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1、,二阶线性微分方程,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,一、二阶线性微分方程举例,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2) 强迫振动情况.,
2、若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,求讨论上抛高度h与时间t的关系。,例2.,空气的阻力与物体运动的速度成正比（比例系数为k）。,解: 如右图建立坐标轴（h轴），正向朝上。,设物体在时刻 t的高度为 h(t) 。在时刻t受到两个,由牛顿第二定律知，,力的作用，其一为重力-mg，其二为空气阻力-kv。,由导数的物理意义知：,以初速度 垂直上抛一质量为m的物体，如果,从而得到h(t)满足的方程：,n 阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,(二阶线性微分方程),例1,例2, 可归结为同一形式:,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程
3、特解,齐次方程通解Y,证毕,二、二阶线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I
4、上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,(证明略),线性无关,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,则,三、二阶线性非齐次方程解的结构,的两个特解,则,定理 3.,是相应的齐次方程,设 是二阶非齐次方程,的一个特解。,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定
5、理 4.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,