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1、第五章 相交线与平行线的复习课,1、进一步巩固邻补角、对顶角的概念和性质,2、理解垂线、垂线段的概念和性质,3、掌握两条直线平行的判定和性质,一、学习目标,4、通过平移，理解图形平移变换的性质,5、能区分命题的题设和结论以及命题的真假,相交线,两条 直线 相交,两条直线被 第三条所截,一般情况,邻补角,对顶角,邻补角互补,对顶角相等,特殊,垂直,存在性和唯一性,垂线段最短,点到直线的距离,同位角、内错角、同旁内角,平行线,平行公理及其推论,平行线的判定,平行线的性质,两条平行线的距离,平移,平移的特征,命题、定理,知识构图,2. 对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中，,有公共顶点但没有
2、公共边的两个角是对顶角。 如图(2).,(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。,3. 邻补角的性质: 同角的补角相等。,4. 对顶角性质:对顶角相等。,两个特征:(1) 具有公共顶点; (2) 角的两边互为反向延长线。,n条直线相交于一点， 就有n(n-1)对对顶角。,1.互为邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角.如图(1),A,B,C,D,O,在解决与角的计算有关的问题时，经常用到代数方法。,解:设AOC=2x,则AOD=3x,所以2x+3x=180,因为AOC+AOD=180,解得x=36,所以AOC=2x=72,B
3、OD=AOC=72,答: BOD的度数是72,O,A,B,C,D,E,F,例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，,解:因为直线AB与EF相交与点O,所以AOE+BOE=180,因为AOE=36,所以BOE=180-AOE,=180-36=144,因为DOE=90,所以AOD=AOE+DOE=126,又因为BOC与AOD是对顶角,所以BOC=AOD=126,1.垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角是90时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。,2. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(2): 直线外一点与直线上
4、各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。,3.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。,4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。,5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。,垂 线,A,B,C,D,O,E,此题需要正确地应用、对顶角、邻补角、垂直的概念和性质。,O,A,D,C,B,由垂直先找到90的角，再根据角之间的关系求解。,C,理由:垂线段最短,例3:如图,要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画
5、出图来，并说明理由。,A,D,C,B,E,F,例4:你能量出C到AB的距离,B到AC的距离,A到BC的距离吗?,思考：三角形的三条垂线有什么特点？,三角形的三条垂线都交于一点；,锐角三角形的三条垂线交点在三角形的内部；,直角三角形的三条垂线交点在直角顶点；,钝角三角形的三条垂线交点在三角形的外部；,例5:你能画出ABC三点到对边的垂线吗？,在如图所示的三角形中,说出下列点到线段的距离分别是哪一条线段的长度,点C到线段AB的距离,点A到线段BC 的距离,点B到线段AC的距离,AC,CD,BC,BD是点到线段的距离,B,CD,平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。,2. 两直线的
6、位置关系: 在同一平面内，两直线的位置关系只有两种:(1)相交; (2)平行。,3. 平行线的基本性质:,(1) 平行公理(平行线的存在性和唯一性) 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。,(2) 推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。,4.同位角、内错角、同旁内角的概念,同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。,平 行,1、同位角的位置特征是:,2、内错角的位置特征是:,3、同旁内角的位置特征是:,(1)在截线的同旁，,(2)在被
7、截两直线的同方向。,(1)在截线的两旁，,(2)在被截两直线之间。,(1)在截线的同旁，,(2)在被截两直线之间。,被截线,截线,三线八角,(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。,(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。,(4)三种角判定(3种方法):,在这六种方法中，定义一般不常用。,同位角相等,两直线平行。,内错角相等,两直线平行。,同旁内角互补,两直线平行。,(3)因为ac, ab； 所以b/c,判定两直线平行的方法有三种:,1和2不是同位角，,如图中的1和2是同位角吗? 为什么?,1和2无一边共线。,1和2是同位角，,1和2有一边共线、同向,且不共顶点
8、。,练 一 练,A,C,B,D,E,1,2,答： EAC,答： DAB,答： BAC,BAE , 2,1与哪个角是同旁内角？,2与哪个角是内错角?,例1. 1与哪个角是内错角？,证明: DAC= ACB (已知),A,B,C,D,E,F, AD/ BC,(内错角相等,两直线平行), D+DFE=180(已知), AD/ EF,(同旁内角互补,两直线平行), EF/ BC,(平行于同一条直线的两条直线互相平行),例2. 已知DAC= ACB, D+DFE=1800,求证:EF/BC,平行线的判定,条件,结论,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,条件,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,结论,
9、两直线平行,夹在两平行线间的垂线段的长度,叫做两平行线间的距离。,平行线的性质,4、操作与解释：,数学课上有这样一道题：“如图，以点B为顶点,射线BC为一边，利用尺规作EBC，使得EBC=A，EB与AD一定平行吗？”。小王说“一定平行”；而小李说“不一定平行”。你更赞同谁的观点？,5、探索与思考：,有一条直的等宽纸带，按如图所示折叠时，1=30求纸带重叠部分中CAB的度数。,已知：ABCD。试探索 A、C与AEC之间的关系； B、D与BFD之间的关系。,几 何 之 旅,证明：由：1+2=180(已知),(同旁内角互补，两直线平行),1=3（对顶角相等),2=4（对顶角相等),所以3+4=180
10、,(等量代换),AB/CD .,例1. 如图 已知：1+2=180，求证：ABCD。, EFAB，CDAB （已知）, EF/CD,(垂直于同一条直线的两条直线互相平行), EFB DCB,（两直线平行，同位角相等）, EFB=GDC （已知）, DCB=GDC （等量代换）, DGBC,（内错角相等,两直线平行）, AGD=ACB,（两直线平行，同位角相等）,证明：,例3.已知 EFAB，CDAB，EFB=GDC，求证：AGD=ACB。,如图，两平面镜、的夹角为，入射光线AO平行于入 射到上，经两次反射后的反射光线OB平行于，且1=2，3=4，则角=_度,O,B,A,1,2,3,4,5,例4
11、. 两块平面镜的夹角应为多少度?,分析:由题意有OA/,OBa,且1=2，3=4，,由OA/, 1=,OBa,4=,2=5,所以3=4 =5=,因为3+4+5 =180,所以3=60,即 =60,1. 命题的概念: 判断一件事情的句子，叫做命题。 命题必须是一个完整的句子; 这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断。两者缺一不可。,2. 命题的组成: 每个命题是由题设、结论两部分组成。 题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。 命题常写成“如果，那么”的形式。或 “若，则”等形式。 真命题和假命题: 命题是一个判断,这个判断可能是正确的,也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题
12、。 真命题就是: 如果题设成立,那么结论一定成立的命题。 假命题就是: 如果题设成立时,不能保证结论总是成立的命题。,命 题,画线段AB=2cm 直角都相等; 两条直线相交，有几个交点? 如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。 相等的角都是直角;,分析: 因为(1)、(3)不是对某一件事作出判断的句子，所以(1)、(3)不是命题。 解. (1)、(3)不是命题; (2)、(4)、(5)是命题; (2)、(4)都是真命，(5)是假命题。,例1. 判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题?,A,B,C,D,分析: 不妨选择(1)与(2)作条件，由平行性质 “两直线平行，同旁内
13、角互补”可得A=C，故满足要求。由(1)与(3)也能得出(2)成立，由(2)与(3)也能得出(1)成立。,解: 如果在四边形ABCD中，AB/DC、AD/BC，那么A=C。,例2. 如图给出下列论断: (1)AB/CD (2)AD/BC (3)A=C以上，其中两个作为题设，另一个作为结论，用 “如果，那么”的形式，写出一个你认为正确的命题。,课堂练习,1、下列命题是真命题的有（ ） A、相等的角是对顶角 B、不是对顶角的角不相等 C、对顶角必相等 D、有公共顶点的角是对顶角 E 、邻补角的和一定是180度 F、互补的两个角一定是邻补角 G、两条直线相交,只要其中一个角的大小确定 了那么另外三个
14、角的大小就确定了,C、E、G,1. 平移变换的定义: 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到 一个新图形，这样的图形运动，叫做平移变换，简称平移。 平移的特征: (1)平移不改变图形的形状和大小。 (2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到 的，这两个点是对应点，对应点连结而成的线段平行且相等。 决定平移的因素是平移的方向和距离。 经过平移，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。 经过平移，对应角相等;对应线段平行且相等; 对应点所连的线段平行且相等。,平 移,站在运动着的电梯上的人 左右推动的推拉窗扇 小李荡秋千运动 躺在火车上睡觉的旅客,分析: A、B、D属平移，在一个位置
15、取两点连成一条线，在另一个位置再观察这条线段，发现是平行的，而C同样取两点连成一条线段，运动到另一位置时，可能已不平行,解: 选C,例1. 在以下生活现象中,不是平移现象的是,例2. 如图所示,ABC平移到ABC的位置,则点A的 对应点是_,点B的对应点是_，点C的对应点是_。 线段AB的对应线段是_，线段BC的对应线段是 _，线段AC的对应线段是_。BAC的对应 角是_，ABC的对应角是_，ACB的 对应角是_。ABC的平移方向是_ _，平移距离是_ _。,A,B,C,A,B,C,A,B,C,沿着射线AA,(或BB，或CC)的方向,线段AA的长,(或线段BB的长或线段CC的长,填空题,2.下
16、列生活中的物体的运动情况可以看成 平移的是( ) （1）摆动的钟摆 （2）在笔直的公路上行驶的汽车 （3）随风摆动的旗帜 （4）摇动的大绳 （5）汽车玻璃上雨刷的运动 （6）从楼梯自由落下的球（球不旋转）,小结：,1、邻补角、对顶角的概念和性质,2、垂线画法、垂线段的性质,3、平行线的判定和性质,4、命题的题设与结论以及命题的真假,5、平移的概念和平移的性质,如图，已知1 = 2，直线AC、BE交于B, A +C=1800,求证：AF/BE,证明： 1 = 2 （已知） BE/CD (内错角相等,两直线平行) 又 A +C=1800 （已知） AF/CD (同旁内角互补,两直线平行) AF/B
17、E (平行于同一条直线的两条直线互相平行),D,A,B,C,E,F,2,如图，平行线AB、CD被直线AE所截，已知1=110o，则2、3、4分别是多少度？为什么？,答： 2=110o，因为两直线平行， 内错角相等， 2 = 1,3= 110o，因为两直线平行，同位角相等， 3= 1,4= 180o110o=70o，因为两直线平行， 同旁内角互补。,如图，已知：ADBC, AEF=B,求证：ADEF。 证明： AD BC（已知） A+B180 （两直线平行，同旁内角互补） AEF=B（已知） AAEF180 （等量代换） ADEF （同旁内角互补，两条直线平行）,例2：如图，已知：AE平分BAC
18、，CE平分ACD，且ABCD。 求证：12=90 证明： ABCD（已知） BACACD=180 (两条直线平行，同旁内角互补) 又AE平分BAC，CE平分ACD（已知） 1 BAC, 2 ACD（角平分线的定义） 1+2 (BACACD)（等式的性质） 1800 900 即 12=900,例5：如图，已知：ABCD，A C， 求证：ADBC。 证明： ABCD（已知） AD=180 (两条直线平行，同旁内角互补) A C （已知） CD=180 （等量代换） ADBC （同旁内角互补，两条直线平行）,如图2-73。已知：1=2，AC平分DAB，求证：ABCD。,1,8.如图，已知：ACDE，
19、1=2，试证明ABCD.,证明： 由ACDE （已知） ACD= 2 (两直线平行，内错角相等) 1=2（已知） 1=ACD(等量代换) AB CD (内错角相等，两直线平行),巩固提高,3. 如图所示，1=2，BAC=20，ACF=80. （1）求2的度数； （2）FC与AD平行吗？为什么？,巩固提高,4.如图所示，已知1=2，3+4=180,则a与c平行吗？为什么？,巩固提高,5. 如图所示，如果1=47，2=133，D=47，那么BC与DE平行吗？AB与CD平行吗？,巩固提高,6.如图所示，已知D=A，B=FCB， 试问ED与CF平行吗？,巩固提高,7. 已知,如图，点B在AC上，BDB
20、E，1+C=90，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由.,如图，BHE与BGF互为补角，D=A求证：B=C,综合应用,观察图形中的B与C具有怎样的位置关系？ AB与CD具有怎样的位置关系时，才能说明B=C？ 由已知条件能说明AB与CD平行吗？,问题分析：,如图，BHE与BGF互为补角，D=A求证：B=C,综合应用,解：,因为BHE+ BGF=180,所以BGF= BHA（同角的补角相等）,所以AE/DF(同位角相等，两直线平行）,BHE+ BHA=180,所以A= BFD(两直线平行，同位角相等).,又因为D=A，所以BFD= D,所以AB/CD（内错角相等，两直线平行）.,所以B=C（两直线平行，内错角相等）.,如图所示，是汽车灯的灯碗的纵切面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB和OC经过灯碗反射后,沿BA和CD方向平行射出，如果 ABO=46,DCO=48，求 BOC,综合应用,思路点拨：,构造BA和CD的平行线 OE,从而构造出平行线间夹的两对内错角.,E,O,祝同学们学习进步,再见,