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1、1,一 随机过程的定义,例. 具有随机初始相位的简谐波,其中 为常数，服从0,2上的均匀分布.,1. 每次观察结果是一个变化过程某次观察时随机相位 随机取某个观测值 ，则观察到的变化过程就是,2. 对固定的 ， 是一个随机变量,2,3,随机过程定义,设(,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R,若对每一 t T,均有定义在(,F,P)上的一个随机变量X(,t),()与之对应,则称,X(,t)为(,F,P)上的一个随机过程(Stac- hastic Processes,简记为:S.P.),记作 X(,t), ,tT,可简记为 X(t),tT,或 X(t).,4,T称为参数集或参数空间, t称
2、为参数,一般表示时间或空间.,参数集通常有以下形式: T=0,1,2,或 T= -2,-1,0,1,2, T=a,b,其中a 可以为, b可以为+.,当参数集为形式时,随机过程X(t)也称为 随机序列,5,对每一个固定的t, X(t)为一随机变量(r.v.). tT时. 该随机变量所有可能取值的集合,称为随机过程的 状态空间.记为S. S中的元素称为状态.,对每一个确定的0,X(0,t)是定义在T上的普通函数. 记为 x(0,t), 称为为随机过程的一个样本函数.也称轨道或实现.样本函数的图形称为样本曲线,6,4.根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为,离散参数,离散状态的随机过程 离散
3、参数,连续状态的随机过程 连续参数,离散状态的随机过程 连续参数,连续状态的随机过程,参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列,7,二随机过程的有限维分布函数族,设X(t),tT是S.P.,1.一维分布函数,对任意tT, X (t)为一随机变量.称其分布函数 F (t ; x)=P(X(t) x), x R 为随机过程X(t),tT的一维分布函数.,8,2.二维分布函数,对任意固定的t1,t2T, X (t1) ,X (t2)为两个随机变量.称其联合分布函数 F (t1,t2; x1, x2)=P(X(t1) x1, X(t2) x2 ), x1, x2R 为随机过程X(t),tT的
4、二维分布函数.,9,对任意固定的t1,t2, ,tnT, X (t1) ,X (t2), X (tn)为n个随机变量.称其联合分布函数 F (t1,t2 ,tn ; x1, x2, xn) = P(X(t1) x1, X(t2) x2 X(tn) xn ) x1 x2, xn R 为随机过程X(t),tT的n维分布函数.,3. n维分布函数,10,称随机过程X(t),tT的一维分布函数,二维分布函数,n维分布函数,的全体 为随机过程的有限维分布函数族.,有限维分布函数族定义,有限维分布函数族的性质,对称性,11,相容性,设mn,则,注1: 给定一个随机过程，其有限维分布函数族随之确定。,注2: 前苏联数学家在1931年证明了：若给定一个参数集T上满足对称性和兼容性的有限维分布函数族，则存在一概率空间及定义在其上以T为参数集的随机过程，使得前述的有限维分布函数族即该随机过程的有限维分布函数族.说明随机过程的分布函数族可以完整描述随机过程的统计规律性。,12,说明随机过程的分布函数族可以完整描述随机过程的统计规律性。,