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1、数列与不等式的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12016银川一模(本小题满分15分)在等差数列an中，a13，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b11，公比为q(q1)，且b2S212，q.(1)求an与bn；(2)证明：.解(1)设an的公差为d，因为所以解得q3或q4(舍)，d3.(4分)故an33(n1)3n，bn3n1.(6分)(2)证明：因为Sn，(8分)所以.(10分)故.(12分)因为n1，所以0，于是11，所以，即.(15分)22017黄冈质检(本小题满分15分)已知数列an的首项a
2、1，an1，nN*.(1)求证：数列为等比数列；(2)记Sn，若Sn100，求最大正整数n.解(1)证明：因为，所以1.又因为10，所以10(nN*)，所以数列为等比数列(7分)(2)由(1)，可得1n1，所以2n1.所以Snn2n2n1，若Sn100，则n10所以cn最小值为c11，(12分)因为x23x对任意nN*恒成立，所以x23x2，解得x2或x1，所以x(，12，)(15分)42016江苏联考(本小题满分15分)在等差数列an和等比数列bn中，a11，b12，bn0(nN*)，且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a32成等比数列(1)求数列an、bn的通项公式；(2)设cnab
3、n，数列cn的前n项和为Sn，若ant对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0)由题意，得解得dq3.(3分)an3n2，bn23n1.(5分)(2)cn3bn223n2.(7分)Snc1c2cn 2(31323n)2n 3n12n3.(10分)3n1.(11分)3n13n2t恒成立，即t0，所以f(n)单调递增(14分)故tf(1)3，即常数t的取值范围是(，3)(15分)52016天津高考(本小题满分15分)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项(1)设cnbb，nN*，求证：数
4、列cn是等差数列；(2)设a1d，Tn (1)kb，nN*，求证： .证明(1)由题意得banan1，有cnbban1an2anan12dan1，(3分)因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差数列(6分)(2)Tn(bb)(bb)(bb) 2d(a2a4a2n) 2d 2d2n(n1)(9分)所以 (12分)时n的取值范围解(1)a12a23a3nann，所以a12a23a3(n1)an1n1(n2)两式相减得an(n2)，(4分)又a11满足上式，an(nN*)，(5分)(2)由(1)知bn，(6分)Tn，Tn.两式相减得Tn2，Tn2，(9分)Tn143，(10分)由Tn
5、Tn13，当n2时，TnTn10，所以数列Tn单调递增(12分)T43，所以n5时，TnT5，故所求n5，nN*.(15分)72016吉林二模(本小题满分20分)已知数列an前n项和Sn满足：2Snan1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn.解(1)因为2Snan1，所以2Sn1an11.两式相减可得2an1an1an0，即3an1an，即，(4分)又2S1a11，a1，所以数列an是公比为的等比数列(6分)故ann1n，数列an的通项公式为ann.(8分)(2)证明：bn，bn，(11分)Tnb1b2bn，(18分)Tn.(20分)82016浙江高
6、考(本小题满分20分)设数列an满足1，nN*.(1)证明：|an|2n1(|a1|2)，nN*；(2)若|an|n，nN*，证明：|an|2，nN*.证明(1)由1，得|an|an1|1，故，nN*，(3分)所以n，(12分)故|an|n，均有|an|2，取正整数m0log且m0n0，则2n0m00(nN*)，由an12an，得22，所以an是递增数列，从而有an2，故23，(2分)由此可得an13an32an12an22an12na12n1，所以Sn2222n2n12，(6分)所以，当c2时，2n12Sn3n1(nN*)成立(8分)(2)由a12可得a22c2，解得c，(10分)若数列an是单调递减数列，则c，记t，又an1t(ant)，因为ant(nN*)均为正数，所以c0，即an.由an0(nN*)及c，t0可知an1tc(ant)cn(a1t)cn(2t)，进而可得 ancn1(2t)t.由两式可得，对任意的自然数n，cn1(2t)t恒成立因为0c，t2，所以t，即.(14分)下面证明：当c时，由an1can及ancan1(n2)，两式相减得an1an(anan1).由an1can有an2成立，则an1an4c，即c.又当c时，a2a10成立，所以对任意的自然数n，an1an0都成立综上所述，实数c的取值范围为c.