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1、逆矩阵 矩阵的秩,学习要求,理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵 可逆的充要条件，了解伴随矩阵的概念，会用 伴随矩阵求逆矩阵；,了解分块矩阵的概念及其运算，掌握分块对角 矩阵的性质；,理解矩阵的秩的概念。, 引言,对于数的运算，如果对于数 ，存在数 ，使得 ，则称数 为数 的倒数，记作 。,从而有,对于矩阵运算，是否有相似之处呢？, 逆矩阵的概念,设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称 矩阵B为方阵A的逆矩阵，记作B=A-1.逆矩阵也称为非奇异矩阵。,例如：,所以,当然, 逆矩阵存在的充分必要条件,性质,2、逆矩阵存在的充分必要条件,方阵A可逆,且,推论：如果A是n阶
2、方阵，则,推论：如果A可逆，则,注意足标的 变化,1、方阵 的伴随矩阵,为元素 的 代数余子式,例1 判断下面的矩阵是否可逆，如果可逆，则求逆矩阵,解 因为,所以矩阵A可逆,所以,（2）因为,所以，矩阵B不可逆,例2 用逆矩阵求解线性方程组,解 将方程组改写成矩阵形式，得,因为,因而有,所以，系数矩阵A可逆,解 记原矩阵方程为 AXB=C，因为,所以，矩阵 A、B 都可逆,在原方程两边同时左乘 A-1，右乘 B-1，得,例3 求解矩阵方程,逆矩阵的性质,1、逆矩阵是唯一存在的。,3、若A可逆，则A-1也可逆，且 .,4、若A可逆，数 ，则,5、若A、B为同阶可逆矩阵，则,6、若A可逆，则,7、
3、,（此性质可将定义简化）,解,例4 设三阶方阵A的伴随矩阵为 ，且 ，求,矩阵的K阶子式的概念,从矩阵A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相对位 置不变，而构成的K阶行列式，称之为矩阵A的一个K阶子式。,如,则矩阵A共有 个二阶子式。它们是：,矩阵的秩的概念,矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩， 记作 R(A) 或 r(A)。,显然，如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零， 所有高于 r 阶的子式都为零。,例如,因为,所以,如果 A 为 mn 矩阵，则 R(A) min (m,n)。 特别当 R(A)=m 时，称矩阵 A 为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩 阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。,