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1、轴向载荷作用下杆件的材料力学问题,轴向拉压的概念及实例 截面法、轴力及轴力图 拉压杆的应力,拉压杆的变形分析与计算,失效、许用应力与强度计算,拉压超静定问题 连接部分的强度计算,拉压, 轴向拉压的概念及实例,轴向拉压的外力：外力的合力作用线与杆的轴线重合,一、概念,轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。,轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。,轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。,拉压,轴向压缩，对应的力称为压力。,轴向拉伸，对应的力称为拉力。,力学模型如图,FP,FP,FP,FP,拉压,拉压,轴向拉压的杆件,承受轴向载荷的拉压杆在工程中的应用非常广泛。 翻斗货车的
2、液压机构中的顶杆，承受的压力作用，如压力过大，或者过于细长，有可能突然由直变弯，发生稳定失效。,承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。,由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。,承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。,一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。,斜拉桥承受拉力 的钢缆,拉压,1、轴力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的互相作用力（附加内力）。 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定
3、性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。 轴力拉压杆的内力,轴向拉压横截面上的内力,反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置， 为强度计算提供依据。,拉压,3、 轴力图 F N (x) 的图象表示。,2 轴力的正负规定:,FN 与外法线同向,为正轴力(拉力),FN与外法线反向,为负轴力(压力),FN,x,FP,意义,拉压,2. 轴力轴向拉压杆的内力，用FN 表示。,例如： 截面法求FN （N）。,截开：,代替：,平衡：,拉压,例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。,
4、解： 求OA段内力FN1：设置截面如图,拉压,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,FN2= 3PFN3= 5P FN4= P,轴力图如右图,D,FD,FN,x,2P,3P,5P,P,拉压,轴力(图)的简便求法： 自左向右:,轴力图的特点：突变值 = 集中载荷,遇到向左的F， 轴力FN 增量为正； 遇到向右的F ， 轴力FN 增量为负。,3kN,5kN,8kN,拉压, 横截面上的应力,问题提出：,FP,FP,FP,1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：内力在截面分布集度应力； 材料承受荷载的能力。,FP,1. 定义：分布内力在一点的集度。,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀
5、分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。,一、应力的概念,拉压,变形前,1. 变形规律试验及平面假设：,平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。,受载后,二、拉（压）杆横截面上的应力,拉压,均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。,2. 拉伸应力：,轴力引起的正应力 ： 在横截面上均布。,危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。,3. 危险截面及最大工作应力：,例题,三角架结构尺寸及受力如图示。其中FP22.2 kN；钢杆BD的直径dl25.4 mm；钢梁CD的横截面面积A22.32103 mm2。,试求
6、：杆BD与CD的横截面上的正应力。,首先对组成三角架结构的构件作受力分析，因为B、C、D三处均为销钉连接，故BD与CD均为二力构件。由平衡方程,解：1受力分析，确定各杆的轴力,其中负号表示压力。,解：1受力分析，确定各杆的轴力,2计算各杆的应力 应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD杆与CD杆横截面上的正应力分别为：,问题；拉（压）杆斜截面上的应力分布,拉压,设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。,解：采用截面法 由平衡方程：Pa=P,则：,Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。,斜截面上全应力：,反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。,斜截面上全应力：, 轴向拉伸和压缩
7、时的强度计算,强度设计准则：安全系数、容许应力,n,拉压,1、许用应力：,2、 极限(危险）应力：,3、安全系数：,拉压,三类强度计算问题（Strength Design）：,其中：-许用应力， max-危险点的最大工作应力。,设计截面尺寸：,依强度准则可进行三种强度计算：,保证构件不发生强度破坏的条件,校核强度：,许可载荷：,例题,可以绕铅垂轴OO1旋转的吊车中斜拉杆AC由两根50 mm50 mm5 mm的等边角钢组成，水平横梁AB由两根10号槽钢组成。AC杆和AB梁的材料都是Q235钢，许用应力 150 MPa。当行走小车位于A点时(小车的两个轮子之间的距离很小，小车作用在横梁上的力可以看
8、作是作用在A点的集中力)，杆和梁的自重忽略不计。,求：允许的最大起吊重量FW（包括行走小车和电动机的自重）。,解：1受力分析,因为所要求的小车在A点时所能起吊的最大重量，这种情形下，AB梁与AC两杆的两端都可以简化为铰链连接。因而，可以得到吊车的计算模型。其中AB和 AC都是二力杆，二者分别承受压缩和拉伸。,FW,解：2确定二杆的轴力,以节点A为研究对象，并设AB和AC杆的轴力均为正方向，分别为FN1和FN2。根据节点A的受力图，由平衡条件,FW,解：3 确定最大起吊重量,对于AB杆，由型钢表查得单根10号槽钢的横截面面积为12.74 cm2，注意到AB杆由两根槽钢组成，,将其代入强度条件，得
9、到,解出保证AB杆强度安全所能承受的最大起吊重量,将其代入强度条件，得到,由此解出保证AC杆强度安全所能承受的最大起吊重量,对于AC杆,解：3 确定最大起吊重量,解：确定最大起吊重量,为保证整个吊车结构的强度安全，吊车所能起吊的最大重量，应取上述FW1和FW2中较小者。于是，吊车的最大起吊重量:,FW57.6 kN,本例讨论,其中为单根槽钢的横截面面积。,根据以上分析，在最大起吊重量FW57.6 kN的情形下，显然AB杆的强度尚有富裕。因此，为了节省材料，同时还可以减轻吊车结构的重量，可以重新设计AB杆的横截面尺寸。 根据强度条件，有,其中为单根槽钢的横截面面积。,本例讨论,由型钢表可以查得，
10、5号槽钢即可满足这一要求。,这种设计实际上是一种等强度的设计，是保证构件与结构安全的前提下，最经济合理的设计。,1、杆的纵向总变形：,3、平均线应变：,2、线应变：单位长度的线变形。,一、拉压杆的变形及应变,轴向载荷作用下的变形分析与计算,拉压,4、x点处的纵向线应变：,6、x点处的横向线应变：,5、杆的横向变形：,拉压,L1,二、拉压杆的胡克定律,拉压杆的胡克定律,2、变内力拉压杆的胡克定律,内力在n 段中分别为常量时变形,“EA”称为杆的抗拉压刚度。,拉压,3、用应力表示的胡克定律,4、泊松比（或横向变形系数）,拉压,英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。
11、其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。,1、怎样画小变形放大图？,变形图严格画法，图中弧线；,求各杆的变形量Li ，如图；,变形图近似画法， 图中弧之切线。,例 小变形放大图与位移的求法。,拉压,2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系,拉压,解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：,例 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 F=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。,解：方法1：小变形放大图法 1）求钢索内力：以ABCD为对象,2) 钢索的应力和伸长分别为：,拉压,D,拉压,8
12、00,400,400,D,3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：, 讨论：静不定问题的解决方法,1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。,一、超静定问题及其处理方法,拉压,2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。,1、问题的提出 两杆桁架变成 三杆桁架，缺一个方程，无法求解,一、超静定问题及其处理方法,例 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,拉压,解：、平衡方程:,几何方程变形协
13、调方程：,物理方程弹性定律：,补充方程：由几何方程和物理方程得。,解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:,拉压,平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,拉压,3、超静定问题的方法步骤：,例 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。,几何方程,物理方程及补充方程：,解：平衡方程:,拉压,P,P,y,4FN1,FN2,P,P,y,4FN1,FN2,拉压, 解平衡方程和补充方程，
14、得:,求结构的许可载荷： 方法1:,角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2,所以在1=2 的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。,求结构的许可载荷：,另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？ 若将木的面积变为25mm，又怎样？,结构的最大载荷永远由钢控制着。,拉压,方法2:,、几何方程,解：、平衡方程:,2、静不定问题存在装配应力。,二、装配应力预应力,1、静定问题无装配应力。,拉压,如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。,A,B,C,1,2,D,A1,3,、物理方程及补充方程：, 、解平衡方程和补充方程，得:,d,拉压,A,A1,1、静定问题无温度应力。,三 、温度应力
15、,如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i ; T= T2 -T1),拉压,C,A,B,D,1,2,3,2、静不定问题存在温度应力。,拉压,C,A,B,D,1,2,3,、几何方程,解：、平衡方程:,、物理方程：,拉压,C,A,B,D,1,2,3,、补充方程,解平衡方程和补充方程，得:,拉压,a,a,例 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5时被固定,杆的上下两段的面积分别=cm2 ， =cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。(线膨胀系数 =12.5 ； 弹性模量E=200GPa),、几何方程：,解：、平衡方程：,、物
16、理方程,解平衡方程和补充方程，得:,、补充方程,、温度应力,拉压,问题 是否整个杆的应力都是均匀分布 圣维南原理（Saint-Venant）,离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。, 结论与讨论,拉压,应力分布示意图：,1 应力集中的概念:轴向拉压公式的应用条件,F,F,F,几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为应力集中（stress concentration）。,应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上的应力最大值与不考虑应力集中时的应力值(称为名义应力)之比，称为应力集中因数(factor of stress concentration)，用K表示：,