线性代数第02讲.doc

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1、 第二讲 行列式的性质 P10 -301.3 行列式的性质 1、转置行列式 把行列式D的行变换成列、 列变换成行得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT（或 D）。设 a11 a12 a1n D= a21 a22 a2n . an1 an2 ann 则 a11 a21 an1 DT= a12 a22 an2 . a1n a2n ann 称为D的转置行列式。性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即DT =D。证：行列式D的一般项为：(-1) N(12n)+ N(j1j2jn) a1j1a2j2anjn ,而将它转置后,在DT中这相同的n个元素相乘的一般项为：(-1) N(j1j2jn)+ N(1

2、2n) bj11bj22bjnn其中设DT=B=|bij|, bjii= aiji, 可见两者的符号相同, 因子也一样, 因此一般项相同, 结论成立。如: 147 -8 147 23 23 589 = -8 589性质2 交换行列式的两行（或两列），行列式的值变号。证： a11 a12 a1n . ai1 ai2 ain = . ak1 ak2 akn . an1 an2 ann a11 a12 a1n .ai1+ ak1 ai2+ ak2 ain+ akn . = ak1 ak2 akn .an1 an2 ann a11 a12 a1n . ai1+ ak1 ai2+ ak2 ain+ ak

3、n = . -ai1 -ai2 -ain . an1 an2 ann a11 a12 a1n . ak1 ak2 akn . -ai1 -ai2 -ain = .an1 an2 ann a11 a12 a1n . ak1 ak2 akn = - . ai1 ai2 ain . an1 an2 ann 这里，第一步是利用性质5，把第k行的1倍加到第i行,第二步是把第i行的(-1)倍加到第k行,第三步是把第k行加到第i行,最后再把第k行的公因子(-1)提出。结论得证。同理有交换列的情形。 如 147 -8 = - 23 589 23 589 147 -8 147 -8 = - -8 147 23

4、589 589 23推论 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为0。由上述性质2，交换这两个对应元素相同的行（列）得到，D= -D ,所以有 D=0。 如 147 -8 = 147*（-8）-147*（-8）=0 147 -8性质3 用数k乘以行列式的某一行（列）等于用数k乘此行列式。设D=|aij|, 则 a11 a12 a1n a11 a12 a1n . .kai1 kai2 kain = k ai1 ai2 ain =kD . . an1 an2 ann an1 an2 ann证：D1的一般项均为 (-1) N(j1j2jijn) a1j1a2j2(kaiji)anjn

5、=k(-1) N(j1j2jijn) a1j1a2j2aijianjn故D1的代数和应为D的代数和的k倍。证毕.对列的情形同样道理。 如 5 14 -8 = 5*14 -5*8 3 9 3 9 = 514*9-（-8）*3 = 5*14*9-（-5*8*3） 或 5 14 -8 = 14 -8 3 9 5* 3 5*9 或 5 14 -8 = 5*14 -8 3 9 5*3 9 或 5 14 -8 = 14 -5*8 3 9 3 5*9推论1 如果行列式的某行（列）的所有元素有公因子，则此公因子可提到行列式的外面。推论2 如果行列式有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值等于0 。 由推论

6、1若将与某行成比例的一行的比例因子提出行列式外，则行列式成为有两行的对应元素相同的行列式。证明利用性质2推论的结论。 如 15 45 = 5 3 9 =0 3 9 3 9性质4 如果将行列式的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。设证： a11 a12 a1n .D= bi1+ ci1 bi2+ ci2 bin+ cin . an1 an2 ann a11 a12 a1n a11 a12 a1n . .D1= bi1 bi2 bin D2= ci1 ci2 cin . .

7、 an1 an2 ann an1 an2 ann 则D= D1+ D2.证：原行列式D的一般项为： (-1) N(j1j2jn) a1j1a2j2(biji +ciji)anjn= (-1) N(j1j2jn) a1j1a2j2bijianjn+(-1) N(j1j2jn) a1j1a2j2cijianjn而等式右边的二个项分别对应二个行列式D1和D2的一般项，可见D= D1+D2,结论得证。对列的情形同样道理。 如 3 6 = 3 6 + 3 6 2+3 1+4 2 1 3 4 =15-30=-15 =3-12+12-18=-15推论 如果将行列式的某一行（列）的每一个元素都写成m个数（m2

8、整数)的和，则此行列式可以写成m个相应的行列式的和。性质5 将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。证：设 a11 a12 a1n . D= ai1 ai2 ain (i行) . as1 as2 asn (s行) . an1 an2 ann 以数k乘D的第S行各元素后加于第i行的对应元素上，得 a11 a12 a1n . D1= ai1+kas1 ai2+kas2 ain+kasn (i行) . as1 as2 asn (s行) . an1 an2 ann 由性质4以及性质3的推论2可得 a11 a12 a1n a11 a12 a1n . .

9、 ai1 ai2 ain kas1 kas2 kasnD1= . + . as1 as2 asn as1 as2 asn . .an1 an2 ann an1 an2 ann =D+0=D 如 1 5 = 1 5 3 9 3+2*1 9+2*5 =9-15=-6 =19-25=-6 通常使用定义计算行列式比较繁，也比较复杂，不容易计算；而利用行列式的性质可以大大简化计算，因此计算行列式时一般都使用行列式的性质。举例例1 计算行列式2 -4 1D = 3 -6 3 -5 10 4解：由于行列式的第一列和第二列的元素对应成比例, 故原行列式的值为0。例2证明:奇数阶反对称行列式的值为0。反对称行列

10、式为下列形式的行列式: 0 a12 a13 a1n -a12 0 a23 a2n -a13 a23 0 a3n . -a1n -a2n a3n 0 其特点是元素aji=-aij (ij时), aij=0 (i=j时).证: DT= 0 -a12 -a13 -a1n a12 0 -a23 -a2n a13 a23 0 -a3n . a1n a2n a3n 0 显然,DT=(-1)nD,而根据性质1, DT =D, 所以有D =(-1)nD,当n为奇数时, D =-D，因此得到D=0.如果一个行列式中某一行或某一列有公因子，根据性质可以将它提出来，这样往往能简化计算。例3设 a11 a12 a13

11、 6a11 -2a12 -10a13 a21 a22 a23 =1，求 -3a21 a22 5a23 a31 a32 a33 -3a31 a32 5a33解： 6a11 -2a12 -10a13 -3a11 a12 5a13 -3a21 a22 5a23 =-2 -3a21 a22 5a23 -3a31 a32 5a33 -3a31 a32 5a33 a11 a12 a13 =-2*(-3)*5 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =-2*(-3)*5 *1=30 计算行列式时常常灵活综合运用行列式的五个性质, 把它化为上（下）三角形行列式,即设法把主对角线上的元素化为非0,而主对

12、角线以下（上）的元素都化为0. 以下用示例说明化法的过程. 计算4阶行列式 2 -5 1 2D4= -3 7 -1 45 -9 2 74 -6 1 2解：利用行列式性质，把D4消为上三角行列式。 2 -5 1 2D4= -3 7 -1 45 -9 2 74 -6 1 2 1 -5 2 2=- -1 7 -3 4 *12 -9 5 7 * (-2)1 -6 4 2 * (-1) 1 -5 2 2 1 -5 2 2=- 0 2 -1 6 = 0 1 1 30 1 1 3 0 2 1 6 *(-2)0 -1 2 0 0 -1 2 0 *1 1 -5 2 2 1 -5 2 2= 0 1 1 3 = 0

13、 1 1 30 0 -3 0 0 0 -3 0 0 0 3 3 *1 0 0 0 3 =1*1*(-3)*3=-9注： 表示两箭头所指的两列(或行)互换位置。 *(-1)表示把箭尾所指的一行 (或列)乘-1加到箭头所指的一行 (或列)上去。 说明：从本题的解法的计算过程可总结出数字元素的行列式化为上(下)三角行列式的一般步骤： 先把a11变换为1，(本题是通过列交换来实现的，有时也可把第一行(列)乘1/ a11来实现，但要注意避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加困难。)然后把第一行分别乘-a21，-a31，-an1加到第2，3，,n行对应元素上去，这样，就把第一列a11以下的元素全化为零，

14、再逐次用类似的方法把主对角线元素a22， a33，an-1,n-1以下(或以上)的元素全部化为零，则行列式就化为上(或下)三角行列式了。 注意，在上述变换过程中，主对角线上元素aii(i=1,2,n)不能为零，若出现零，可通过行(列)交换使得主对角线上元素不为零。例4计算行列式： 0 -1 -1 2D= 1 -1 0 2 -1 2 -1 0 2 1 1 0解： 0 -1 -1 2D= 1 -1 0 2 -1 2 -1 0 2 1 1 0 1 -1 0 2 *1 *(-2)= - 0 -1 -1 2 -1 2 -1 0 2 1 1 0 1 -1 0 2 = - 0 -1 -1 2 *1 *3 0

15、 1 -1 2 0 3 1 -4 1 -1 0 2 = - 0 -1 -1 2 0 0 -2 4 *(-1) 0 0 -2 2 1 -1 0 2 = - 0 -1 -1 2 0 0 -2 4 0 0 0 -2=-1*(-1)*(-2)*(-2)=4例5: 计算n阶行列式: x a a a a a x a a aa a x a a .a a a x a a a a a x 解： x a a a a a x a a aa a x a a .a a a x a a a a a x *1 *1 *1 *1 x+(n-1)a a a a a *(-1) x+(n-1)a x a a ax+(n-1)a

16、a x a a .x+(n-1)a a a x a x+(n-1)a a a a x x+(n-1)a a a a a 0 x-a 0 0 00 0 x-a 0 0 .0 0 0 x-a 0 0 0 0 0 x-a= x+(n-1)a(x-a) (n-1)例6解方程： a1 a2 a3 an-1 an a1 a1+a2-x a3 an-1 ana1 a2 a2+a3-x an-1 an . =0a1 a2 a3 an-2+an-1-x an a1 a2 a3 an-1 an-1+an-x 解： a1 a2 a3 an-1 an *(-1) a1 a1+a2-x a3 an-1 ana1 a2

17、a2+a3-x an-1 an . a1 a2 a3 an-2+an-1-x an a1 a2 a3 an-1 an-1+an-x a1 a2 a3 an-1 an 0 a1 -x 0 0 00 0 a2 -x 0 0 0 0 0 an-2-x 0 0 0 0 0 an-1-x = a1 (a1-x) (a2-x) (a1n-2-x)(an-1-x)=0，所以方程组的解为：x1=a1, x2=a2, x3=a3, , x n-1=a n-1例7 证明下列行列式等式：a1+ kb1 b1+c1 c1 a1 b1 c1 a2+ kb2 b2+c2 c2 = a2 b2 c2 a3+ kb3 b3+

18、c3 c3 a3 b3 c3证： 将方程左边行列式的第三列乘以（-1)倍加到第二列得： a1+ kb1 b1 c1 a1 b1 c1 a2+ kb2 b2 c2 = a2 b2 c2 a3+ kb3 b3 c3 a3 b3 c3再将第二列的（-k）倍加到第一列，得结论。例8 计算行列式: 1 2 3 n-1 n -1 0 3 n-1 n -1 -2 0 n-1 n . -1 -2 -3 0 n -1 -2 -3 -n+1 0 解：将行列式的第一行加到第二至第n行得： 1 2 3 n-1 n -1 0 3 n-1 n -1 -2 0 n-1 n . = -1 -2 -3 0 n -1 -2 -3

19、 -n+1 0 1 2 3 n-1 n 0 2 6 2n-2 2n 0 0 3 2n-2 2n . 0 0 0 n-1 2n 0 0 0 0 n =n!例9： 用行列式的性质证明： a11 a12 0 0 a21 a22 0 0 a11 a12 b11 b12 * * b11 b12 = a21 a22 . b21 b22 * * b21 b22证：不妨设a11，b110,（若=0则可通过交换行或列使之不为0），将第一列的(-a12/a11)倍加到第二列，第三列的(-b12/b11)倍加到第四列，得到： a11 0 0 0左边= a21 a22-a12*a21/a11 0 0 * * b11

20、0 * * b21 b22-b12*b21/b11 = a11 (a22-a12*a21/ a11) * b11 (b22-b12*b21/b11) = (a11 a22-a12*a21) *（b11 b22-b12*b21)a11 a12 b11 b12= a21 a22 . b21 b22 证毕。同理可用行列式的性质证明： a11 a12 * * a21 a22 * * 0 0 b11 b12 = 0 0 b21 b22= a11 a12 b11 b12 a21 a22 . b21 b22也就是分块三角行列式的值就等于对角块行列式值的乘积。例10 计算行列式： a2 (a+1)2 (a+2

21、) 2 (a+3) 2 b2 (b+1)2 (b+2) 2 (b+3) 2 c2 (c+ 1)2 (c+2) 2 (c+3) 2 d2 (d+1)2 (d+2) 2 (d+3) 2 解:对原行列式进行变换:第四列-第三列，第三列-第二列，第二列-第一列得：a2 (a+1)2 (a+2) 2 (a+3) 2 b2 (b+1)2 (b+2) 2 (b+3) 2 c2 (c+ 1)2 (c+2) 2 (c+3) 2 d2 (d+1)2 (d+2) 2 (d+3) 2 a2 2a+1 2a+3 2a+5 b2 2b+1 2b+3 2b+5= c2 2c+1 2c+3 2c+5 d2 2d+1 2d+3

22、 2d+5对得到行列式照样进行变换: 第四列-第三列，第三列-第二列得: a2 2a+1 2 2 b2 2b+1 2 2 c2 2c+1 2 2 =0 d2 2d+1 2 2例11、计算4阶行列式 a b b b D4= b a b b b b a b b b b a分析：方法一：考察这个行列式，各行(列)的元素之和是相同的，为a+3b，可把各列都加到第1列上，然后提取公因式a+3b，再消元化简为上三角行列式： a b b b a+3b b b bD4= b a b b = a+3b a b b b b a b a+3b b a b b b b a a+3b b a b 1 b b b *(-

23、1)=( a+3b) 1 a b b 1 b a b 1 b b a 1 b b b =( a+3b) 0 a-b 0 0 0 0 a-b 0 0 0 0 a-b =( a+3b) ( a-b)3 按照例5的结论以x=a,a=b,n=4代入即得D= x+(n-1)a(x-a) (n-1)=( a+3b) ( a-b)3*方法二：分析：从另一个角度考察行列式，它每个元素不是a便是b，又如果把字母a换成字母b (即a=b)，那么行列式的值为零(当然，这里我们假设ab)，但a=b+(a-b),因此，可把行列式改写为： b+(a-b) b b b D4= b b+(a-b) b b b b b+(a-

24、b) b b b b b+(a-b) 由此，我们联想到能否把行列式分解成若干“子”行列式之和，为此我们把原行列式的每列都看作两个“子列”之和，每列的第一子列均相同，元素全为b，第一子列元素是(a-b)，若没有(a-b)便补以零。根据性质3，可将原行列式分解为16个“子行列式”之和，这些子行列式中凡包含两个或两个以上第一列的，子行列式的值为零，故有5个子行列式的值不为零。具体计算如下：解： a b b b D4= b a b b b b a b b b b a b+(a-b) b+0 b+0 b+0 = b+0 b+(a-b) b+0 b+0 b+0 b+0 b+(a-b) b+0 b+0 b+

25、0 b+0 b+(a-b) b 0 0 0 a-b b 0 0= b a-b 0 0 + 0 b b b b 0 a-b 0 0 b a-b 0 b 0 0 a-b 0 b 0 a-b a-b 0 b 0 a-b 0 0 b+ 0 a-b b 0 + 0 a-b 0 b 0 0 b 0 0 0 a-b b0 0 b a-b 0 0 0 b a-b 0 0 0 + 0 a-b 0 0 0 0 a-b 0 0 0 0 a-b =b(a-b)3+ b(a-b)3+ b(a-b)3+ b(a-b)3+ (a-b)4 = (a-b)3(4b+a-b)=(a+3b)(a-b)3,说明：方法二的这种把一个行

26、列式拆成几个简单行列式之和的方法在计算行列式时常用到。表面形式上每列不是两个“子列”之和，是我们“凑”成两个“子列”之和，“凑”和“拆”的出发点是应使拆开以后所得的“子行列式”或为零，或简单好算。有的行列式本身某些元素已是两项之和，往往优先考虑采用这种方法。1.4 行列式按行(列)展开1.行列式按某一行(列)展开 定义1.3 n 阶行列式D=aij中去掉元素aij所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式,称为D中元素aij的余子式,记为Mij,即 a11 a1j-1 a1j+1 a1n .Mij = ai-11 ai-1 j-1 ai-1 j+1 ai-1n (1.5) ai+11 ai+

27、1 j-1 a i+1 j+1 a i+1n .an1 an j-1 an j+1 ann证： a11 a1j-1 a1j a1j+1 a1n .D = ai-11 ai-1 j-1 ai-1 j ai-1 j+1 ai-1n ai1 ai j-1 ai j ai j+1 a inai+11 ai+1 j-1 a i+1 j a i+1 j+1 a i+1n .an1 an j-1 an j an j+1 ann a11 a1j-1 a1j+1 a1n .Mij = ai-11 ai-1 j-1 ai-1 j+1 ai-1n ai+11 ai+1 j-1 a i+1 j+1 a i+1n .a

28、n1 an j-1 an j+1 ann 在aij的余子式M ij前添加符号(-1)i+j,称为aij的代数余子式,记为Aij,即 Aij = (-1) i+j Mij 例如 a11 a12 a13 a14 D = a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 中a13的代数余子式是 a21 a22 a24 A13=(-1)1+3M13= a31 a32 a34 a41 a42 a44 定理1.4 n 阶行列式D=aij等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即 n n D=SaijAij (i=1,2,n)或D=SaijA

29、ij (j=1,2,n) j i证: （1）讨论a110,a1j=0(j=2n)的情形：即 a11 0 0 0 D = a21 a22 a2n . an1 an2 ann此时按照行列式的定义有 n! D=S(-1)N(j1j2j3jn)a1j1a2j2anjn j1j2j3jn (n-1)!= a11S(-1)N(j2j3jn) a2j2anjn = a11 A11 j2j3jn（2）讨论aij0, (i,j为任意取定的一个行和一个列) , aik=0 (k=1, j-1, j+1, , n, kj)的情形： a11 a1j-1 a1j a1j+1 a1n .ai-11 ai-1 j-1 ai-1j ai-1 j+1 ai-1n 0 0 aij 0 0 ai+11 ai+1 j-1 ai+1j a i+1 j+1 a i+1n .an1 an j-1 anj an j+1 ann 此时,将