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1、,二重积分的计算法,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X - 型区域,则,若D为Y - 型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X - 型域或Y - 型域 ,则,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X - 型区域, 则,解法2. 将D看作Y - 型区域, 则,例2. 计算,其中D
2、是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y - 型区域 , 则,二、利用极坐标计算二重积分,对应有,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,即,设,则,特别, 对,此时若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x
3、 , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,作业,P136 1 (1), (3), (5), (10); 4; 5; 6 (1), (5) P137 9 (2); 10 (2); 11 (1), (4) ; 12(1); 13 (3)(4),第三节,内容小结,(1) 二重积分化为二次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,极坐标系情形: 若积分区域为,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,解：,原式,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,2. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,