数学分册习题分析与解析.docx

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1、数学分册（袁进）习题分析与解析第一章 整数、有理数、实数 习题（基础）1.1. 问题求解1. 解答根据质数的定义，最小质数是2，则找2的最小合数为4，正因数为1、2、4，一共3个。2. 解答设合数m=p1*p2*p3*pk，根据题干m100，因为，2是最小的质数，故设p=2，则222222=64，故k=63. 解答根据公倍数的概念可得。4. 解答23|n；222|n故322可以被n整除。5. 解答由题干知，k=12q+3（1）2k=12*2 q +6（2）6k=12*6 q +18（3）4k+6=12*4 q +18又因为18/12余6，故（1）（2）（3）均可以被12整除余6.6. 解答拆分

2、方法7. 解答拆分方法8. 解答根据有理数的概念可得9. 解答根据题干，将9进行质数分解，9=331，可设a、b、c、d分别为3、-3、1-、1，则a+b+c+d=010. 解答降幂到2，计算可得。注意在降幂过程中，尽量少出现根号11. 解答设三个质数为a,b,c，则 1/a+1/b+1/c=(bc+ca+ab)/abc=1879/3495 若(bc+ca+ab)/abc可以约分，则有三种情况 bc+ca+ab被a整除，即(bc+ca+ab)a=(bc/a)+c+b为整数， 由a,b,c为质数，知bc/a是最简分数，矛盾！ 故bc+ca+ab不能被a整除。同理，bc+ca+ab也不能被b,c整

3、除。 所以abc=3495=53233 即这三个质数为5，3，233。所以a+b+c=2411.2. 条件充分性判断12. 解答5、7均是质数，由概念可得13. 解答（1）25|n（2）27|n则n能够得出57k|n，即35k|n，其中k=1、2、335、70、105等14. 解答ab=a，b (a，b)=2160计算选项：（1）ab=2160（2）ab=2160故（1）和（2）都对15. 解答（1）m=3k+2，当k=1时，m=5，m不为偶数（2）m=6k+4=2(3k+2)，故为偶数16. 解答？（1）x=5,y=3z=1,5 = x 63 = y 41 = z 21 x - y - z

4、0错误（2）x=5,y=-3z=-1,5 = x 6-3 = y -2, 2 -y = 3-1 = z 0, 0 -z = 15 + 2 + 0 x - y - z 6 + 3 + 1,7 x - y - z 108 = x-y-z x2+1=xx2-x+1=0（x+1）（x2-x+1）=0x3+1=0同理x+1x=-1x3-1=0例2.10：记住解题思路，作为经验。1.2.2.1. 问题求解1. 解答余数定理2. 解答余数定理3. 解答因式分解4. 解答将求解公式乘以2，求出结果后，再除以25. 解答同分，注意同分的程度，只需要将前两个同分即可。6. 解答根据题干已知条件，分别得出用z表示的

5、，x和y；然后带入求解的公式。7. 解答先求m8. 解答将求解公式简化9. 解答同分，然后将题目答案带入，看两边是否相等10. 解答余数定理，注意要快捷，得出a和b的公式后，即可将答案带入验证。2.2. 条件充分性判断11. 解答余数定理前提：题干和两个条件中的除数有公因式x+1解题方法：分别将两个条件中的余式减去题干中的余式，若所得余式能够被x+1整除，则为正确答案。12. 解答余数定理13. 解答同分14. 解答设置k，来表示x、y、z15. 解答题干因式分解第三章 平均值 绝对值 习题例1.4：注意：当a、b为负数时，不存在几何平均值。如果有n个正实数，那么它们的积的n次算术根称为这n个

6、正数的几何平均数。例2.7：|x-4|-|x-3|的最小值是1。1.2.3.3.1. 问题求解1. 解答2. 解答3. 解答4. 解答5. 解答6. 解答7. 解答8. 解答假设a、b、c分别为两正一负或者两负一正。9. 解答已知 nx1x2x3xn=3 .(1); n-1x1x2x3xn-1=2 (2)nx1x2x3xn-1nxn =3 (3)（3）（2） =nxn（x1x2x3xn-1）1n(n-1) = 32 .(4)(4)两边同时n方xn（x1x2x3xn-1）1(n-1) = （32 ）nxn=（32 ）n （x1x2x3xn-1）1(n-1) =2 （32 ）n =3 （32 ）n

7、-110. 解答3.2. 条件充分性判断11. 解答12. 解答13. 解答14. 解答15. 解答第四章 方程与不等式 习题第一节的所有例题都是韦达定理的灵活使用。例2.8，好题，多看几遍自然数n加上2后是一个完全平方数；并且自然数n减去1后是一个完全平方数，则n=2.完全平方数如果n是一个整数，那么n2 就叫做完全平方数。性质：（1） 任何完全平方数的个位数字只能是：0、1、4、5、6、9中的一个，即个位数字是2、3、7、8的整数肯定不是完全平方数。（2） 偶数的平方必能被4整除。（3） 任何奇数的平方被8除余1。（4） 末位数字是5的平方数的十位数字和百位数字均是偶数。如25、225、6

8、25。（5） 若a、b都是平方数，且a=bc，则c也是完全平方数。例100=425 102=452 4=22（6） 设a是平方数，p是质数，若pa，那么p2a。例336，那么3236。（7） 完全平方数有奇数个不同是约数。例 25的约数有1、5、25 3个 36的约数有1、2、3、4、6、9、12、18、36 9个 49的约数有1、7、49 3个（8） 形如3k+2、4k+2、4k+3、5k+2、5k+3、8k+2、8k+3、8k+5、8k+6、8k+7、9k+2、9k+3、9k+5、9k+6、9k+8的数不是完全平方数。（9） 算术基本定理：对于任一整数n1，可以分解成 （k1，p1p21）

9、，如果它的标准分解式为 ，那么它的约数个数为(1+a1)(1+a2)（1+an）。 例120=22310，约数为(1+2)(1+1)(1+1)=12个。 4.4.1. 问题求解方程和不等式，灵活性不是特别强，关键是细心。要非常的细心。将所有的条件考虑清楚和充分。注意韦达定理、二次项系数、等式右侧是否为零、分式的分母不等于零之间的灵活应用。4.2. 条件充分性判断1. 解答2. 解答3. 解答4. 解答5. 解答6.第五章 数列 习题注意：在解数列的题目时，一定要注意符号的选择，根据符号进行分类讨论和计算，非常重要。例1.1解答：充分利用数列和的概念。已知前n项公式，可以根据前n项公式来推导某几

10、项之和。例1.2解答：千万注意当n=1的时候，Sn和a1的公式。例1.3解答：数列的Sn，注意，不一定是等差数列或者等比数列，只要是按照一定顺序排列而成的数列，都有Sn。例2.1解答：利用an=Sn-Sn-1；注意验证a1例2.2解答：底角标相等相加的性质。分段等差数列之和也是等差数列。例2.3解答：等差数列和公式例2.4解答：两个等差数列的首项和尾项相同。观察所求的比值只与这两个数列的公差比值有关，选择合适的等差数列公式即可得答案。例2.5解答：分段等差数列之和也是等差数列。或者使用等差数列n项和公式例2.6解答：底角标相等相加的性质例2.7解答：底角标相等相加的性质例2.8解答：好题。等差

11、数列，可以通过两个独立的等差数列的某项的比值，推出某几项之和的比值。akbk=S2k-1T2k-1例3.1解答：若an是等比数列，如果m+n=s+t，则有am*an=as*at需要注意的是，根据题干给出的条件排除掉求解得出的q例3.2解答：利用an=Sn-Sn-1；注意验证a1例3.3解答：注意求解中的符号例3.4解答：完全根据等差数列和等比数列的性质，根据题干条件排除不符合的解例3.5解答：完全根据等差数列和等比数列的定义例3.6解答：由条件分别推题干例3.7解答：若an是等比数列，则分段之和也是等比数列例3.8解答：注意等比数列中不能出现零，否则违反了等比数列的定义。5.5.1. 问题求解

12、1. 解答利用an=Sn-Sn-1；注意验证a12. 解答等差数列的性质3. 解答4. 解答等比数列的性质5. 解答等比数列的性质6. 解答等比数列和的公式即可7. 解答利用an=Sn-Sn-1；注意验证a18. 解答等差数列的性质9. 解答等比数列的性质10. 解答等差数列的性质5.2. 条件充分性判断11. 解答利用等比数列和等差数列定义直接计算12. 解答利用等比数列和等差数列定义直接计算13. 解答将分式化成整式比较简单。a-bb-c=ac = c(a-b)=a(b-c) = 2ac=b(a+c)14. 解答找反例，等比数列中的项如果为负数，则题干不成立。15. 解答利用等比数列和等差

13、数列定义直接计算第六章 应用题 习题比和比例问题？注意变化的量和变化前的量例1.1解答：注意分清哪些是变化量和变化前的量。带%号的比率问题，可以设特值为100例1.2解答：注意分清哪些是变化量和变化前的量。分子分母带%号的问题，可以设特值为100x例1.3解答：注意在应用题中反比例和正比例的概念，若a和b成反比例，则a*b=k若a和b成正比例，则a=kb例1.4解答：注意三个数进行比例的问题，a:b:c行程问题？注意使用相对速度可以使解题更加便捷，当使用相对速度时，速度慢的可以认为速度为零。例2.1解答：注意相向而行和相背而行的区别例2.2解答：注意相对速度。慢车看到的实际上是快车的长度。快车

14、看到的实际上是慢车的长度。例2.3解答：有点意思的一个题。例2.4解答：相遇问题例2.5解答：巧妙使用相对速度。则较小的速度为零，则没有距离。例2.6解答：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。工程问题？可以设置总工程量为1，然后根据所用的时间来设置工作效率。例3.1解答：工程量=工程速度工程所用时间。例3.2解答：设置总工程量为1，则工程效率可以设置为1所用总天数例3.3解答：设置总工程量为1，则工程效率可以设置为1所用总天数例3.4解答：设置总工程量为1，则工程效率可以设置为1所用总天数例3.5解答：设置总的蓄水池的量为1。6.6.1. 问题求解1. 解答可以设女生为1，简化计算。直

15、接用比率进行计算。2. 解答单价=总金额数量；降价比率=变化量原数量3. 解答整体=部分部分所占的比例4. 解答简单的比例计算5. 解答设女生为16. 解答设一份为x。7. 解答注意题目，所求的是加速后的速度。8. 解答简单计算。即可9. 解答简单计算10. 解答简单工程问题。11. 解答简单工程问题。6.2. 条件充分性判断12. 解答注意女生中的共青团员已经超过班级总人数的50%。故女生一定超过男生的人数。13. 解答比和比例的简单计算，注意变化量和原数量即可。14. 解答速度比是3：215. 解答 好题反证法（1）假设每小组完成的定额数可以唯一确定，设为X，则有6X1000，得出：X10

16、00，得出：X164.7，X不唯一，与假设矛盾，所以无法推出每小组完成的定额数唯一确定。(3)假设每小组完成的定额数可以唯一确定，设为X，则有6X1000，得出：164.7X0条件（2）设k，则a-b=xkb-c=ykc-a=zk左边相加等于零，则x+y+z等于零，则x、y、z至少一个大于零12.2. 条件充分性判断7. 解答观察1a+1b+1c，可能会有ab、ac、bc。将a+b+c平方，可得ab、ac、bc。以为（a+b+c）=0（a+b+c）2=0a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0ab+bc+ac= -12（a2+b2+c2）1a+1b+1c=ab+bc+acabc= -12（

17、a2+b2+c2）808. 解答由x2-5x+1=0可得x+1x=5（观察题干，只要有x2+1然后再加上一个一次x，则可以分解）x2+nx+1=0可得x+1x=-n然后分解因式a4+1a4=（x+1x）2-2-29. 解答设另外一个未知数k即可10. 解答增根的概念：增根数学专用术语1定义：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。2产生增根的来源：（1）分式方程（2）无理方程3分式方程曾根介绍：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程

18、，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。举一个实例X-2 16 X+2 - = X+2 X2-4 X-2解: (X-2)2-16=(X+2)2X2-4X+4-16=X2+4X+4X2-4X-X2-4X=4+16-4-8X=16X=-2但是X=-2使X+2和X2-4等于0,所以X=-2是增根分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。为了在

19、解方程时排除增根，解完整式方程后，要检验。通常是把整式方程的解代入最简公分母中，若最简公分母的值不为0，则此解是分时方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。例如: 设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.如何求增根解分式方程时什么情况下会产生增根 学生在解一个方程时，如果出现了增根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程

20、变形时粗心大意造成的。 1. 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根例如将方程x2=0的两边都乘x，变形成x（x2）=0，新方程就比原方程多出一个根x=0这是因为在方程两边都乘了一个x，这相当于用0乘以原方程的两边（0适合于新方程），而这是违反同解原理的。 2. 解分式方程时，去分母不一定会出现增根。在将一个分式方程变形时，往往先将它化为整式方程，于是在分式方程的两边都乘以各分母的最低公倍式，这样可能不违反同解原理，也可能违反同解原理，如将方程两边都乘以x，变形成x2=1，新方程有一个根x=3，它也是原方程的根。x=3不是原方程的增根，这是因为在方程两边乘的x，是一个相当于3的非零数

21、，这样做没有违反同解原理。 判别增根，只要通过把新方程的根代入去分母时在原方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。 一、分式方程无解不一定就产生增根要弄清这个问题,首先要搞清楚:什么是分式方程的增根?简言之,能使分式方程的最简公分母为零的根就是其增根。再次必须知道:增根也是根,它是原分式方程去分母后所变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了,而在这种情形下就没有增根产生。举例如下:例1.解方程: (x-1)/(x+2)=(3-x)/(2+x)+2分析:去分母得:x-1=3-x+2x+4 移项,合并同类项得:0x=8因为此方程无解,所以原分式方程

22、无解.例2.解方程: (x2 +2)/( x2 -4)=2/(x+2)-1 分析:去分母得:x2+2=2x-4-x2+4移项,合并同类项得:x2-x+1=0=1-40此方程无解原方程无解.二、分式方程产生增根时也不一定就无解如果分式方程在去分母后所变形而成的整式方程是一元一次方程,它的解恰能使最简公分母为零,这个根是增根。又由于一元一次方程的根往往只有一个,所以,这时的原分式方程无解;若所变形而成的整式方程是一元二次方程时,情形就不一样了。举例如下:例3.解方程: 1/(x-2)+3=(1-x)/(2-x) 分析:去分母得:1+3x-6=x-1 解得:x=2经检验:x=2是增根所以原方程无解.

23、例4.解方程: x/(x-1)-2/(x+1)=4/( x2 -1) 分析:去分母得:x2+x-2x+2=4解得:x1=2,x2=-1 经检验:x=2是原方程的根,x=-1是增根所以,原方程的根为x=2.因此,弄清增根与无解的区别,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义。11. 解答可求得x=-112. 解答根据整除的性质2若h(x)|g(x)且h(x)|f(x)，则h(x)|u(x)g(x)+v(x)f(x)第十三章 平均值 绝对值 （提高）例2.4解|2m-7|=|m-2|+|m-5|左边等于：|m-2+m-5|m-2|+|m-5|当且仅当(m-2)和(m-5

24、)同号的时候，等号成立。所以(m-2)(m-5)013.13.1. 条件充分性判断问题求解1. 解答2. 解答3. 解答4. 解答5. 解答6. 解答7. 解答8. 解答13.2. 问题求解9. 解答10. 解答若x、y为整数，则x+y和x-y同奇偶。11. 解答12. 解答13. 解答14. 解答15. 解答16. 解答17. 解答第十四章 不等式与方程 习题例2.3两个一元二次方程有公共解的问题，可以将这两个方程联立解方程组，如果能够求得x值，则将该值带入原一元二次方程，则可以求得相关的系数值。例2.5若条件中的数值比较简单，并且带入题干中的方程非常容易化解，则直接带入比较简单。例2.10

25、如果一元二次方程中，一个根大于a，而另外一个小于a，则可以根据抛物线的图像来判断系数的大小，如果二次方系数大于0，f(a)0例2.10，好题。题干，给定一个二元一次方程，一个根大于1，而另外一个根小于1。求二元一次方程系统变量的取值范围。利用抛物线的图像来进行求解。当二次项系数0时，将1代入方程，则方程式的值0当二次项系统0例2.13如果某个方程的根是a，则该方程的右边的多项式肯定能够整除于（x-a）。此例题的多项式比较简单，可以非常容易的进行因式分解，也比较方便。例2.15在判断一个一元二次方程的最值的时候，根据抛物线进行分析，除了判断顶点值意外，还需要考虑，从而得出最终的最值。例2.16给

26、定一元二次方程的根的区间，可以根据二次系数来判断抛物线开口方向，然后将区间的端点值带入原一元二次方程，来判断符号的情况。从而得出原一元二次方程各项的系数的取值范围。14.14.1. 条件充分性判断1. 解答韦达定理2. 解答条件比较简单，直接带入题干方程式。充分利用方程带入要求解的方程中。3. 解答利用抛物线图像4. 解答5. 解答6. 解答7. 解答8. 解答9. 解答10. 解答11.14.2. 问题求解12. 解答13. 解答14. 解答15. 解答16. 解答17. 解答18. 解答19. 解答20. 解答第十五章 数列 习题注意：在解数列的题目时，一定要注意符号的选择，根据符号进行分

27、类讨论和计算，非常重要。例2.1解答 等差数列的通项公式是一条直线，截距是a1-d，斜率是d；当d0时，只想向右上伸展当d0时，直线向右下伸展当d=0时，直线是y=a1-d定义域是自然数n例2.2解答 通过找反例可以快速解题。注意当排除了A和B后，一定要考虑联合的情况。例2.3解答 首先判断是等差数列还是等比数列，然后根据对应的求和公式进行计算即可。例2.4解答 条件比较简单，直接将其带入题干，根据等差数列的性质2y=x+z进行判断。例2.5解答 根据等差数列和等比数列的求和公式例2.6解答 等比数列求和公式例2.7解答 数列和一元二次方程结合进行考查例2.8解答 等比数列的性质例2.9解答

28、利用an=Sn-Sn-1；注意验证a1例2.10解答 利用等差数列的性质，注意，在整式相除的时候，容易丢根。 例2.11解答 等差数列求和公式的性质例2.12解答 利用an=Sn-Sn-1；注意验证a115.15.1. 条件充分性判断1. 解答等比数列与一元二次方程根的知识点考察。一定要注意等比数列中的各项均不为零；然而在一元二次方程中的一次项系数和常数项均可为零。虽然当一元二次方程有两个相等的实根的时候，b2-4ac=0可以得出b2=ac但是一定要注意，当b=0和c=0的时候也是成立的。2. 解答注意题干的要求，是唯一确定。3. 解答等比数列的性质4. 解答5. 解答15.2. 问题求解6.

29、 解答在出现整式之间的相除时，首先想到不要是约去公因式，而是仍保留整式。否则在约去公因式的时候，可能会将根给约去。7. 解答8. 解答9. 解答10. 解答11. 解答12. 解答13. 解答14. 解答第十六章 应用题 习题例2.1 比和比例问题。首先确定原有值和现有值。并设置适当的未知数。例2.2 比和比例问题。月度、年度增长率问题。涉及到的元素是：月度增长率，月产量、月增加量 1月2月3月4月5月6月月增长率X%X%X%X%X%月产量100100（1+ X%）100（1+ X%）2100（1+ X%）3100（1+ X%）4100（1+ X%）5月增加量100100 X%100（1+ X

30、%）X%100（1+ X%）2 X%100（1+ X%）3 X%100（1+ X%）4 X%例2.3 比和比例问题。首先确定原有值和现有值。并设置适当的未知数例2.4 工程问题。千万不要陷入工程问题的模式，不一定设置总工程量为1。例2.5 工程问题例2.6 工程问题。供油速度就是效率（当设置总油量为1时）例2.7 分两类问题。学费简单计算例2.8 分两类问题。卡片重量例2.9 比和比例问题。首先确定原有值和现有值。设原值为100，便于计算例2.10 简单计算问题例2.11 销售问题。涉及元素：利润=（出售价成本价）数量，考虑折扣因素。利润=（出售价折扣成本价）数量例2.12 比和比例问题。例2

31、.13 比和比例问题。例2.14 销售问题。涉及元素：利润=（出厂价成本价）数量，考虑折扣因素。利润=（出厂价折扣成本价）数量注意此处：出厂价 就是 销售价。例2.15 平均值问题。例2.16 销售问题。涉及元素：利润=（出厂价成本价）数量，考虑折扣因素。利润=（出厂价折扣成本价）数量注意此处：出厂价 就是 销售价。注意此题是：定价、售价（折扣后的定价）、出厂价（成本价）例2.17 工程问题。例2.18 工程问题。增加了晴天和雨天，并且晴天效率和雨天效率不同这些干扰因素。例2.19 行程问题。距离=速度时间。干扰元素：迟发+相遇问题。注意相遇后，先发的总时间=相遇的时间+迟发的时间例2.20

32、行程问题。干扰元素：相背而行+互换方向问题。互换方向后，距离是互换前对方行驶的距离。例2.21 行程问题。干扰元素：相对速度问题例2.22 行程问题。干扰元素：行走过程中，停留一段时间，然后又准时到达。例2.23 溶液问题。密度=溶质溶液。若原容器中为纯液，也就是说浓度为100%。若原融积为v，则第一次倒出a，第二次倒出b，第三次倒出c，最后的浓度为v-av-b(v-c)v3如果原容器中不是纯液，则最后的浓度为 原浓度v-av-b(v-c)v3例2.24 溶液问题。用公式若原容器中为纯液，也就是说浓度为100%。若原融积为v，则第一次倒出a，第二次倒出b，第三次倒出c，最后的浓度为v-av-b(v-c)v3 可以快速解答。例2.25 工程问题。干扰因素：进入量和出水量发生变化。例2.26 分两类问题。十字交叉法。例2.27 比和比例问题。例2.28 分两类问题。和浓度问题一起考察。采用十字交叉法。16.16.1. 条件充分性判断1. 分两类问题。加比的问题。平均成绩=总得分之和人数100%2. 工程问题：注意该题目出的是一个不等式。3. 比和比例问题。4. 比和比例问题。5. 分两类问题。加比的问题。注意：单价=总金额重量16.2. 问题求解6. 分两类