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1、1,B,动态性能指标定义1,2,欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算,n,-n,0 1时：,（0 0.8）,3,典型例题,例3-1 系统结构图如下图所示,若要求具有性能指标%=20%, tp=1s, 试确定系统的参数k和,并计算单位阶跃响应的特征量td, tr和ts. 例3-2 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图所示，试确定其传递函数，并计算tr和ts.,4,例3-3 已知图(a)系统的阶跃响应曲线如图(b)所示，试求系统参数k1, k2和. 例3-4 已知系统的单位阶跃响应为 c(t)=1+e-t-2e-2t, (t0) 试求系统的传函，并确定系统的阻尼比，自然振荡频率wn，且在零初始
2、条件下，求系统的单位阶跃响应的超调量%和调节时间ts . (取=5%),5,从0到1变化时的单位阶跃响应曲线如下图：,6,3.4 高阶系统的暂态响应,用部分分式展开得 单位阶跃响应为,7,3.4 高阶系统的暂态响应,结论 （1）高阶系统的单位阶跃响应由两部分组成: 稳态分量 ,与时间t无关，余下的部分为动态分量，与时间t有关。 （2）若极点在左半S平面，则对应的响应分量是收敛的。 （3）系统闭环极点的实部越小，即在S平面左侧离虚轴越近，则相应的分量衰减越慢，对暂态影响越大。反之，系统闭环极点的实部越大 （4）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在S平面中的位置有关，并且与零点的位置有关。,8
3、,3.4 高阶系统的暂态响应,如果某极点-pj靠近一个闭环零点，远离原点及其它极点，则相应项的系数Aj比较小，该暂态分量的影响也就越小。如果极点和零点靠得很近（称为偶极子），则该极点对暂态响应几乎没有影响。 如果某极点-pj远离闭环零点，但与原点相距较近，则相应的系数Aj将比较大。因此离原点很近并且附近没有闭环零点的极点，其暂态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统暂态响应的影响很大。,9,3.4 高阶系统的暂态响应,（3）主导极点: (i)如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部小于其它极点的实部的1/5; (ii)附近不存在零点，可以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定。 事实上取1/8或1
4、/10. 如果找到一对共轭复数主导极点，那么，高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并可以用二阶系统的暂态性能指标来估计系统的暂态特性。 在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具有一对共轭复数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶系统的指标来设计系统。,10,3.3.5 高阶系统的时域分析,特点：1) 高阶系统时间响应由简单函数组成。 2) 如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。 3) 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。,分析方法：1) 可由系统主导极点估算高阶系统性能。 2) 忽略偶极子的影响。,11,设初始条件为零时，
5、作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若 ，则系统稳定。,3.4 稳定性分析,判别系统稳定性的基本方法： (1) 劳斯古尔维茨判据 (2) 根轨迹法 (3) 奈奎斯特判据 (4) 李雅普诺夫第二方法,线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部.,3.4.1 线性系统的稳定性概念,系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。,12,劳斯判据 系统的特征方程式的标准形式： 劳斯表(Routh Array),13,劳斯判据采用表格形式，即劳斯表：,当劳斯
6、表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符号的改变次数，代表系统不稳定根的数目，也就是系统正实部根的个数。,劳斯判据,14,劳斯判据： 系统特征方程的全部根都在S左半平面的充分必要条件是劳斯表的第1列系数全部是正数。 方程在S右半平面根的个数等于劳斯表中第1列各元改变符号的次数。,15,判别系统稳定性。,例3.4 设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据,注意两种特殊情况的处理： 1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用很小的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。 2）当劳斯表中出现
7、全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。,解：列出劳斯表,第一列数据不同号， 系统不稳定性。,16,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-8,特殊情况1劳斯表介绍,劳斯表特点,4 每两行个数相等,1 右移一位降两阶,2 行列式第一列不动,3 次对角线减主对角线,5 分母总是上一行第一个元素,6 一行可同乘以或同除以某正数,17,如果上面一行的第一列和下面一行的第一列符号相同，这表明有一对纯虚根存在。,例3-6 系统的
8、特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。,解：列劳斯表,第1列各元中的上面和下面的系数符号不变，故有一对纯虚根，系统不稳定，（临界稳定状态）。 将特征方程式分解，有 解得根为,18,劳斯判据,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系统不稳定!,变号的次数为特征根在S右半平面的个数!,均大于零!,19,特殊情况2劳斯表出现零行,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其
9、求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3, 出现了全零行,20,辅助方程的解就是原特征方程的部分特 征根,这部分特征根对称于原点.,21,判断系统的稳定性。,例3.5 设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据,例3.6 设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：列出劳斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 (取代0) 2 s1 2-4/ s0 2,可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平
10、面上有两个极点。（或特征方程有两个正实部根）,解：列出劳斯表 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 辅助多项式A(s)的系数 s3 0 0 0,22,A(s) =2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s,第一列元素全为正，没有变号，所以在S右半平面没有极点 出现全零行，存在有共轭纯虚根 综合可见，系统处于临界稳定状态（属于不稳定的范畴）。,解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y， A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0,以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表： s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 16 dA(s)/ds的系数 s2 4 4 s1 8 s0 4,23,误差定义,输入端定义：,E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s),E(s)=R(s)-C(s),24,典型输入下的稳态误差与静态误差系数,R(s)=R/s,r(t)=R1(t),r(t)=Vt,R(s)=V/s2,r(t)=At2/2,R(s)=A/s3,25,取不同的,r(t)=R1(t),r(t)=Vt,r(t)=At2/2,型,0型,型,R1(t),Vt,0,0,0,At2/2,k,k,0,静态误差系数,稳态误差,小结：,1,2,3,非单位反馈怎么办？,啥时能用表格？,表中误差为无穷时系统还稳定吗?,