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1、抛物线及其标准方程,生活中的“抛物线”,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,(其中定点不在定直线上),那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,动画,问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？,几何画板观察,探究？,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,在平面内,与一个定点F和一条定直线l
2、(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,二、抛物线的定义：,想一想：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么?,一条经过点F且垂直于l 的直线,如何建立坐标系呢？,思考：抛物线是轴对称图形吗？怎样建立坐标系,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?,三、抛物线的标准方程：,抛物线标准方程,标准方程的推导,注意：抛物线标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。,标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,且
3、 p的几何意义是: 焦点到准线的距离,焦点坐标是,准线方程为:,(1),(2),(3),(4),想一想:一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。,想一想?,这种坐标系下的抛物线方程形式怎样?,设KF= p,设点M的坐标为（x，y），,由定义可知 |MF|=|MN| 即：,解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴,N,F,M,K,l,y轴,x轴,y,y,y,x,x,y,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.,相同点： （1）顶点为原点; （2）对称轴为坐标轴; （3）顶点到焦
4、点的距离等于顶点到准线的距离为p/2.,不同点： （1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴; （2）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方向.,记忆方法：P永正，一次变量定焦点，开口方向看负正,（三）例题讲解,例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。,解:(1)由方程可知,焦点在x轴正半轴上，坐标为 ，2p=6， 所以焦点坐标是 ，准线方程是 .,(2) 抛物线焦点坐标为F(0,-2)， 抛物线焦点在y轴负半轴上，设标准方程为x2=-2py,并且 2p=8， 抛物线的标准方程为x2
5、=-8y.,变式训练,1.根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点是（0，-3） ； (2)准线是 ； 2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程. (1)y=8x2 ； (2)x2+8y=0；,x2= -12y,y2=2x,焦点 ，准线,焦点 ，准线,感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程。,感悟：用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式，再求p值。,强化提高,根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点到准线的距离是2； (2)焦点在直线3x-4y-12=0上。,关键：理解p的几何意义，熟记标准方程四种形式,关键：标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的
6、抛物线,解：焦点到准线的距离为2 p=2 又焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式 y2=2px ， x2=2py 此抛物线的标准方程有四种情况： y2=4x ， x2=4y,解：标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上； 又抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上， 焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-12=0与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是（0，3）， 焦点坐标为（4，0）或（0，3）； 当焦点为（4，0）时标准方程为y2=16x , 当焦点为（0，3）时标准方程为x2= 12y , 综上，抛物线标准方程为 y2=16x或 x2= 12y,（四）课堂小结,平面内与一个定点
7、F的距离和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一个定义：,两类问题：,三项注意：,四种形式：,求抛物线标准方程； 已知方程求焦点坐标和准线方程。,定义的前提条件：直线l 不经过点F; p的几何意义：焦点到准线的距离； 标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。,抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0),2.4.1抛物线及其标准方程,第二课时,回顾复习,平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一个定义：,两类问题：,三项注意：,四种形式：,求抛物线标准方程； 已
8、知方程求焦点坐标和准线方程。,定义的前提条件：直线l 不经过点F; p的几何意义：焦点到准线的距离； 标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。,抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0),四种抛物线的标准方程对比,记忆方法：P永正，一次变量定焦点，开口方向看负正,例1:已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？,抛物线标准方程的统一形式：,练习：P73 4.(1),例2.设P是抛物线y24x上的一个动点 (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小
9、值； (2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值,例2.设P是抛物线y24x上的一个动点 (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值,注意判断点A与抛物线的位置关系,(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q， 交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|. 则有|PB|PF|P1B|P1Q| |BQ|4. 即|PB|PF|的最小值为4.,例2.设P是抛物线y24x上的一个动点 (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值,若将本例(2)中的B点坐标改为
10、(3，4)，则如何求|PB|PF|的最小值.,例2.设P是抛物线y24x上的一个动点 (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值,练习：创新方案 变式2,例3. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处已知接收天线的口径为4.8m，深度为0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标,o,y,x,A,B,F,解：如图，建立直角坐标系，,设抛物线的标准方程是 y2=2px(p0).,易知A (0.5,2.4)，代入方程得,p=5.76.,2.42=2p0.5,所以，所求抛物线为y2=11.52x, 焦点坐标为(2.88,0).,例4.已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且 当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程。,y2=4x(x0),2,