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1、高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1. f(a+x) = f(a-x) = f(x) 关于x=a对称2. f(a+x) = f(b-x) = f(x) 关于 x=(a+b)/2 对称3. f(a+x) = -f(a-x) = f(x) 关于点 （a，0）对称4. f(a+x) = -f(a-x) + 2b = f(x) 关于点（a，b）对称5. f(a+x) = -f(b-x) + c = f(x) 关于点 （a+b）/2 ，c/2 对称6. y = f(x) 与 y = f(-x) 关于 x=0 对称7. y = f(x) 与 y = -f(x) 关于 y=0 对称8. y =f
2、(x) 与 y= -f(-x) 关于点 (0,0) 对称 例1：证明函数 y = f(a+x) 与 y = f(b-x) 关于 x=(b-a)/2 对称。【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于 x=t 的对称点Q（2t m，n）， 那么n =f(a+m) = f b (2t m) b 2t =a ， = t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为 x=(b-a)/2 . 例2：证明函数 y = f(a - x) 与 y = f(x b) 关于 x=(a + b)/2 对称。证明：假设任意一点P（m，n）在函数y
3、= f(a - x) 上，令关于 x=t 的对称点Q（2t m，n）， 那么n =f(a-m) = f (2t m) b 2t - b =a ， = t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为 x=(a + b)/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零，若：1. 函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) = 函数最小正周期 T=|a|2. 函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) = 函数最小正周期 T=|b-a|3. 函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) = 函数最小正周期 T=|2a|4. 函数y = f(x) 存在 f
4、(x + a) =1/f(x) = 函数最小正周期 T=|2a|5. 函数y = f(x) 存在 f(x + a) = f(x) + 1/1 f(x) = 函数最小正周期 T=|4a|这里只对第25点进行解析。第2点解析： 令 X=x+a ，fa +(x a) = fb +(x a) f(x) = f(x + b a) = T=b a第3点解析：同理，f(x + a) = -f(x + 2a) f(x) = -f(x + a) 由和解得 f(x) = f(x+2a) 函数最小正周期 T=|2a|第4点解析: f(x + 2a) =1/f(x + a) = f(x + a) =1/f(x + 2
5、a)又 f(x + a) =1/f(x) f(x) = f(x + 2a) 函数最小正周期 T=|2a|第5点解析: f(x + a) = 2 1 f(x)/1 f(x) = 2/1 f(x) 1 1 f(x) = 2/f(x) + 1移项得 f(x) = 1 2/f(x + a) + 1那么 f(x - a) = 1 2/f(x) +1，等式右边通分得f(x - a) = f(x) 1/1 + f(x) 1/f(x - a) = 1 + f(x)/f(x) 1 ，即 - 1/f(x - a) = 1 + f(x)/1 - f(x) - 1/f(x - a) = f(x + a) ，- 1/f(x 2a) = f(x) = - 1/f(x) = f(x - 2a) ，又 - 1/f(x) = f(x + 2a) ，由得f(x + 2a) = f(x - 2a) = f(x) = f(x + 4a) 函数最小正周期 T=|4a|