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1、1,理 论 力 学 第十一章：动量矩定理,2,内 容 提 要,十一.动量矩定理 11-1、动量矩 11-2、动量矩定理 11-3、转动惯量 11-4、刚体绕定轴转动的微分方程,3,11-1. 动 量 矩,(1)质点对固定点的动量矩,质量为m的质点A ,t 时刻动量 为mv, O为空间任一固定点,MO(mv)=r mv,MO(mv),动量矩是一个矢量.,方向：垂直于r、mv所在的平面， 指向由右手螺旋法则判定。,则mv 对O点的矩定义为质 点的动量矩:,大小：,4,(2)质点对固定轴的动量矩,(3)质点系的动量矩,质点系中所有质点的动量对于固定轴的矩的代数和， 称为质点系对固定轴的动量矩。,LZ
2、 = LZi = MZ（mivi),5,LZ=Jz,(4)定轴转动刚体对转轴的动量矩,其中： JZ称为刚体对转轴的转动惯量。 为刚体转动的角速度。,6,11-2 动量矩定理,一、质点的动量矩定理,MO(mv)=r mv,将上式两端对时间求一阶导数，得：,7,质点对固定点的动量矩定理：,质点对固定轴的动量矩定理：,将（1）式两端投影到固定的轴上，可得到,8,二.质点系对固定轴的动量矩定理,第i个质点：,mi vi,Fei,Fii,质量为mi,动量为mivi：,力,外力,Fei,内力,Fii,9,根据质点对固定轴的动量矩定理:,第i个质点：,mi vi,Fei,Fii,(i=1,2,.n),将n个
3、方程求和：,10,质点系对固定轴的动量矩定理：,三、动量矩守恒定律,11,11-3.转动惯量,(1)刚体对轴的转动惯量,Jz = miri2,JZ = M2,若刚体的质量为M，则：,-称为刚体对Z轴的转动惯量。,12,（2）几种常见均质物体的转动惯量,细直杆,M-杆的质量,13,矩形板,细圆环,薄圆板,14,(3)平行轴定理,Jz1 = Jcz + Md2,圆柱体,15,例题1质量为 m 长度为 l 的均质直杆OA和质量为 m 半径为 R的均质园盘 A在 A点刚接 , 如图所示.求系统对垂直于图面且过 O 点的轴的转动惯量.,16,解:,JO = JOA + J盘,17,例题2.均质偏心圆轮重
4、Q，偏心距OC=e，绕过O点且与图平面垂直的Z轴转动，某瞬时其 角速度为.求:在该瞬时圆轮对Z轴的动量矩。,解：因为圆轮绕定轴转动，所以：,LZ=Jz,根据平行移轴定理：,所以,18,11-4 刚体的定轴转动微分方程,LZ=Jz,定轴转动刚体对转轴的动量矩,将上式两端对时间求一阶导数，得：,19,根据质点系对固定轴的动量矩定理：,由以上两式，可得：,此即为刚体的定轴转动微分方程,20,利用动量矩定理或刚体定轴转动 微分方程的解题步骤：P187,21,例3、如图所示一对啮合齿轮。两轮分别绕01，02转动，它们的半径分别为r1、 r2；重量分别为P1，P2；轮1绕01轴的转动惯量为J1， 轮2绕0
5、2轴的转动惯量为J2。现在齿轮1上作用一驱动力矩M1， 求齿轮1的角加速度1 。（两齿轮轴的轴承摩擦忽略不计。）,O2,分析：因为两轮分别绕不同的轴转动， 因此，应分别选取两轮为研究对象。,22,解：1、选01轮为研究对象，受力分析：,2、选02轮为研究对象，受力分析：,3、根据运动学关系：,根据刚体的定轴转动微分方程：,根据刚体的定轴转动微分方程：,23,联立（1）、（2）、（3），解得：,24,实例分析,两猴爬绳比赛,猴A和B的质量相等，即MA=MB， 但猴A体质好，猴B体质差。二猴 分别抓住缠绕在定滑轮O上的绳子 的两端，在同一高度上，从静止 开始向上爬，试分析比赛结果。,动量矩守恒定律,25,VA,VB,分析：,把轮、绳和两猴看作是一质点系，受力分析：,MAg,MBg,Mg,xo,Yo,R,所以LO = C(恒量),因为开始时质点系静止，所以,LO = 0,又因为二猴在同一高度上，从静止开始向上爬，,所以二猴同时到达顶端。,26,