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1、,二阶线性微分方程解的结构,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,n阶线性微分方程,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,下面考虑二阶线性微分方程的解,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,证毕,二阶线性齐次方程解的解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如, 对于二阶齐次微分线性方程,是它的一个的解,也是它的一个解,并不是通解,
2、但是,因为,是它的另一个的解,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,必需全为 0 ,则,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,结论一：
3、二阶齐次线性微分方程的求解问题转化为 求两个线性无关的特解的问题,三、非齐次线性微分方程解的结构 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 3,的特解,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),推论1： 非齐次线性微分方程的解与其对应的齐次微分方程 的解之和仍然是非齐次线性微分方程的解,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 4.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,
4、结论二： 二阶非齐次线性微分方程的求解问题转化为 求对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分 方程的一个特解的问题,*一般求解方法： 1：通过变量替换降阶降阶法 2：通过对齐次方程的同解进行常数变易求 非齐次方程的通解常数变易法,上述关于二阶线性微分方程可推广至n阶,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,例3.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,作业 P 312 1（口头）；2；3；4,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,