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1、 一般地，曲线y=f(x)上一点P(x0，y0)的切线 的斜率的计算公式： 利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0 的对称点Q的坐标为 一般地： 点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0） 点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0） 点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b） 点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b） 点（x0，y0）关于直线y=0（即x轴）的对称点为（x0，-y0） 点（x0，y0）关于直线x=0（即y轴）的对称点为（-x0，y0） 点（x0，y0）关于直线y=m的对称点为（x
2、0，2m-y0） 点（x0，y0）关于直线x=n的对称点为（2n-x0，y0） 注：当对称轴的斜率为1或对称轴与坐标轴垂直时可用上 述方法直接求出对称点的坐标。 数列 通项an 等差数列 前n项和Sn 等比数列 定义 通 项 前n项和 性 质 知识 结构 等 差 数 列 等 比 数 列 定义 通项公式 中项公式 前n项和 公式 an+1-an=d(常数),nN* an+1/an=q(常数),nN* an= a1+(n-1)d an=a1qn-1(a1,q0) 若a，A，b成等差 数列，则 A=(a+b)/2. 等差、等比数列的有关概念和公式 若a，G，b成等比数列 ，则G2=ab（a,b0）
3、判断（或证明）数列为等差(等比）的方法： 方法一（定义）( a n + 1 a n = d 或 a n a n 1 = d ( n 2 ) 方法二(等差中项) a n + 1 +a n 1 = 2a n ( n 2 ) 1、等差数列 ： 2、等比数列 ： 等差数列与等比数列前n项和 注意公式的变形应用 （1） （2）若 则 （3）若数列 是等差数列，则 也是等差数列 等差数列的重要性质 等差数列的重要性质 若项数为n2 则ndSS=- 奇偶 若项数为12 -n 则 n aSS=- 偶奇 （中间项） 通项公式：通项公式： 等差数列等差数列 a a n n 的判定方法：的判定方法： 等差数列性质：
4、若数列an是公差为d 的等差数列，则 前n和公式 ： 等差数列an 说明：利用这一特征，可以简化解题，减少运算量. 等差数列等差数列 a a n n 的判定方法：的判定方法： 设 数列 的前 项和， 即 则 知和求项 : 等差数列和等比数列的比较 1通项公式 等差数列 等比数列 2前 n 项和 n 的系数k就是公差 特 征 特 征 是关于n 的不含常 数项的二次函数 a 的n 次幂的系数与常 数项互为相反 数。 底数a就是公比 3性质 等差数列等比数列 基本不等式 （2） 一“正” 二“定” 三“相等 ” 重要结论： 调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数 1 “直线定界、特殊点定域
5、”. 2 “同侧同号、异侧异号”. 知识串 等价转化思想 2.直线方程： 形式条件方程 点斜式过过点( x0,y0), 斜率为为k 斜截式在y轴轴上的截距为为b, 斜率为为k 两点式过过P1（x1, y1), P2（x2, y2) 截距式在y轴轴上的截距为为b, 在x轴轴上的截距为为a 一般式A、B 不同时为时为 0 3. 已知两直线 l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时， 则直线 l1l2k1=k2且b1b2 k1 k2= 1直线 l1 l2 已知两直线 l1: A1x+B1y + C1=0 , l2: A2x+B2y+C2=0 且 A1B1C1 0 , A2B2C2 0
6、 ， 则直线 l1l2 l1 l2 直线 l1与l2重合 直线 l1与l2相交 4. 与直线线A x + B y + C = 0平行的直线线可设为设为 : _； A x + B y += 0 (C) 与直线线A x + B y + C = 0垂直的直线线可设为设为 : _； B x A y + = 0 过过两直线线l1:A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 交点的直线线可设为设为 : _ . A1 x + B1 y + C1+ ( A2 x + B2 y + C2) = 0 5.两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)间的距离公式为
7、: ， 点P(x0， y0)到直线l:Ax+B y +C=0的距离公式为: 两平行直线l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0间的距离为: 基础自查 到定点的距离等于定长 (a，b) x2y2r2 求曲线的轨迹方程 1待定系数法 2定义法 3直接法 4相关点法 5点差法 6向量法 7参数法 标准方程 范 围 对称性 顶 点 离心率 关于坐标轴对称、关于原点对称 (-a,0), (a,0)(0,-a) , (0,a) 图 象 焦 点 (-c,0), (c,0)(0,-c) , (0,c) 渐近线 准 线 双曲线的简单几何性质 等轴双曲线的离心率e= ? A1A2 B1 B2
8、a bc x0 y 几何意义 F1F2 焦半径公式： 同理可得焦点在 y 轴上的焦半径公式： F1 F2 x y 图图形方程范围围对对称性 顶顶点 离心率 x 轴 抛物线的几何性质 x 轴 y 轴 y 轴 方程 图 形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 的长度 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） l F y x O l F y x O l F y x O x0 yRx0 yR xR y0 y0 xR l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称 （0,0）（0,0）（0,0）（0,0）
9、 引例 . y O x . . . . . . . . A B F 想一想？ .当直线的斜率存在时，弦长公式： （其中（），（）是交点坐标标）。 抛物线线的焦点弦长长公式 其中为过为过 焦点的直线线的倾倾斜角。 |AB|= 基础自查 1平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的 点都 在这个平面内 (2)公理2：如果两个平面(不重合的两个平面)有 公共点，那么它们还 有其 他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 (3)公理3：经过 的三点，有且只有一个平面 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交
10、直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 一个 不在同一条直线上 2空间两条直线 (1)空间间两条直线线的位置关系有 、 、 (2)平行直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那 么这两个角 (3)异面直线 定义：异面直线是指 的两条直线 性质：两条异面直线既不相交又不平行 判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线 是异面直线 (4)异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，由于a和 b所成角的大小与点O的选择无关，我们把a与b所成的锐角(或直
11、角)叫做 异面直线a与b所成的角(或夹角) 如果两条异面直线所成的角是 ，就说两条异面直线互相垂直 相交平行异面 互相平行 相等 不同在任何一个平面内 直角 3斜二测画法 (1)在已知图图形中取互相垂直的轴轴Ox、Oy，画直观图时，把它画成对应的轴 Ox、Oy使xOy45或135，它们确定的平面表示水平 面 (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和 y轴的线段 (3)在直观图中，已知图形中平行于x轴的线段， ；平行于y轴 的线段， 保持原长度不变 长度为原来的一半 基础自查 1直线和平面平行 (1)定义义：直线线和平面没有公共点，则称直线平行于平面 (2)判定定理
12、：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行 用符号表示为： . (3)性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 的平面和这个平 面相交，那么这条直线就和交线平行 用符号表示为：a，a，bab. 经过这条直线 a，b，且aba 2两个平面平行 (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行 (2)判定定理：如果一个平面内 都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行 用符号表示：a，b，abM，a，b. (3)性质定理：如果两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 用符号表示： . 有两条相交直线 ，a，bab 1直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直
13、的方法 定义法 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和 此平面垂直 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面 (2)直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线 垂直于同一个平面的两条直线 垂直于同一直线的两平面 相交 垂直 任意 平行 平行 2三垂线定理及其逆定理 定理：在平面内的一条直线线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它 也和这条斜线垂直 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线的 垂直 3平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理：一
14、个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个平面 射影 一条垂线 交线 基础自查 棱柱棱锥锥 定义义有两个面互相 ，其余各面都 是四边边形，并且每相邻邻两个四边边 形的公共边边都互相平行，这这些面 围围成的几何体 有一个面是多边边形，其余各面 是 的三角形，由 这这些面围围成的几何体 底面互相平行的面多边边形 侧侧面其余各面 侧侧棱两个侧侧面的公共边边 顶顶点侧侧面与底面的公共顶顶点各侧侧面的公共顶顶点 高两个底面间间的距离顶顶点到底面的距离 平行 有一个公共顶点 棱柱棱锥锥 侧侧面平行四边边形三角形 侧侧棱平行且相等
15、交于一点 平行于底面的截面与底面全等的多边边形与底面相似的多边边形 纵纵截面平行四边边形三角形 中心 全等的等腰三角形 相等 平行四边边形面积积之和 斜高乘积积的一半 基础自查 1多面体 (1)多面体的概念 若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点 把一个多面体的任何一个面伸展为平面，如果其他各面都在这个平面的同侧， 这样的多面体叫做凸多面体 一个凸多面体至少有 面，多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、 六面体等 (2)正多面体 每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为端点都有
16、相同数目的棱的 凸多面体叫做正多面体 4个 垂直 直径 在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC 的顶点P在底面ABC内的射影位置 在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC 的顶点P在底面ABC内的射影位置 1、三条侧棱相等 2、侧棱与底面所成的角相等 3、侧面与底面所成的角相等 4、顶点P到ABC的三边距离相等 5、三条侧棱两两垂直 6、相对棱互相垂直 7、三个侧面两两垂直 外心 外心 内心 内心 垂心 垂心 垂心 法向量 1、平面图形的直观图画法 （1）画轴. （2）确定平行线段. x y o ( 450或1350 ) x y o 平行x轴的线段平行于x 轴 平行y轴的线段平行于y 轴 （3）确定
17、线段长度. 平行x轴的线段的长度保持不变. 平行y轴的线段的长度变为原来的一半. 确定点位置的画法 : 在斜坐标系里 横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的 一半. 特殊的平行投影画法斜二测画法 无 平面外此平面内 a,b,且aba 【知识梳理】 1直线与平面垂直的判定 类别类别 语语言表述应应用 判 定 如果一条直线线和一个平面内的任何一 条直线线都垂直,那么这这条直线线和这这个 平面垂直 证证直线线和平面垂 直 如果一条直线线和一个平面内的两条相 交直线线都垂直,那么这这条直线线垂直于 这这个平面 证证直线线和平面垂 直 如果两条平行直线线中的一条垂直于一 个平面,那么另一条也垂直于同一个平
18、面 证证直线线和平面垂 直 【知识梳理】 2直线与平面垂直的性质 b a ba 类类 别别 语语言表述图图示字母表示应应用 性 质质 如果一条直线线 和一个平面垂直 ,那么这这条直线线 和这这个平面内 的任何一条直 线线都垂直 ab 证证两 条直 线线垂 直 如果两条直线线 同垂直于一个平 面,那么这这两条 直线线平行 ab 证证两 条直 线线平 行 【知识梳理】 2两个平面平行的判定 aP b a aP b a b 类类 别别 语语言表述图图示字母表示 应应 用 判 定 如果一个平面内有 两条相交直线线都 平行于另一个平面 ，那么这这两个平 面平行 证证 两 平 面 平 行 如果一个平面内有
19、 两条相交直线线分 别别平行于另一个 平面内的两条直 线线，那么这这两个 平面平行 垂直于同一条直 线线的两个平面平 行 【知识梳理】 3两个平面平行的性质 a a b a 类别类别语语言表述图图示字母表示应应用 性 质质 如果两个平面平 行，那么其中一 个平面内的直线线 必平行于另一个 平面 a 证证直线线 和平面 平行 如果两个平行平 面同时时和第三个 平面相交，那么 它们们的交线线平 行 a b 证证两条 直线线平 行 性 质质 一条直线线垂直于 两个平行平面中 的一个平面，它 也垂直于另一个 平面. a 证证直线线 和平面 垂直 a , bab= P a / b / / 面面平行的判定
20、定理 符号语言 线不在多 贵在相交 面面平行线面平行线线平行？ a b 图形语言 如果一个有两条 直线分别 于另一个平面 相交 ，那么这两个平面平行。 P 转 化 转 化 平面内 平行 a , bab= P a / b / / 面面平行的判定定理 符号语言 线不在多 贵在相交 a b 图形语言 如果一个平面内有两条 直线分别 平行于另一个平面 相交 ，那么这两个平面平行。 P 面面平行线面平行线线平行？ 转 化 转 化 判定定理判定定理 如果一条直线和一个平面内的如果一条直线和一个平面内的两条相交两条相交 直线直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. . B
21、m n l 三垂线定理三垂线定理 在在平面内平面内的一条直线，如果它和这个平面的的一条直线，如果它和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 P P A A O O a P P A A O O a 三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面在平面内的一条直线，如果它和这个平面 的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直内的射影垂直 作二面角的平面角的常用方法 点P在棱上 点P在一个半平面上 点P在二面角内 l P A B A B P A B O l P 定
22、义法 三垂线(逆)定理法 垂面法 C Q APB l 指出下列各图中的二面角的平面角： B A C D A A B C C D D B 二面角BBC-A A D B C l 二面角-l- ACl BD l O E O O 二面角A-BC-D D 14 随机事件的概率 随机事件 必然事件 不可能事件 定义 0P1 P=1 P=0 概率 频率 求法 事件 事件的概率 事件的关系 包含 并 交 互斥 对立 加法公式 （1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2） 每个基本事件出现的可能性相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模 型，简称古典概型。 P(A)= A包含的基本事件的个
23、数 基本事件总数 当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能性 时才成立 古典概型 在几何概型中,事件A的概率计算公式如下 : P(A)= 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能性 时才成立 （1） 试验总所有可能出现的基本事件有无限个； （2） 每个基本事件出现的可能性相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为几何概 率模型，简称几何概型。 几何概型 画频率分布直方图的步骤: 第一步:求极差:(数据组中最大值与最小值的差距) 第二步:决定组距与组数:（强调取整） 第三步:将数据分组(给出组的界限) 第四步:列频率分布
24、表.（包括分组、频数、频率、频率/组距 ） 第五步:画频率分布直方图（在频率分布表的基础上绘制，横 坐标为样本数据尺寸，纵坐标为频率/组距.） 组距：指每个小组的两个端点的距离，组距 组数：将数据分组，当数据在100个以内时， 按数据多少常分5-12组。 回忆：绘制频率分布直方图有哪几个步骤呢？ 例1某赛季甲乙两篮球运动员每场比赛得分原始记录如下： 甲：13, 51,23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39 乙：49, 24,12,31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25,36,39 用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好 甲乙 0 1 2 3 4
25、 5 25 54 161679 49 0 8 463 368 389 1 叶 茎 叶 （二）. 茎叶图 (一种被用来表示数据的图) 方差、标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。 在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。 1、方差（标准差的平方）公式为： 假设样本数据是平均数是 2、标准差公式为： 在刻画样本数据分散程度上，两者是一致的！ 性质归纳： 2、方差（标准差的平方）公式为： 3、标准差公式为： 方差、标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。 在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。 频率分布直方图如下： 月均用水量/t 频率
26、 组距 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.51 1.5 2 2.533.544.5 2.03 回归方程的斜率与截距的一般公式: 以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它 的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方 和最小，这一方法叫最小二乘法。 统计 同角三角函数的基本关系式: 注意： 只有当的取值使三角函数有意义时， 上面恒等式才成立 . 当角的终边在x轴 上时, 正弦线、正切线 分别变成一个点； 这三条与单位圆有关的有向线段 叫做角的正弦线、余弦线、正切线 当角的终边在 y 轴上时，余弦线变成一 个点，正切线不存在 sin( sin( - -) = sin) = sin
27、cos( cos( - -) = ) = - -coscos tan( tan( - -) = ) = - -tantan 公式四：公式四： sin(sin(- -) = ) = - -sin cos(sin cos( - -) = cos tan() = cos tan(- -) = ) = - -tantan 公式三：公式三： sin(+) = -sin sin(+) = -sin cos(+) = -cos cos(+) = -cos tan(+) = tan tan(+) = tan 公式二：公式二： sin(+2sin(+2k k ) = sin) = sin cos(+2 cos(
28、+2k k ) = cos) = cos tan(+2 tan(+2k k ) = tan ) = tan 其中其中 k kZ Z 公式一：公式一： 诱导公式诱导公式 公式 七 公式 八 公式 五 公式 六 公式五 公式八可以实现正弦函数与余弦函数的互化. 1:定义域: 2:值域 ： 3:周期性 ： 4:奇偶性： 5:单调性 ： 6:对称性 ： 先平移变换，再周期变换,最后振幅变换： 平移 个单位 横坐标变为 原来的 倍 纵坐标变为 原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标不变 先周期变换，再平移变换，最后振幅变换： 横坐标变为 原来的 倍 平移 个单位 纵坐标变为 原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐
29、标不变 A：这个量振动时离开平衡位置 的最大距离，称为“振幅”. 函数表示一个振动量时： T： f ： 称为“相位” . x=0时的相位，称为“初相”. 利用正弦定理，可以解决两类问题： 已知两角和任一边，求其它两边和一角. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的 对角（进而可求出其它的角和边）. 正弦定理： 知识回顾 A BC 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即 A BC 用余弦定理,可解决两类问题： 已知两边和它们的夹角, 求 第三边和其它两个角； 已知三边，求三个角. 利用正弦定理，可以解决两类问题： 已知两角和任一边，求其它两边
30、和一角. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（ 进而可求出其它的角和边）. 正弦定理： 利用余弦定理,可解决两类问题 ： 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角； 余弦定理： 已知三边，求三个角. A BC 基础要点归纳： 设三角形ABC中，边a,b,c所对的角分别为A，B，C （一）三角形中常见结论 C A B a b c 1、A+B+C= C A B a b c 2、任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3、面积公式： 5、正弦定理： C A B a b c 4、边角之间的不等关系： C A B a b c 6、余弦定理： 平面向量的坐标运算 1.已知a ， b ，求
31、a+b，a-b 解：a+b=( i + j ) + ( i + j ) =（ + )i+（ + )j 即 a + b 同理可得a b 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差 向量和与差 平面向量共线的坐标表示 则 这个结论用坐标表示，可写为 故 向量平行(共线)条件的两种形式: （1）e a （2）ab （3）当a 与b 同向时， （4） （5）|a b| | a | | b | . 由数量积的定义，可得以下重要性质: 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的 单位向量，是a与e的夹角，则 a e = | a | cos = a b = 0 a b = | a | | b |， 当a 与b 反向时，a b =| a | | b |， 特别地