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1、在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.,在矩阵的运算中, E相当于数的乘法运算中的1, , 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1, 使得,AA-1 = A-1A = E,则矩阵A称为可逆矩阵, 称A-1为A逆阵.,一、逆矩阵的概念和性质,2.3 逆 矩 阵,定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 使得 AB = BA = E 则称矩阵A是可逆的, 并称矩阵B为A的逆矩阵. A的逆矩阵记作A-1.,例如: 设,由于 AB = BA = E, 所以, B为A的逆矩阵.,说明: 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的.,事实上: 若设B和C是A的逆矩
2、阵, 则有,所以, A的逆矩阵是唯一的, 即,AB = BA = E, AC = CA = E,可得:,B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C.,B = C = A-1.,解: 利用待定系数法.,即,又因为,则,解得,所以,即,AB = BA = E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的, 必须寻求可行而有效的方法.,则,证明: 若A可逆, 则有A-1, 使得AA-1 = E.,定理1: 矩阵A可逆的充要条件是| A | 0, 且,其中A*为矩阵A的伴随矩阵.,故, | A | A-1 | = | E | = 1,所以, | A | 0.,由伴随矩阵的性质:
3、 AA*= A*A = | A | E, 知,当| A | 0时,按逆矩阵的定义得,当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异矩阵.,由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.,证明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1,推论: 若 AB=E (或 BA=E), 则 B=A-1.,故| A | 0.,因而, A-1存在,于是,B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.,故结论成立.,逆矩阵的运算性质,(1) 若矩阵A可逆, 则A-1亦可逆, 且(A-1)-1 = A.,当| A | 0
4、时, 定义,A0 = E, A-k = (A-1)k (k为正整数).,且此时对任意整数, , 有,AA = A+, (A) = A.,(2) 若矩阵A可逆, 且 0, 则 A 亦可逆, 且,证明:,(4) 若矩阵A可逆, 则AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.,AT(A-1)T =(A-1A)T=ET =E,所以,(AT)-1=(A-1)T.,(3) 若A, B为同阶可逆方阵, 则AB亦可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1.,证明:,(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以,(AB)-1=B-1A-1.,(5) 若矩阵A可逆, 则有| A
5、-1 |=| A |-1.,证明:,因为 AA-1 = E,所以, | A | | A-1 | = | E | = 1,因此,| A-1 |=| A |-1.,解: 因为,二、关于逆矩阵的计算,所以A-1存在.,同理可得,所以,故,解:,例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.,所以, A可逆.,由于,同理可得,所以,由于,故B不可逆.,解: 用伴随矩阵的方法求A逆阵.,| A | = ad bc 0.,A11 = d, A21 = b, A12 = c, A22 = a .,设,则A可逆且,则,求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法, 其做法如下:,例5: 设,求矩阵X使其满
6、足 AXB=C.,解: 由于,所以, A-1, B-1都存在. 且,先将矩阵A中的主对角元素调换其位置, 再将次对角元素调换其符号, 最后用A的行列式|A|除矩阵A的每一个元素, 即可得A的逆矩阵A-1.,又由 AXB = C, 得 A-1AXBB-1 = A-1CB-1,则 X = A-1CB-1.,于是,X = A-1CB-1,例6: 解矩阵方程,解: 给方程两端左乘矩阵,得,例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2A2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.,证明: 由 A2A2E=O, 得 A(AE)=2E,则,故A可逆, 且A-1 =,所以,又由 A2A2E=O,
7、 得 (A+2E)(A3E)+4E=O,则,故(A+2E)可逆, 且 (A+2E)-1 =,例8: 设三阶方阵A, B满足关系式: A-1BA=6A+BA,且,求B.,解: 由于|A|=1/56 0,由 A-1BA=6A+BA, 得 A-1BABA=6A,所以A可逆, 且A-1=,则 (A-1E)BA= 6A,由于(A-1E)=,所以(A-1E)可逆, 且,(A-1E)-1=,由A和(A-1E)可逆可得:,B = 6(A-1E)-1,对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果:,若,则,其中, 12n 0.,解: 由于| P | =2,则 An= PnP-1,A = PP-1,A2 = PP-1 PP
8、-1= PP-1 = P2P-1, Am = PmP-1,而,设 (x)=a0+a1x+amxm 为一m次多项式, A为阶方阵, 记 (A)=a0E+a1A+amAm, 则(A)称为方阵A的m次多项式.,由于Ak, Al和E之间都是可交换的, 所以方阵A的两个多项式(A)和(A)做矩阵乘法是可交换的, 即总有 (A)(A)=(A)(A),从而方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.,例如,(E+A)(2EA) = 2E+AA2, (2EA)3 = E3A+3A2A3.,定义: 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P-1AP = B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A
9、与B相似.对A进行运算P-1AP, 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.,由于矩阵A与B相似, 则存在可逆矩阵P, 使 P-1AP = B, 亦即 A = PBP-1,所以, 相似矩阵有,Am = (PBP-1)m = PBP-1PBP-1 PBP-1,= PBmP-1.,进一步有, 若(A)=a0E+a1A+amAm, 则,(A)=a0PP-1+a1PBP-1+amPBmP-1 =P(a0E+a1B+amBm)P-1,=P(B)P-1.,即相似矩阵的多项式, 有相同相似变换矩阵.,Am = PmP-1; (A)= P()P-1.,特别当矩阵A与对角阵=diag(1, 2, n )相似时,则,m = diag(1m, 2m, nm ),又显然有,则,()=a0E+a1 +amm,四、小结,逆矩阵的概念及运算性质; 逆矩阵A-1存在当且仅当 |A| 0.,逆矩阵的计算方法: (1)待定系数法;,(3)初等变换法(下一章介绍).,(2)伴随矩阵法:,思考题,思考题解答,若A可逆, 那么矩阵方程 AX=B (或YA=B)是否有唯一解: X=A-1B (或X=BA-1)?,若当A为奇异方阵时, 上述方程可能有解但不唯一, 也可能无解.,是的! 这是由A-1的唯一性决定的.,