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1、目 录摘要(1)0引言(1)1二次曲线的化简(1)1.1通过移轴化简二次曲线(2)1.2利用不变量化简二次曲线(3)1.3利用正交变换来化简二次曲线(4)2二次曲线的性质(7)2.1二次曲线的曲率(7)2.1.1椭圆的曲率及性质(7)2.1.2抛物线的曲率及性质(8)2.1.3双曲线的曲率及性质(8)2.2二次曲线的重要性质(9)2.2.1椭圆中的定值(9)2.2.2双曲线的定值(9)2.2.3抛物线的定值(10)3二次曲线的应用(10)3.1二次曲线的光学性质(10)3.1.1抛物线的光学性质(10)3.1.2椭圆,双曲线的光学性质(12)参考文献(13)Abstract(13)二次曲线的化
2、简、性质及应用作 者:指导老师:摘要:本文将化简二次曲线的几种常用方法进行归总结,并着重强调强调用正交合同变换来化简二次曲线.实现解析几何与高等代数的结合.并进一步总结出二次曲线的一些性质和应用.关键词:正交变换;曲率;光学性质0 引言二次曲线与我们的生活密切相关,它们的某些性质在生产、生活中被广泛应用. 一般二次曲线的化简、性质及应用是平面解析几何的中心研究课题, 如何将二次曲线方程进行化简, 是二次曲线一般理论的主要问题之一.参考文献1中讲述了两种方法,一是利用移轴与转轴来化简二次曲线, 这种方法的实质是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置,它的优点在于不需要用高等代数知识.缺点是不
3、能一步到位,且化简过程较为复杂.二是利用不变量与半不变量方法.先计算出二次曲线的不变量和半不变量,然后可判断已知曲线为何种曲线,同时也可直接求出它的简化方程.此法的优点是快捷,但无法画出二次曲线的图形.针对以上两种方法的优缺点,利用参考文献2中二次曲线与二次型的关系,应用高等代数有关理论化简欧式平面上二次曲线方程为标准方程,通过举例说明化简二次曲线方程为标准方程的方法过程及应用的有关高等代数知识,阐述了高等代数指导学习其他几何学的意义.对于二次曲线的性质,通过查看各种资料将二次曲线的一些重要性质进行了系统的归纳总结.1 二次曲线的化简我们知道二次型理论源于化二次曲线和二次曲面为标准形式的问题,
4、其理论在数学和物理学中都有重要的应用.任一个实对称矩阵都可化为对角形,则任一条二次曲线可通过坐标变换化为标准形式.化二次型为标准型通常有合同变换和特征根两种方法.相应的二次曲线就可通过合同变换和正交变换来化简.1.1 通过移轴化简二次曲线我们知道如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为与,那么移轴公式为,式中为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标.转轴公式为,式中的为坐标轴的旋转角.例1 化简二次曲线方程解 因为二次曲线的方程含有项,因此我们可以先通过转轴消去项.设旋转角为,那么由得 即所以 ,从而得=-或2.取=2,那么 =,=,所以得转轴公式为 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为5+2-5+1=0
5、.利用配方是上式化为再作移轴 ,曲线方程化为最简形式:-=0.因此,上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方法,实际上是把坐标轴变换与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置.如果是中心曲线,坐标原点与曲线的中心重合；如果是线心二次曲线,坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合.因此,二次曲线方程的化简,只要先求出曲线的主直径,然后以它作为新的坐标轴,作坐标变换即可.1.2 利用不变量化简二次曲线二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为由参考文献1我们知道,二次曲线在直角坐标变换下,有三个不变量,与一个半不变量：,例2 求二次曲线的简化方程.解 因为I=10 I=16 I=-128.所以=-8,而
6、特征方程-10+16=0的两根为=2,=8,所以曲线的简化方程为:2x+8y-8=0,曲线的标准方程为,这是一个椭圆.以上1.1和1.2是用通常的方法化简二次曲线,现在我们用二次型的理论来求解化简二次曲线.1.3 利用正交变换来化简二次曲线我们知道,因为任意实二次型,都可以用正交变换化为平方和,这里是A的全部特征值. 利用高等代数里面所学的相关知识,化一个二次型为标准型通常用的方法是特征根法,相应的将一条二次曲线化为标准型可以用正交变换,用它来化简出的标准型是唯一的.从而离心率、面积、双曲线的渐近线及其斜率等性质都可以知道,有利于研究曲线的几何性质.例3 化简二次曲线解 因为 I=1-=0 所
7、以曲线为中心二次曲线.解得中心坐标为,取为新原点作移轴 则原方程变为:现在的二次型为,求出矩阵的特征值为,.对于,其单位正交的基础解系为,对于,其单位正交的基础解系为,作,转轴公式,化为 所以标准方程为:例5 化简二次曲线 解 因为式子中的二次项构成了实二次型 它的矩阵 ,其特征多项式为:即A的特征值,当,时A的特征向量分别为,单位化得,以为列向量作正交矩阵,正交变换为带入原方程得再进行配方移轴可得标准方程:(双曲线).例6 求二次曲线标准方程解 二次曲线的矩阵形式易知该曲线的主直径方程为 所以曲线与主直径的交点为.又因为,所以得,.当,时,其特征向量分别,.史密特正交化得,则令作正交变换,可
8、化简为整理得（抛物线）.2 二次曲线的性质2.1 二次曲线的曲率在解析几何中,我们学习了曲线论,知道曲线在平面中的一些性质,我们学习了如何用曲线的主直径,渐近线,渐进方向和曲线的中心来刻画曲线的性质.而在微分几何中我们进一步学习了曲线在空间中的性质,我们用曲率来刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度.我们知道二次曲线的三大代表类型有椭圆、抛物线、双曲线,现在我们由曲率来推导一些二次曲线的性质.2.1.1椭圆的曲率及性质 椭圆的方程为,可得其参数方程为 则椭圆可表为,则又因为曲线的曲率方程为因为椭圆的对称性,现在只考虑y轴上半轴.再判断椭圆曲率的单调性,不妨先设, 当时 ,0 所以在为减函数;,0或p
9、0,则.由导数公式算出P处切线斜率:根据光的反射性质,反射面切线平分入射光线与反射光线的夹角.当PF斜率不存在时, ,P处的切线斜率为1,因此反射光线斜率为0.即反射光线平行于x轴.当PF斜率存在时(设为),则,因为.因此.即PF仰角为P点处切线仰角的两倍,因此反射光线PQ与x轴平行.因此,二次曲线的一条重要的光学性质:从抛物线焦点处发出的光线,经抛物线反射后,反射光线平行于抛物线主光轴.由于光路可逆,平行于抛物线的主光轴光线经过抛物线反射后,反射光线所在的直线会聚于焦点.根据这个性质,可以制作抛物线形状的镜子-凸面镜和凹面镜.如图二,当物体A,B位于主轴附近时,可近似的认为PO垂直OA而,又
10、因为因此因此面镜成像与透镜有相似的性质:(v0为虚像,凹面镜f0) (u:物距,v:像距)凸面镜与凹透镜相似,总能形成正立,缩小的虚像(因为f0);凹面镜成像与凸透镜相似,当uf时呈正立,放大的虚像,当u=f时不成像,当fu2f时呈倒立缩小的实像.抛物线的光学性质非常有用,前面提到的汽车前灯,就是灯泡装在抛物面的焦点处,用平行光线照亮路面;太阳能热水灶的原理就是利用巨大的抛物面聚集日光来加热;将光线通过红宝石激光器可得激光,这通常需要大量的红宝石,而如果用凹面镜把光线聚集起来,则可大大减少红宝石的用量.3.1.2 椭圆,双曲线的光学性质抛物线有奇特的光学性质,同样椭圆双曲线也有一些光学性质:从
11、椭圆或双曲线的一个焦点发射的光线,经反射后,反射光线所在的直线过另一个焦点.如图三,设双曲线方程为,取它x轴以上的部分,则它是一个函数图像.,焦点,取双曲线上任意一点P(P不在y轴上),设,则P点处切线斜率: 斜率: 斜率: 因此可以求出与仰角之和(设为)的正切值:也可求出P点处切线仰角二倍角的正切值:,因此,即因此P点处切线平分与的夹角.即从一个焦点处发出的光线经双曲线反射后,反射光线所在直线过另一个焦点.同样也能证明:从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.参 考 文 献1 吕林根解析几何M.北京:高等教育出版社,2006.4.2 王萼芳高等代数M.北京:高等教育出版
12、社,2007.11.3徐光顺二次曲线度量分类中的标准方程J.高等函授学报(自然科学版),2010,10(4):223-224.4 梅向明微分几何M. 北京:高等教育出版社,2008,5.5 姜衡年.二次曲线的定值J. 昆明师专学报(自然科学版),10(1):254-255.6二次曲线的一个重要性质及其应用J.数学教学,2007.2（26）7非退化二次曲线的另一类分类及其性质J.数学学报,数学教学,2007.2（26）:24-258 百度文库 http/ 9何郁波.线性代数中二次型应用的研究J.怀化学院学报,2009,2（28）：30-35.10 李尔源二次曲线的判定、化简及作图J. 绍兴文理学
13、院报,2001,21(4):34-37Simplification, properties and applications of the second curveREN Li-juanAbstract:This will simplify the second curve and be summarized in several ways.And to highlight the way of using the contract and the orthogonal transformation to simplify the simple quadratic curve.To achieve a combination of analytic geometry and advanced algebra.And further summarizes some properties of quadratic curves and applications.Key words: Orthogonal change;Curvature;Optical properties.第 13 页 (共 13 页)