(f) 3次,(h) 9次,(g) 3次,end,超静定结构解法,8-2 力法和典型方程,以一封闭刚架为例来说明其解法，并由此导得用力法求解超静定问题的一个典型方程。,今设在刚架中央截面C处截开，则得两个半刚架的静定基，超静定次数为3，故加三对多余约束力X1， X2， X3以取代解除的约束作用；,end,超静定结构解法,然后再分别求出外荷载P及各未知内力例如X1在解除约束处的相应位移 。由于是线弹性结构，所以：,式中 分别是X1方向的单位荷载在X1，X2，X
4、3方向所引起的位移，见图(d),同理也可求出其他内力X2，X3在此三方向上所引起的位移。由于结构在C处是连续的，因此，所有外荷载及各多余约束力在该处引起的相对变形应为零。,end,超静定结构解法,(8-1),位移互等定理,典型方程,对于n次的超静定结构，当然也可以写出类似的n个变形补充方程，可解出n个多余约束力。多余约束力解出后，问题就变成静定的了，其他未知反力、内力、位移等都可按静定结构的计算方式进行计算。,end,超静定结构解法,总结一下力法的解题步骤如下：,(1)判断结构的超静定次数；,(2)解除多余约束，代以相应的多余约束力Xi，选好静定基；,(5) 用叠加法作出超静定结构的内力图后，
5、可进行各种计算。以作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为：,(6)校核：对力法计算结果的校核，主要是看解算典型方程时是否有问题。因为从理论上讲，满足超静定结构平衡方程的多余约束力可有无限多，但只有又满足变形连续条件的那一组多余约束力，才是超静定结构中唯一的那组真实的力。所以在求得多余约束力后，再按计算静定结构位移的方法，计算一下超静定结构的位移，看它是否满足巳知的变形条件或连续性条件。如满足，则结果正确。,(3)分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相应的位移 ；,(4)将 代入典型方程，求出多余约束力Xi；,end,超静定结构解法,例 8-1 图示一对称刚架，即平分刚架的左、
6、右两半部分，不但由轴线所构成的几何图形是对称的，而且所用材料、截面尺寸、支座条件也是相同的。设尺寸和受力如图，杆的刚度为EI，试作其弯矩图。,本题为刚架，用图形互乘法求解较方便。作出外载和各单位荷载在静定基上的内力图 (c ,d ,e ,f )，不难求得典型方程中各系数如下：,end,超静定结构解法,式中, d12=d21=0，d23=d32=0是由于M10和M30图形对于结构的对称轴来说是正对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半的图形完全重合)；而图形M20则是反对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半图形的坐标值大小相等而符号相反)。正、反对称图形互乘后，所得位移恒为零。
7、,将上述系数代入典型方程后得：,end,超静定结构解法,解之得：,end,8-3 对称性的利用,超静定结构解法,由前节所举的例中巳经看到：当结构有对称性时，则在对称截面处切开，解除其多余约束，利用轴力和弯矩的正对称性、剪力的反对称性，可得知: d12=d21=0; d23=d32=0。,这样，原来的高阶方程组可以分解为低阶方程组。,反对称荷载在对称结构的对称截面处 (不引起正对称的内力) 只引起反对称性内力。,作用在对称结构上的荷载也有正、反对称性时，典型方程也可简化。,正对称荷载在对称结构的对称截面处 (不引起反对称的内力) 只引起正对称的内力；,end,超静定结构解法,另外，一般说来，对称
8、结构在对称荷载作用下(图8-8a)，其反力、内力、变形都是对称的；而对称结构在反对称荷载作用下(图8-9a)，其反力、内力、变形都是反对称的。利用这个特点，我们对于对称结构的计算，还可以从计算简图上作出简化，即只需取出结构的一半来计算。,end,超静定结构解法,end,超静定结构解法,当对称结构受有不对称荷载时，可将此不对称荷载分解为正对称和反对称的两组荷载，再利用上述方法分别 取半结构来计算,以上节中所讨论的刚架为例来说明：若按现在的方法计算，则要简单些,代入典型方程,得,end,超静定结构解法,例8-2 求图示半径为R的超静定拱中拉杆的拉力，巳知曲梁的刚度为EI及杆的刚度为EA。,end,
9、超静定结构解法,*8-4 超静定结构在温度变化和支座移动时的计算,静定结构在温度变化和支座移动时，在结构内部不会引起内力。但对超静定结构，由于存在多余约束，结构不能自由地变形，其内部就要引起内力。,1.温度变化时的内力计算,图示刚架为2次超静定结构，外侧温度为t1，内侧温度为t2。,式中1t，2t 分别表示静定基在温度变化时在X1，X2方向的相应位移，它们由上章的(7-28b)公式计算如下：,( i =1，2),方程中的其他系数dij的计算仍和以前的相同，它们是和温度变化无关的。,end,超静定结构解法,例8-3 图(a) 所示的刚架，当外侧温度为20，内侧温度为30 时，试作其弯矩图。巳知截
10、面对称于形心轴，截面高度h=l /10，EI、EA均为常数，材料的线膨胀系数为a。,end,超静定结构解法,2. 支座位移时的内力计算,图示一等截面两端固定梁。设固定端A有一顺时针转角j ，求支座反力，并作弯矩图。,end,超静定结构解法,如果上题取静定基如图,所得结果可以看出：超静定结构由于支座位移所引起的内力也是和杆件刚度的绝对值有关的。,end,超静定结构解法,当单跨超静定梁受到各种荷载及支座位移的共同作用时，其杆端力可根据叠加原理，由表8-1中相应的杆端力叠加而得。,如对于图示两端固定的等截面梁，其杆端弯矩和剪力(或写成矩阵形式)为：,end,超静定结构解法,对于图所示的A端固定、B
11、端铰支的等截面梁，其杆端力为：,end,超静定结构解法,对于一端固定、一端定向支承的等截面梁，如图所示，其杆端弯矩为：,上述公式习惯上常称为等截面杆的转角位移方程。它表达了杆件两端内力与所受荷载及两端位移间的关系。,上述公式中的比 DAB / l 又可写成：,bAB = DAB / l,杆AB的弦转角。,公式中jA、jB的符号都以顺时针转向的为正，而DAB则以使整个杆顺时针转向的为正，即弦转角也以顺时针转向的为正。,end,超静定结构解法,上面转角位移方程是在单跨超静定梁中导出。对于刚架，同样适用。图(a)可以离散化为(b)、 (c)、 (d) 。,若已知节点位移jB，jC 和 D ，则可由转
12、角位移方程求得杆端力，进而求得任一截面的内力。,end,超静定结构解法,8-5 位移法的基本概念,这种以结构的结点位移为未知量求解超静定结构的方法称为位移法。,由于在一定的外因作用下，结构内力和位移间恒有一定的关系存在。因此般说来，我们也可用结构的某些位移作为基本未知量，首先求出它们，然后再由内力位移关系式求得内力，再算其他力学量。,end,超静定结构解法,结构的独立的线位移数，即是使和结构对应的链杆结构变为无多余约束的几何不变体时，所需添加的链杆数。,决定结构变形状况的结点位移不外是角位移和线位移两种。,结构独立的角位移数，可明显看出即为结构的刚结点数；,用位移法求解超静定结构时，首先需要确
13、定结构的未知的位移数。 考虑到支座处的位移条件及一般工程 结构计算中常忽略杆的轴向变形而认为杆长不变的条件，此时决定结构变形状况的位移数称独立位移数。,end,超静定结构解法,8-6 转角位移方程解法,在不计杆的轴向变形的情况下，该结构只有B结点处的一个独立角位移设为Z1，方向和m同。写出刚架在此种变形情况下各杆的杆端力如下：,位移法解超静定结构的基本思路是：首先将结构离散为如表8-1中的三种单跨超静定梁，并使其在载荷及所设定的位移下变形，由此可写出各杆端的杆端力表达式(即转角位移方程)，然后再将变形后各杆，按支座条件及变形连续条件拼装起来，组成或恢复为原结构，最后由各结点处的内力(其大小等于
14、各杆端的杆端力)和外力的平衡条件，即可求得所设的未知位移。,end,超静定结构解法,对(1)杆：,对(2)杆：,end,超静定结构解法,由结点2的平衡条件如图所示可得：,即,得,在以后的矩阵位移法和电算法中，常限定刚架中各杆均为两端固定的梁，这样，单元类型统一，转角位移方程只有一种，编写程序简单。当然，在刚架的原铰结点(包括铰支座)处应增加相应的角位移作为未知量来求解。,end,超静定结构解法,按此求解本题时，就要取两个角位移Z1,Z2为未知量，列出各杆的杆端力表达式(a)和结点的平衡方程(b),(b),(a),代入解得和前一样的结果：,而Z2依赖于Z1，故它是不独立角位移。,end,超静定结
15、构解法,例 8-4 试用转角位移方程法求解图(a)所示超静定刚架，巳知各杆的线刚度均为i =EI / l。,对杆(1),对杆(2),再由结点2和(2)杆的平衡条件(图中内力均设为正)得到位移法方程如下：,解得：,end,超静定结构解法,*8-7-1 矩阵位移法概念,上节计算中实际上巳包括了这两大步骤，只是没明说，今再详述如下。,矩阵位移法的基本计算步骤是单元分析和整体分析。,矩阵位移法解题时，首先要将结构(如图8-29中的刚架)离散为两端固定的杆的单元，并对单元和结点加予编号，如图中的(1)、(2)单元和1、2、3结点。对每个单元都规定其局部坐标，如图14-8a中的i、j分别表示其局部坐标的始
16、点和终点j。i、j也称该单元结点的局部码。,*8-7 矩阵位移法,另外，对结构的未知位移也进行编号，如8-29b中的Z1、Z2，相应的结点荷载P也给予同样的编号，如上节图8-27中的P1=m，P2=0。此处对结构未知位移的编号1、2即称为结构的整体码，它是相对于结构的整体坐标x、y而言的(图8-29b)。,进行了上述编号和命名后，我们来写出单元分析和整体分析的结果。,end,超静定结构解法,(1) 单元分析。所谓单元分析，即要写出各单元当杆端发生位移时杆端力和杆端位移的关系式，如上节中各杆的转角位移方程，若将此方程用矩阵来表达则为：,或简写为：,F (1) =K(1)d (1) (a2) F
17、(2) =K(2)d (2) (b2),F(1)=Mi(1) Mj(1)T， F(2)=Mi(2) Mj(2)T 分别称为单元(1)和 (2)的杆端力列向量 d(1) =i(1) j(1)T ，(2) =i(2) j(2)T 分别称为单元(1)和 (2)的杆端位移列向量,其中,分别称为单元(1)和单元(2)的单元刚度矩阵,end,超静定结构解法,由上可以看出，不管是杆(1)还是杆(2)，其单元刚度矩阵的形式都是一样的，即它们只和杆件的结构形式和杆件的刚度有关，和外荷载无关。把它们写成一般形式即是：,(8-9),end,超静定结构解法,(2)整体分析。所谓整体分析，即要找到作为结构整体的结点荷载
18、和结点位移间的关系，即如上节中的(c)式，把它写成矩阵的形式即为：,KZ=P,式中：Z=Z1 Z2T 称为结构的结点位移列向量； P=P1 P2T=m0T称为和结构的结点位移相应的结点荷载列向量,该结构的整体刚度矩阵或结构刚度矩阵,对于2个未知位移的结构，它是二阶矩阵，其一般形式为：,它也只和结构的形式及杆的刚度有关，而和荷载无关，表达的是结构固有的刚度特性。,end,超静定结构解法,“换码”和“对号入座”, 就是将各单元杆端位移的局部码用对应的整体码来代替。,结构刚度矩阵也可直接由各单元刚度矩阵通过“换码”和“对号入座”等系列程式化的手续而得到。,通过换码，保证了变形连续条件、支座条件的满足
19、。,对应于上述换码过程，可在各单元刚度矩阵的上方和右方分别以相应的整体码标记之。如将其写成列向量，称单元的定位向量并用 l(e) 表示，则前述两单元的定位向量分别为： l(1) =0 1T， l(2) =1 2T,“换码”,所谓单元的定位向量l，是指用该单元两端的位移分量所对应的整体码按顺序排列所形成的列向量。,end,超静定结构解法,“对号入座”,将同一位置上的各元素叠加后即得所求的结构刚度矩阵。,对本题来说，结构刚度矩阵即为：,end,这种由单元刚度矩阵通过上述集成方式而得出结构刚度矩阵的方法称刚度集成法。 由于用此法集成结构刚度矩阵之前，巳对结构的位移边界条件作了处理(如使本题中的各结点
20、的线位移为零和固定端处的转角为零，从而使结构的位移边界条件得到了满足)，故此法又称为先处理法。 有了结构刚度矩阵，使之和结点位移列向量相乘并使之和荷载列向量相等(满足了平衡条件)，就得到了求解结点位移的方程： KZ=P (8-11) 求解此类方程组即得所求的结点位移： Z=K-1P (8-12) 结点位移解出后, 将其代入各单元的转角位移方程, 即得各单元的杆端弯矩，再由平衡条件或公式不难得出各单元的其他内力如杆端剪力和轴力等。,超静定结构解法,end,解：,例 8-5 求连续梁在结点荷载作用下各杆的杆端弯矩,（1） 将结构离散为单元(1)、(2)、(3)，设定各结点编码(局部码)1、2、3、
21、4，各单元的局部坐标方向如图,（2） 本结构无结点线位移，只有3个角位移，设各未知位移的编码(整体码)为1、2、3，则其位移列向量为Z=Z1 Z2 Z3 T，角位移以顺时针方向为正,超静定结构解法,end,（3）对应于上述未知位移的结点荷载列向量为：,P= m1 m2 m3 T,（4）列出各单元刚度矩阵，并按照换码时的要求，写出其在整体刚度矩阵中的行码和列码于其右侧和上侧。对本题来说，,(1)=0 1T，(2)=1 2T，(3)=2 3T,这样，各单元刚度矩阵在整体刚度矩阵中的对应位置就确定,超静定结构解法,end,（5） 由刚度集成法得整体刚度矩阵如下：,（6） 列出结点位移结点荷载方程：,
22、超静定结构解法,end,超静定结构解法,（7） 解出 Z=Z1 Z2 Z3T 后，代入各杆的单元刚度矩阵，可得各单元的杆端弯矩分别为：,当 i1 =i2 = i3 ；时，则可作出连续梁的弯矩图如图(c)。,end,超静定结构解法,8-7-2 非结点荷载的处理,矩阵位移法的控制方程是结点的内力和结点荷载的平衡方程。对实际上常有的非结点荷载就要将它变换为相应的结点荷载。变换原则是：结构在变换后的结点荷载作用下的结点位移应与原荷载作用下的结点位移相同。所以这种相应的结点荷载称为等效结点荷载。,end,超静定结构解法,为了得到所示结构的等效结点荷载，可分两步考虑 (如以上列刚架为例) ：,(1)先设想
23、将结点B 用约束完全固定，由此算出作用在此附加约束上的反力R，它应该等于结点处各杆端力F 和杆端力矩M 的代数和：,end,超静定结构解法,(2)由于结点B实际上是有位移的，为了恢复上述约束结构B点处的位移，只须在上述约束结构B点处附加上述约束反力的负值即可。,所以，所谓等效结点荷载P实际就是约束结构在该结点处各单元杆端力和杆端力矩代数和的负值。(F，R和P的正负以整体坐标为准)。,end,超静定结构解法,如以数字,代入，可得此题的等效结点荷载如图所示，其值为：,end,超静定结构解法,8-7-3 考虑杆的轴向位移时的单元刚度矩阵,设取单元局部坐标沿杆轴向，为其横向，采用右手坐标系。,杆端力和
24、杆端位移的正向按坐标系规定如图所示：,end,超静定结构解法,end,超静定结构解法,为求得所示单元的单元刚度矩阵，可用叠加法，即先分别求出一种杆端位移所引起的杆端力，后再叠加即得所求。各种杆端位移下的杆端力如图所示，叠加后得：,end,超静定结构解法,end,超静定结构解法,简化形式则为：,其中即该单元的单元刚度矩阵， 它是个对称矩阵，即：,(8-14c),(8-15),end,超静定结构解法,反力互等定理,end,超静定结构解法,end,超静定结构解法,8-7-4 杆的单元刚度矩阵的一般形式-坐标变换,由于结点位移和结点荷载间的方程 KZ=P 是建立在结构坐标系或整体坐标系上的，所以为了便
25、于说明结构的结点平衡条件和变形连续条件，有必要将各单元在局部坐标中的各力学量都统一地转变到结构坐标中去。,end,超静定结构解法,设单元在局部坐标中的杆端力列向量是,而在结构坐标中，该杆端力列向量将表达成：,设从轴转到轴的夹角a 顺时针转向为正，由静力等效变换得,end,超静定结构解法,坐标变换矩阵,end,超静定结构解法,注意到 T 中任一行(或列)的各元素的平方和等于1、且任两行(或两列)对应元素相乘的代数和为零，故 T 为正交矩阵。因此有：,上式两边前乘以T -1，得：,结构坐标系中单元刚度矩阵,end,超静定结构解法,end,超静定结构解法,8-7-5 用刚度集成法解平面刚架,下面通过
26、平面刚架的求解来总结下矩阵位移法求解超静定问题的一般步骤：,(1) 划分单元并对结点和单元编码：选取结构坐标系和单元坐标系，确定单元的始端和终端，分别标以局部码 i 和j，同时对未知的独立结点位移和相应的结点荷载进行编码，标以整体码如1、2、3等； (2) 按照整体码的顺序列出未知独立位移列向量Z和相应的结点荷载列向量P (包括非结点荷载的处理)： (3) 按公式(8-25)求出各单元在结构坐标系中的单元刚度矩阵，按变形连续条件和边界位移条件，写出各单元的定位向量l(e)，表出其元素在结构刚度矩阵中的位置，进行“换码”；,end,超静定结构解法,(4) 按“对号入座”的办法将各单元中的相应元素
27、填到结构刚度矩阵的相应位置上去，并进行叠加，即得结构刚度矩阵K； (5) 按Z=K-1P求解未知独立结点位移Z； (6) 将结点位移Z 改用相应的杆端位移表示后，按(8-24)式，计算在结构坐标系中的杆端力，再按(8-19)式计算在单元坐标系中的杆端力。当单元内有非结点荷载时，还需叠加上由此非结点荷载在杆端引起的固端力才得杆端的实际的杆端力，即：,再转换为单元的局部坐标系中的杆端力,也可将非结点荷载在杆端引起的固端力计入结构坐标系的杆端力中，即：,end,超静定结构解法,例8-6 计算图示刚架的内力，设各杆的弹性模量和截面尺寸相同。不考虑轴向变形的影响。,解：(1),单元(1) 取 i1，j2
28、，,单元(2) 取 i1，j3，,单元(3) 取 i3，j4,故 a1=/2，a2=0，a3=/2,将刚架划分为(1)、(2)、(3)三个单元，结点编码为1、2、3、4；,在不考虑轴向变形情况下，结点1和结点3的水平位移相等，故独立的结点线位移只有一个，用Z1表示，结点角位移编码为Z2、Z3；,end,超静定结构解法,(2)结点位移列向量为：,将单元(1)上的均布荷载化为等效结点荷载后，与原有的结点荷载叠加，得相应的结点荷载列向量为：,end,超静定结构解法,(3)建立结构坐标系中的单元刚度矩阵并换码,sina1=1，cosa1=0，按(8-25)求,单元(1)：,end,超静定结构解法,因
29、a2=0，由于Z1只引起单元(2)发生刚体平移而不引起内力，所以单元(2)的受力情况仅与2、3两端转角Z2、Z3有关。因此，Z1的整体码应换为“0”。,单元(2)：,end,超静定结构解法,sina3=1，cosa3=0，按式(8-25)求：,单元(3)：,end,超静定结构解法,(4) 将上面三个单元刚度矩阵中的各元素，按行码和列码用“对号入座”的办法可得结构刚度矩阵为：,结构刚度方程P=KZ为,end,超静定结构解法,(5) 解结构刚度方程求结点位移 Z = K -1P 即得：,(6)计算各单元的杆端力,将杆端位移换为相应的结点位移后，按式(8-24)计算结构坐标系下的单元杆端力，因该单元有均布荷载作用，故还须叠加上相应的固端力，于是实际的杆端力为：,单元(1)：,end,超静定结构解法,计算单元坐标系下的杆端力：(sina1=1、cosa1=0),end,超静定结构解法,值得指出的是：由于忽略了轴向变形的影响，因此不能算出单元的轴力，反映在上式中的轴力为零。在各单元剪刀求出后，分别取结点平衡，即可求得各单元的轴力。,单元(2)：,a2=0，直接计算杆端力,end,超静定结构解法,单元(3)：,sina3=1、cosa3=0,结构坐标系下的杆端力,end,超静定结构解法,单元坐标系下的杆端力为：,end,超静定结构解法,(7) 弯矩图、剪力图和轴力图,end,