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1、,点、直线、平面之间的位置关系,第二章,2.1 点、直线、平面之间的位置关系,主要内容,2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系,2.1.1 平面,2.1.1,平 面,构成图形的基本元素,点、线、面,点无大小,线无粗细,面无厚薄,点,直线,平面,可无限延伸的,平面是可无限延展的,平面的表示,平面的画法,一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一, 在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图.,图一,图二,平面的符号表示,1. 希腊字母： 平面， 平面，平面,2. 一个或几个拉丁字母： 平面M
2、， 平面AC， 平面ABCD等,A,B,C,D,平面的表示,平面的表示,两个相交平面的画法和表示,平面和平面相交于一条直线a,被遮住的部分画虚线,平面平面=直线a,平面的表示,直线和平面都可以看成点的集合,“点P在直线l上”,“点A在平面内”,用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面的关系,“点P在直线l 外”,“点A在平面外”,直线 l 在平面内，或者说平面经过直线 l,直线 l 在平面外.,平面的基本性质,公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.,思考1：如何让一条直线在一个平面内？,作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据,集合符号表示,平面经过这条直线,
3、平面的基本性质,公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.,思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？,作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内,集合符号表示,“不共线的三点确定一个平面”,已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面，使得A、B、C,平面的基本性质,思考3：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？,公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,作用：判断两个平面位置关系的基本依据,探究问题,根据公理1探究直线与平面的各种位置关系. 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一
4、个平面的合理性. 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.,小结,1.平面的表示：概念、图形、符号等 2.平面的基本性质 公理1 公理2 公理3 3.判断共面的方法,2.1.2,空间中直线与直线之间的位置关系,两条直线的位置关系,思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？,C,1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？,2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？,两条直线的位置关系,定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.,异面直线的图示,两条直线的位置关系,A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线
5、和这平面外的一条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.,关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？,问题,两条直线的位置关系,空间中的直线与直线之间有三种位置关系：,不同在任何一个平面内，没有公共点,同一平面内，有且只有一个公共点；,同一平面内，没有公共点；,平行直线,公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.,空间中的平行线具有传递性,如果a/b，b/c，那么a/c,三条平行线共面,三条平行线不共面,平行直线,已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？,三条平行线共面,三条
6、平行线不共面,问题,等角定理,定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.,异面直线所成的角,思考,在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？,a,平面内两条相交直线,空间中两条异面直线,异面直线所成的角,已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 ，把 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角,异面直线所成的角,我们规定两条平行直线的夹角为0，那么两条异面直线所成的角的取值范围
7、是什么？,如果两条异面直线所成角为900，那么这两条直线垂直.,探究,记直线a垂直于b为：ab,异面直线所成的角,探究,（1）在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？,（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？,（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,垂直,本节小结,（1）空间直线的三种位置关系,（2）平行线的传递性,（3）等角定理,（4）异面直线所成的角,基本知识,基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.,2.1.3,空间中直线与平面之间的位置关系,主要内容,直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面
8、平行,直线与平面,直线和平面的位置关系有且只有三种,(1)直线在平面内,有无数个公共点,a,记为：a,直线与平面,(2)直线与平面相交,有且只有一个公共点,a,记为：a=A,A,直线与平面,（3）直线与平面平行,没有公共点,a,记为：a/,直线与平面,直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,记为：a,a,a/,a,a=A,A,或,主要内容,直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行,平面与平面之间的位置关系,2.1.4,两个平面的位置关系,两个平面的位置关系有且只有两种 两个平面平行没有公共点 两个平面相交有一条公共直线,分类的依据是什么？,公理3 如果两个不重合
9、的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,两个平面平行或相交的画法及表示,/,m,=m,直线、平面平行的判定及其性质,2.2,主要内容,2.2.2 平面与平面平行的判定,2.2.3 直线与平面平行的性质,2.2.1 直线与平面平行的判定,2.2.4 平面与平面平行的性质,直线与平面平行的判定,2.2.1,（1）直线在平面内有无数个公共点 （2）直线和平面相交有且只有一个公共点 （3）直线和平面平行无公共点,一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：,直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,直线和平面的位置关系,复习,直线和平面的三种位置关系的画法,直线在平面内,直线
10、与平面相交,直线与平面平行,若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？,观察,如图，设直线b在平面内，直线a在平面外，猜想在什么条件下直线a与平面平行.,a/b,思考,直线和平面平行,直线和平面平行,如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行,判定定理,直线与平面平行的判定定理可简述为,“线线平行，则线面平行”,小结,通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）.,思想方法,平面与平面平行的判定,2.2.2,两个平面平行的判定,判定定理：如果一个
11、平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行,小结,1. 知识小结 2. 思想方法,面面平行,线线平行,线面平行,直线与平面平行的性质,2.2.3,直线与平面平行的判定定理是什么？,复习,定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线与此平面平行.,问：其逆定理是否成立？,性质定理及证明,如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行,已知： ， ，,求证： ,证明： ,直线与平面平行,小结,直线与平面平行的性质定理可简述为,“线面平行，则线线平行”,思想方法,线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法，也提供了作
12、平行线的一种方法.,平面与平面平行的性质,2.2.4,复习1:,两个平面的位置关系是 .,平行或相交,两个平面平行的判定,判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行,复习2:,两个平面平行的性质,结论1,如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面,两个平面平行的性质定理,定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行,即：,这个定理判定两直线平行的依据之一,小结,知识小结 几个结论和性质的应用 思想方法,线面平行或线线平行,面面平行,直线、平面垂直的判定及其性质,2.3,主要内容,2.3.2 平面与平面垂直的判定,2.3.3 直
13、线与平面垂直的性质,2.3.1 直线与平面垂直的判定,2.3.4 平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定,2.3.1,直线和平面的位置关系,复习1,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行,线面垂直,大桥的桥柱与水面的位置关系,思考3,一条直线与一平面垂直的特征是什么？,特征：直线垂直于平面内的任意一条直线,直线和平面垂直,如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直.,定义,平面 的垂线,垂足,平面内任意一条直线,如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？,思考4,l,线面垂直的判定,判定定理 一条直线与一个平面内的两条
14、相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？,答：底面四边形ABCD对角线相互垂直,探究,直线与平面垂直的判定定理可简述为,“线线垂直，则线面垂直”,小结,通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）.,思想方法,前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？,问题提出,直线与平面所成的角,第2课时,线面角相关概念,P,斜线PA与平面所成的角为PAB,l,A,1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角,2.平面的垂线
15、与平面所成的角为直角,3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角,一条直线与平面所成的角的取值范围是,如图，BAD为斜线AB与平面所成的角，AC为平面内的一条直线，那么BAD与BAC的大小关系如何？,BAD BAC,E,解：作BOAD于O，BEAC于E， 则 BDBE sinBADsinBAC,思考1,o,两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？,思考2,1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？,2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？,3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是
16、哪些图形？,思考3,小结,1. 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况. 2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角. 3. 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影.,平面与平面垂直的判定,2.3.2,卫星轨道面,地球赤道面,概念,直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.,概念,从一点出发的两条射线，构成平面角.,同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.,m,记为：二面角-m-,
17、记作AOB,A,B,O,二面角的图示,二面角的记号,（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：,（2）以直线AB为棱，以 为半平面的二面角记为：,A,B,思考3,两个相交平面有几个二面角？,如何用平面角来表示二面角的大小？,探究,二面角-l-,二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,平面角,AOB即为二面角-AB-的,注意：二面角的平面角必须满足：,（1）角的顶点在棱上. （2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.,二面角的取值范围,0度角,180度角,001800,小结二面角的平面角
18、的作法：,1.定义法： 根据定义作出来.,2.作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到.,3.应用三垂线定理： 应用三垂线定理或其逆定理作 出来.,o,平面与平面垂直的判定,第2课时,平面与平面垂直的判定,定义,一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.,a,A,b,记为,判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直,a,A,请问哪些平面互相垂直的,为什么?,探究：,小结,1. 知识小结 1）二面角及其平面角 2）两个平面互相垂直 2. 思想方法,面面垂直,线线垂直,线面垂直,直线与平面垂直的性质,2.3.3,直线与平面垂直的判定定理
19、是什么？,复习,直线与平面垂直的定义是什么？,a,a,思考1,如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？,思考2,如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？,相交,平行,异面,思考3,如果直线a，b都垂直于平面，那么a与b一定平行吗？,垂直于同一个平面的两条直线平行,直线与平面垂直的性质定理,小结,直线与平面垂直的性质定理可简述为,“线面垂直，则线线平行”,思想方法,线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方法，也提供了作平行线的一种方法.,“线面垂直，则线线垂直”,平面与平面垂直的性质,2.3.4,复习1,l,l,两个平面相互垂直,三个平面两两垂直,两个平面垂直的判定,判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直,复习2,1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？,思考？,思考？,两个平面垂直的性质,性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,面面垂直线面垂直,a,A,l,结论,如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.,小结,知识小结 几个结论和性质的应用 思想方法,线面垂直或线线垂直,面面垂直,