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1、混凝土应变计（组）应力计算方法 1、 应力计算方法应力计算方法 大坝混凝土应变主要包含了由温度荷载和各种动静力外荷载引起的结构应 力应变、徐变和自由体积变形造成的无应力应变（或称自由应变） 。自由体积变 形是大坝混凝土在不受外力作用时发生的变形， 其主要包括由于温度变化引起的 热胀冷缩变形及温度变化引起的湿涨干缩变形以及水泥水化作用引起的自生体 积变形等。在单向受力条件下，混凝土试件在时间 t 的总应变)(t可表示为： )()()()()()(tttttt gwTce += 式（1） 式中：)(t e 应力引起的瞬时应变； )(t c 混凝土的徐变应变，与应力值、加荷龄期及荷载持续时间有关；
2、)(t T 温度变化引起的应变； )(t w 湿度变化引起的应变； )(t g 混凝土自生体积变形引起的应变。 上式中前两项，)(t e 和)(t c 是由应力引起的，后三项即为无应力应变（无 应力计测值） 。本文主要阐述混凝土应力的计算方法，无应力计资料分析将另文 阐述。 混凝土应力计算方法主要是利用应变计（组）观测到的混凝土应变，扣除配 套的无应力计应变测值后，并根据广义胡克定律换算成单轴应变，然后利用混凝 土弹模及徐变试验资料，用变形法计算各方向正应力，再由正应力计算剪应力， 并求得主应力及其方向余弦。技术路线如下： （1）根据应变计（组）邻近无应力计测值或回归方程，扣除应变计（组） 测
3、值中的无应力应变（式（1）中的后三项） 。 （2）根据弹性力学应变第一不变量原理空间中一点三个互相正交方向 的应变之和为常量，对应变计测值进行平衡检查。 （3）根据广义胡克定律将空间应力状态下的应变换算成单轴应变。 （4）应用变形法由单轴应变计算各方向正应力。 （5）剪应力计算。 （6）主应力计算。 图图 1 应变计组埋设示意图应变计组埋设示意图 混凝土应力计算方法和步骤如下： 1.1 无应力应变扣除无应力应变扣除 根据应变计（组）邻近无应力计测值或回归方程，扣除应变计（组）测值中 的无应力应变，按式（2）计算。 N sss-= 式（2） 式中： s 扣除无应力应变的各向正应变，10-6。 s
4、应变计组各向应变计测值，10-6。 N s 与应变计组对应的无应力计测值或回归值，10-6。当无应力计 与对应的工作应变计组温度条件不相同时，应利用回归方程计算无应 力应变。 1.2 应变计组平衡检查应变计组平衡检查 根据弹性力学应变第一不变量原理空间中一点三个相互正交方向的应 变之和为常量，对应变计测值进行平衡检查。 （1）5 向应变计组 由 5 向应变计组安装埋设示意图（图 1）所示，其各向应变计测值应满足下 式： 542531 ssssss+=+ 式（3） 实际上，由于观测误差、应力梯度和温度梯度较大、混凝土不均匀、正交应 变计未保持垂直等因素的存在，上式往往不能成立，而存在不平衡量 d
5、。 4231 ssssd+= 式（4） 将不平衡量在各支应变计间进行分配，使总体误差最小，分配量 i s为： = = 4 4 42 31 dss dss 式（5） （2）7 向应变计组 由 7 向应变计组安装埋设示意图（图 1）所示，其各向应变计测值应满足下 式： 761542531 sssssssss+=+=+ 式（6） 原因同上，不平衡量为： += += 76352 42311 ssssd ssssd 式（7） 将不平衡量在各支应变计间进行分配，使总体误差最小，分配量 i s为： += += += 28)( 28)( 8)( 22176 12142 21531 dddss dddss dd
6、sss 式（8） （3）9 向应变计组 由 9 向应变计组安装埋设示意图（图 1）所示，其各向应变计测值应满足下 式： 983761542531 ssssssssssss+=+=+=+ 式（9） 原因同上，不平衡量为： += += += 98513 76352 42311 ssssd ssssd ssssd 式（10） 将不平衡量在各支应变计间进行分配，使总体误差最小，分配量 i s为： += += += += 212)( 212)( 212)( 12)( 332198 232176 132142 321531 ddddss ddddss ddddss dddsss 式（11） 则应变计组各应
7、变计平差以后的应变值应为： iii sss+= 式（12） 式中： i s各应变计平差后的应变值，10-6。 i s各应变计扣除无应力应变后的应变值，10-6。 1.3 空间应力状态应变换算单轴应变空间应力状态应变换算单轴应变 广义胡克定律的表达式为： + = + = + = + + + + = + + + + = + + + + = zxzx yzyz xyxy zyxzz zyxyy zyxxx E E E EE EE EE )1 (2 )1 (2 )1 (2 )( )21)(1 ()1 ( )( )21)(1 ()1 ( )( )21)(1 ()1 ( 式（13） 由于徐变试验是在单轴条
8、件下进行的，其应力状态为简单的单向应力状态， 而坝体内应变计组测点处是复杂的空间应力状态， 因此根据广义胡克定律将空间 应力状态下的应变换算成单轴应变，如下： )21/()1/()()1/( += zyx 式（14） 式中： 应变计(组)各方向扣除无应力应变的正应变，10-6。 与 对应的单轴应变，10-6。 泊松比。 1.4 由单轴应变计算正应力由单轴应变计算正应力 一般来说，要直接运用弹性徐（蠕）变本构方程计算应力是较为困难的，因 此，我们根据单轴应变 应用变形法近似计算各方向的正应力。 如前所述， 在单向受力条件下， 混凝土试件在时间 t 的总应变)(t可表示为： )()()()()()
9、(tttttt gwTce += 扣除上式后三项非应力应变后，单轴应变)(t表示为： )()()(ttt ce += 式（15） 设混凝土在龄期时的瞬时弹性模量为)(E，那么在龄期时施加荷载，混 凝土受到的单向应力)(的作用，在加载瞬间，产生弹性应变弹性应变如下： )()()(E e = 式（16） 当保持应力不变时，如果混凝土时理想弹性体，应变也保持不变。实际上， 混凝土试验资料表明，在常应力作用下，随着时间的延长，应变将不断增加，这 一部分随着时间而增加的应变称为徐变，或称蠕变。试验资料表明，当应力不超 过强度的一半时，徐变与应力之间保持线性关系，徐变应变徐变应变)(t c 可按下式表示：
10、 ),()()(tCt c = 式（17） 式中),(tC是在单位应力作用下产生的徐变应变，称为徐变度，10-6/MPa。 混凝土徐变度),(tC不但与持载时间-t有关，而且与加载龄期有关，加载越 早，徐变度越大。 将式（16） 、 （17）代入式（15）整理后得： +=),( )( 1 )()( tC E t 或 式（18） )(),()(),( )( 1 )( 1- ttEttC E = += 式（19） 式中),(t E 为 t 时刻的持续弹性模量。 通过将上面的（18） 、 （19）式转变为增量形式，即可推导出用变形法由单轴 应变 计算应力（增量）的表达式。将时间划分为 n 个时段，每
11、个时段的起始和 终止时刻（龄期）分别为： 0 ， 1 ， 2 ， 1i ， i ， 1n ， n 。各个时 段中点龄期2/ )( 1 += iii 为： 1 ， 2 ， i ， n 。各时刻对应的单轴 应变分别为： 0 ， 1 ， 2 ， i ， n 。各中点龄期对应的单轴应变分别 为： 1， 2， i， n。则在 i 时刻的应力增量为： ii i ii i i iEC E = += ),(),( )( 1 )( 1 1- 1 1 （i=1） 式（20a） += = 1 1 1 1 1 ),( )( 1 )(),()( i j j i j j ii iiC E E （i1） 式（20b） 在
12、n 时刻的应力为： = = n i in 1 )()( 式（20c） 式中： )(i i 时刻的应力增量，MPa； ),( 1 i iE以 1i 为加荷龄期加载单位应力持续到 i 时刻的总变形 + ),( )( 1 1 1 i i i C E 的倒数，即 i 时刻的持续弹性模量。 )( 1 j E 1j 时刻混凝土的瞬时弹性模量，GPa； ),( 1j iC以 1j 为加荷龄期持续到 i 时刻的徐变度，10-6/MPa。 综上，由式（20）即可根据单轴应变 计算出各方向的正应力。 1.5 剪应力计算剪应力计算 根据弹性力学任意斜截面上的正应力计算公式如下： nlmnlmnml zxyzxyzy
13、xN 222 222 += 式中 l，m，n 为斜截面法向量 N 对应 X、Y、Z 轴的方向余弦。 直接利用 XY、YZ、ZX 平面上与坐标轴成 45角的正应力 xy ， yz ， zx 可 求得剪应力表达式如下： += += += )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 xzzxzx zyyzyz yxxyxy 或 = = = )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 xzzxzx zyyzyz yxxyxy 式（21） 式中 yx ， zy ， xz 为XY、YZ、ZX 平面上与坐标轴成 135角的正应力。 则按照图 1 所示埋设的所有空间应力分量可求得： = = = = = = 2/
14、)( 2/ )( 2/ )( 2 4 7 6 8 9 3 5 1 zx yz xy z y x 式（22） 式中 i （i=19）为通过变形法计算出的各方向正应力。 对于五向应变计组，只有 ZX 面有 45和（或）135应变计，因此只能计 算 zx ；七向应变计组，ZX 面和 YZ 面有 45和（或）135应变计，因此能计 算 zx 和 yz ；九向应变计组，则能计算 xy ， yz 和 zx 。 1.6 主应力计算主应力计算 空间一点的主应力 1 ， 2 ， 3 及其方向余弦，可以通过求解应力矩阵的特 征根及特征向量得到，应力矩阵如下： = zyzzx yzyxy zxxyx ij 式（23
15、） 应力矩阵的三个特征根 1 ， 2 ， 3 （其中 321 ）就是三个主应力， 而对应特征值的特征向量就表示了主应力的方向。并可求得最大剪应力： 2/ )( 31max =。 对于五向应变计组，只有 ZX 面有 45和（或）135应变计，因此只能计 算该平面内的主应力： 22 2, 1 ) 2 ( 2 zx zxzx + + = 式（24） 1.7 瞬时弹性模量与徐变度函数的确定瞬时弹性模量与徐变度函数的确定 混凝土瞬时弹性模量一般采用下面的拟合公式表示：(单位：GPa) )1 ()( 0 b a eEE = 式（25） 式中： 0 E 、a、b根据试验数据得到的拟合系数。为龄期。 混凝土徐变度函数可表示为以下函数形式：(单位：10-6/MPa) ()() 1)(),( 10 10 sq trrp etC + += 式（26） 式中： 0 、 1 、p、 0 r 、 1 r、q、s根据试验数据得到的拟合系数。 或 ()() 1)(1)(),( 8743 6521 += txxtxx exxexxtC 式（27） 式中： 1 x 8 x根据试验数据得到的拟合系数。