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1、,第八章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,一、 基本概念,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1. 多元函数的定义、极限 、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2. 几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 讨论二重极限,解法1,解法2 令,解法3 令,时, 下列算法是否正确?,分析:,解法1,解法2 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于
2、原点的情况.,此时极限为 1 .,第二步,未考虑分母变化的所有情况,解法3 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法忽略了 的任意性,极限不存在 !,由以上分析可见, 三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .,特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.,同时还可看到,本题极限实际上不存在 .,提示: 利用,故f 在 (0,0) 连续;,知,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,2. 证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,所以 f 在点(0,0)不可微 !,机动 目录 上页 下页 返
3、回 结束,例1. 已知,求出 的表达式.,解法1 令,即,解法2,以下与解法1 相同.,则,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1. 分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数 = 变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2. 正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3. 利用一阶微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,(99 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,方程两边
4、求微分, 得,化简,消去 即可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数,2. 同济(下) P73 题12,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,第 1 题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P73 题12 设,求,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用行列式解出 du, dv ：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入即得,代入即得,有连续的一阶偏导数 ,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案
5、:,( 2001考研 ）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设,三、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键: 抓住切向量),求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),2. 极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法),求解最值问题,3. 在微分方程变形等中的应用,最小二乘法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.,解: 设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题归结为求,在条件,下
6、的条件极值问题 .,设拉格朗日函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实际意义可知,为所求切点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,唯一驻点,例5.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上求一点 , 使该点处的法线垂直于,练习题：,1. 在曲面,并写出该法线方程 .,提示: 设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 在第一卦限内作椭球面,的切平面,使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.,提示: 设切点为,用拉格朗日乘数法可求出,则切平面为,所指四面体围体积,V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,故取拉格朗日函数,例4 目录 上页 下页 返回 结束,(见例4),作业,P73 5，6，10， 15，17,机动 目录 上页 下页 返回 结束,