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1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入,知识能否忆起 一、向量的有关概念 1向量：既有大小又有 的量叫向量；向量的大小叫做向量的 2零向量：长度等于 的向量，其方向是任意的,方向,模,0,3单位向量：长度等于 的向量 4平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线 5相等向量：长度相等且方向 的向量 6相反向量：长度相等且方向 的向量,1个单位,相反,相同,相反,二、向量的线性运算,ba,(bc),a,三、向量的数乘运算及其几何意义 1定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： |a| ； 当0时，a的方向与a的方向 ；当
2、0时，a的方向与a的方向 ；当0时，a . 2运算律：设，是两个实数，则: (a)()a；()a a a；(ab)ab. 四、共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 .,相同,相反,|a|,a,0,ba,小题能否全取 1下列命题正确的是 () A不平行的向量一定不相等 B平面内的单位向量有且仅有一个 Ca与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量 D若a与b平行，则b与a方向相同或相反 解析：对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A. 答案：A,2.如右图
3、所示，向量ab等于 () A4e12e2 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2,解析：由题图可得ab e13e2.,答案：C,答案：B,答案：2,5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a) 共线，则_.,共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合,例1给出下列命题： 两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；,向量的有关概念,若a与
4、b同向，且|a|b|，则ab；,，为实数，若ab，则a与b共线 其中假命题的个数为 () A1B2 C3 D4,答案C,不正确两向量不能比较大小 不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线,1平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法 2几个重要结论 (1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关.,A0 B1 C2 D3,1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，
5、则a |a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是(),解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.,答案：D,向量的线性运算,答案 (1)D(2)A,答案：3,在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识,A0个 B1个 C2个 D3个,答案：C,例3设两个非
6、零向量a与b不共线,共 线 向 量,(2)试确定实数k，使kab和akb共线,1当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用 2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,AabBab Ca2b Dab且|a|b|,答案C,1.解答本题的易误点有两点： (1)不知道 分别表示与a，b同向的单位向量. (2)误认为由|a|b|及ab能推出两向量 相等，而忽视了方向. 2.解决向量的概念问题要注意两点： (1)要考虑向量的方向； (2)要考虑零向量是否也满足条件.,1对于非零向量a，b，“ab0”是“ab
7、”的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,解析：由abab，不能得出ab0.,答案：A,解析：由已知向量p是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p|max2，当这两个单位向量反向时，|p|min0.,答案：D,教师备选题（给有能力的学生加餐）,1已知e10，R，ae1e2，b2e1，则 a与b共线的条件是 () A0Be20 Ce1e2 De1e2或0,解析：若e1与e2共线，则e2e1. 因此a(1)e1，此时ab. 若e1与e2不共线，设ab，则 e1e22e1，因此0,120.,答案：D,答案：B,1个重要区别 向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形,3项必须防范 1. 向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个 2. 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 3. 利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.,