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1、一、平面的方程,二、点到平面的距离,三、直线的方程,7.5 平面和直线的方程,四、线面间的夹角,*五、点到直线与直线到直线的距离,*六、平面束,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法(线)向量.,(垂直于平面内的任一向量),已知平面的法向量,一、平面的方程,代入向量的坐标,1. 平面的点法式和一般式,是平面上的一定点，,平面的点法式方程,平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,解,例2.求过三点,解:,的平面 的方程.,解,由平面的点法式方程,平面的一般(式)方程,法向量,结论：平面方程是三元一次方程
2、，任意三元一次方程的图形是一平面.,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面过 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,平面平行于 轴；,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,过三点,的平面方程为,2. 平面的三点式和截距式,平面的三点式方程,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程,平面的截距式方程,解,外一点,求,例7. 设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为,点到平面的距离公式,二、点到平面的距离,确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线； 由空间的两点确定一条直线； 由空间
3、的一点和一个方向来确定一条直线.,三、空间直线的方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般(式)方程,注：表示同一直线的一般方程不唯一.,1. 直线的一般式,方向向量的定义：,2. 直线的对称式和参数式,如果一非零向量 平行于一条已知直线 L ，向量 称为直线 L 的方向向量,直线的对称式方程,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数(式)方程,消去参数 t，有,(也称为点向式方程),注： 1. 表示同一直线的对称式方程不唯一； 2. 对称式方程可转化为一般方程 ; 3. 理解为:,4. 任一条直线均可表示为对称式方程.,例8 用对称式方程及参数方程表示直线,解,因所求直线与
4、两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,解,定义,两平面法向量之间的夹角（通常取锐角）称为两平面的夹角.,1. 两平面的夹角,四、线面间的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例10 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角（通常指锐角） 称为两直线的夹角.,两直线的夹角公式,2. 两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,例11. 求以下两直线的夹角,解:,解,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,3. 直线与平面的夹角
5、,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,到直线,的距离,为,点,*五、点到直线与直线到直线的距离,1. 点到直线的距离,另法: 做一法向量,过直线L1 做平面, 则法向量为,例,证,过直线,的平面束,方程,*六、平面束,例15. 求直线,在平面,上的投影直线方程.,解：,解：,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,思考题,思考题,