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1、几何模型之角平分线的基本模型课堂实录淮安市文通中学朱永桃一、 情景引入，请您欣赏师：为了造船和制造风雨亭，我们需要建立帆船和风雨亭模型为了方便扫地和吃饭，我们需要建立扫地机和叉子模型生：欣赏图片师：同样，为了方便、快速的解决几何题，我们需要建立角平分线的基本模型师：我们解读一下教学目标生：读教学目标二、教学目标解读1.掌握角平分线的基本模型2.能从复杂的图形中，识别并分解出角平分线的基本模型3.能够快速解决有关角平分线模型的压轴题师：首先我们来探究单独模型三、模型的探究模型 1： 2 内模型1. 如图在 ABC中， AE平分 BAC、CE平分 BCA，说明 E 与 B 的关系师；条件“ AE平
2、分 BAC、CE平分 BCA”，我们能获得那些信息？生：可由角平分线设未知数 1= 2=x, 3= 4=y，进行几何问题代数化师：所设的未知数与x、 y 与结论中 E 与 B 有什么关系那？00师：如何求解？生：利用二元一次方程解法，用加减消元法，或代入消元法消去 x、y 得 E=900+0.5 B师：由于 E 是三角形两个内角平分线的夹角，我们称为“2 内模型”（师板书结论）请大家总结一下：2 内模型的解题步骤生：设列解( 一 ). 设 AE平分 BAC、 CE平分 BCA设 1= 2=x, 3= 4=y（二 ). 列 ABE中 x+y+ E=1800, AB0 中 2x+2y+ 0=180
3、0,( 三 ). 解 E=900+0.5 B师：如果我把三角形“ 2 个内角平分线”的位置改为“ 2 个外角平分线” ，类比刚才的方法，你还能解决吗？（展示课件）模型 2： 2 外模型2. 如图，在 ABC中， AE 平分 PAC、 CE平分 NCA ，说明 E 与 B 的关系生：上黑板列方程，写答案，师：巡视全班，要求一起参与，列方程，写答案，同时让生解释为什么这样列方程( 一 ). 设 AE平分 PAC、 CE平分 NCA设 1= 2=x, 3=4=y0000 ABC中 180 -2x+180 -2y+ B=180 ,( 三 ). 解 E=900-0.5 B师：如果我把三角形“ 2 个外角
4、平分线”的位置改为“ 1 个内角平分线和一个外角平分线” ，类比刚才的方法，你还能解决吗？（展示课件）模型 3：一内一外模型如图在 ABC中， AE 平分 BAC、CE平分 BCQ ， 说明 E 与 B 的关系生：上黑板列方程，写答案，师：巡视全班，要求一起参与，列方程，写答案，同时让生解释为什么这样列方程( 一 ). 设 AE平分 BAC、 CE平分 BCQ设 1= 2=x, 3= 4=y( 二 ). 列 ACE的外角 y=x+ E , ABC的外角 2y=2x+ B ( 三 ). 解 E=0.5 B师：下面我来检验一下，你学会了没有？你能否快速的识别模型？四、模型识别1.如图 1、在 AB
5、C中，若 CD平分 ACE,BD平分 ABC, A=400, 则 D=_ _ .2.如图 2、在 ABC中， BE、 CF都是 ABC的角平分线 , BDC=110, 则 A=。3. 如图 3, 在 ABC中 , B=40，三角形的外角 DAC和 ACF的平分线交于点 E，则 AEC=。图 1图 2图 3生：上黑板写答案，然后学生批阅、订正、交流错因师：请谈谈你是如何快速的识别模型的？生：第 1 题由条件“点 D 是 ABC 的一条内角平分线和一条外角平分线的交点”可得，它是“一内一外模型”第 2 题由条件“点 D 是 ABC的两个内角平分线的交点”可得，它是“两内模型”第 3 题由条件“点
6、E 是 ABC的两个外角平分线的交点”可得，它是“两外模型”例 1.（1）如图 1, MON=60 0 ，点 A. B 分别在射线 OM 、 ON 上移动， AOB 的角平分线AC 与 BD 交于点 P.试问：随着点 A. B 位置的变化， APB 的大小是否会变化 ?若保持不变，请求出 APB 的度数。若发生变化，求出变化范围。（ 2）如图 2 画两条相交的直线 OX 、OY,使 XOY=60 0，在射线 OX 、OY 上分别再任意取 A. B 两点，作 ABY 的平分线 BD ，BD 的反向延长线交 OAB 的平分线于点 C，随着点 A. B 位置的变化， C 的大小是否会变化 ?若保持不
7、变，请求出 C 的度数。若发生变化，求出变化范围。师：在动态的背景下，你还能快速的识别吗？第1 问是什么模型那？请说明理由生：由条件“点P 是 ABC的两个内角平分线的交点”可得，它是“两内模型”0100 APB不变， APB=90+2=120师：在动态的背景下，把角平分线的位置调整一下，你还能快速的识别吗？请说明理由生：由条件“点C 是 ABC的一个内角平分和一个外角的交点”可得，它是“一内一外模型”， C 的大小不变， C=1 A0B2师：你能谈谈如何列方程吗？生：口诉师：这两个问本质上就是把基本模型进行旋转变换、 同时设置了质点的运动，化动为静，以静制动，就可以识别模型师：通过刚才一组模
8、型的识别，你认为应该如何解决这一类题目？达到“学1 题、会 1 类”的高度，生：数学模型教学法：根据条件找模型、套模型、写出结果（设列解）师：下面我们对模型进行拓展，放到四边形中，你还能快速的转化成角平分线的基本模型吗？师：我把模型组合一下，你能快速的分解出基本模型吗？五、模型组合例 2.如图 ABC, BAC =600, ABC 的角平分线与 ACB 的外角 ACD 的平分线交于 A1，E 为 BA 延长线上一动点，连EC， AEC 与 ACE 的角平分线交于Q，则 A =，1 Q =，自我尝试 ：如图 ABC， BAC=800, ACB=60 0,AD 平分 BAC ,CD平分 BCN,B
9、D 平分CBM ，则 BDC=_. 1=_ _.生：由条件“A1 是 ABC,的一个内角平分线和一个外角平分线的交点”，得到 A1 是一内10一外模型，A1= BAC=30由条件“ Q 是 AEC,的两个内角平分交点” ，得到 Q 是两内模型， Q=90 0+ 1 EAC=120 02师：说得很好，掌声送给他，下师：总结一下，遇到这种复杂的几何题，我们应该怎么解决？生：根据已知条件分解出一个一个我们熟悉的基本模型师：下面我们能力再提升一下，请看组合模型能力再提升： 如图，直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O，点 A 在直线 PQ 上运动，点 B 在直线 MN 上运动 ,延长 BA 至 G，
10、已知 BAO 、 OAG 的角平分线与 BOQ 的角平分线及延长线相交于 E. F，在 AEF 中，如果有一个角是另一个角的3 倍，试求 ABO 的度数。生：上黑板列方程， AB0=x, F=90-0.5x, E=0.5x, EAF=9001. E=3 F,0.5x=3(90-0.5x) X=13502. F=3 E900-0.5x=3 0.5x X=4503. EAF=3 F, 900=3(90 0-0.5x)X=12003. EAF=3 F, 900=30.5xX=600直线 MN 与直线 PQ 垂直0 X=450 或 600师：请解释这样的列方程的原因？生：条件“ BAO 、 OAG 的
11、角平分线与 BOQ 的角平分线及延长线相交于 E. F”，就应该分解出常见的 2 个基本模型“ 2外”： F=900- 1B ；“一内一外” ： E=1B 再设 AB0=x, 则 F=90-0.5x, 022E=0.5x,根据条件“一个角是另一个角的3 倍”，分类讨论、列方程即可 EAF=90,及时总结，形成通法： 模型组合的本质就是把几个基本模型进行组合，我们要熟悉数学基本模型的条件，分解出基本模型，然后套用基本模型，最后写出结果，进而用一题的模型辐射一类六、自我总结1. 谈谈本节课你有什么收获和困惑？2.我们还学习了那些数学思想和方法？3.谈谈数学模型题海无边无际，用有限的模型去解决无限的
12、题目，以达到“学一题、得一模型、会一类的目的，用一题辐射一类，使学生不用盲目的战题海，真正为学生减负，达到想学、爱学、轻松学、快乐学，并且学会、学好、学活的境界！谈谈数学思想方法什么是数学思想，通俗的说就是将具体的数学知识都忘记后剩下的东西。掌握数学思想方法是数学的最核心素养，数学思想方法的获益是终生的，只有掌握了数学思想方法，才能抓住数学的本质，触摸到数学的灵魂！”七模型拓展的探究1.如图1 四边形AODC中 ， AE 、 0E 分别是CAO和 DAO角的平分线，说明E 与 C、 D的关系2.如图 2 四边形 AODC 中 ，AE 、0E 分别是 CAO 和 DAO 的外角的平分线， 说明 E 与 C、 D 的关系3.如图 3 四边形 AODC 中 ，AE 是 CAO 角平分线、 0E 是 DAO 外角的平分线， 说明E 与 C、 D 的关系生：举手发言，延长AC ， DO，第 1 问转化为2 内，第 2 问转化为 2 外，第 3 问转化为一内一外，师：请你快速口答E 与 B 的关系？生：回答师：那结论中要求的C、 D 与 B 又有什么关系那？生：在 ACD 中 1800- C+1800- D + B=180 0, B= C+ D-180 0师：同样，还可以拓展成五边形、六边形、甚至n 边形，我们都可以通过添加辅助线转化为三角形角平分线的基本模型，然后套用模型，写结果