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1、知识纲要 集合的概念、 集合的包含关系、 集合的运算 绝对值不等式的解法， 一元二次不等式的解法 命题、四种命题、 四种命题间的关系 充分条件与必要条件,（一）要注意理解、正确运用集合概念,例1 已知集合M=y|y=x21,xR, N=y|y=x1,xR，则MN=（ ） A(0，1),（1，2） B（0，1）,（1，2） Cy|y=1,或y=2 Dy|y1,分析：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x21(xR)，y=x1(xR)的值域，求MN即求两函数值域的交集,解：M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yR
2、MN=y|y1y|(yR)=y|y1, 应选D,例2 若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，则PQ等于-（ ） APBQ CD.不知道,分析：类似上题知P集合是y=x2（xR）的值域集合，同样Q集合是y= x21（xR）的值域集合，这样PQ意义就明确了,解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x21的值域， 由P=y|y0,Q=y|y1，知Q P，即PQ=Q 应选B.,例3 若P=y|y=x2,xR，Q=(x,y)|y=x2,xR， 则必有-（ ） (A)PQ= (B)P Q (C)P=Q (D)P Q,分析：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是
3、由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,xR相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,xR上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物,解：正确解法应为： P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此PQ= 应选A,例4给出下面各种关系0 0;00; aa;=0;0;0; . 其中正确的是（ ） AB C D,分析:依次判断每个关系是否正确,可运用 排除法筛选。,解：应为00；正确，排除B， 再看哪个正确，由于是0的 真子集，因此正确 应选A,（二）要充分注意集合元素的互异性,例5若A=2，4,a32a2a7,B=1,a1, a22a
4、2, (a23a8),a3a23a7，且AB=2，5，试求实数a的值,解：AB=2，5， a32a2a7=5,由此求得a=2 或a=1至此不少学生认为大功告成,事实上,这只是保证 A=2,4,5,集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异 性,有待于进一步考查 当a=1时,a22a2=1与元素的互异性相违背,故应舍a=1 当a=1时,B=1,0,5,2,4,与AB=2，5相矛盾,故又舍 去a=1 当a=2时,A=2，4，5,B=1,3,2,5,25,此时AB=2，5 满足题设 故a=2为所求,例6已知集合A=a,ab,a2b， B=a,ac,ac2.若A=B，求c的值,分析：要解决c的求值问题
5、，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式,解：分两种情况进行讨论 (1)若ab=ac且a2b=ac2,消去b得:aac22ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0 c22c1=0，即c=1,但c=1时，B中的三元素又相同,此时无解 (2)若ab=ac2且a2b=ac,消去b得:2ac2aca=0,a0,2c2c1=0,即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=1/2,例7 已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2axa 1=0，且AB=A，则a的值为_,分析：由AB=A 而推出B有四种可能，
6、进而求出a的值,解： AB=A， A=1，2, B=或B=1或B=2或B=1，2 若B=,则令0得aR且a2,把x=1代入方程得aR，把x=2代入方程得a=3， 综上a的值为2或3,(三)要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法,例8 设集合A=a|a=3n2,nZ，集合B=b|b=3k 1,kZ,试判断集合A、B的关系,解：任设aA，则a=3n2=3(n1)1(nZ)， nZ,n1Z aB,故 又任设 bB,则 b=3k1=3(k1)2(kZ), kZ,k1Z bA，故 由、知A=B,点评:这里说明aB或bA的过程中,关键是先要 变(或凑)出形式,然后再推理,例9 设集合A=a|a=n21,n
7、N*，集合B= b|b=k24k5,kN*，试证：A B,证明：任设aA, 则a=n21=(n2)24(n2)5(nN*), nN*， n2N* aB故 显然， ， 而由 B=b|b=k24k5,kN* =b|b=(k2)21,kN* 知1B，于是AB 由、 得A B,（四）、要注意空集的特殊性和特殊作用,例10 已知A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0 且AB=A，求实数a组成的集合C,解：由x23x2=0得x=1或2 当x=1时,a=2; 当x=2时，a=1 这个结果是不完整的，上述解答只注意 了B为非空集合，实际上，B=时，仍 满足AB=A，当a=0时，B=,符合题 设应补上,故正
8、确答案为C=0，1，2,例11 已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR， 若AR=，则实数m的取值范围是_,解：由AR=又方程x2(m2)x1=0无零根， 所以该方程只有两个负根或无实数根，,即: 或=(m2)240,解得m0或44,例12已知集合A=x|x23x100,集合B= x|p1x2p1.若B A,求实数p的取值范围,解:当B时,即p12p1得p2. 由B A得：2p1且2p15. 得:3p3. 2p3. 当B=时，即p12p1p2 综上所述,知:p3,(五)要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性,例13 已知集合 有唯一元素，用列举 法表示a的值构成的集合A,解：集合A表示方
9、程 有等根, 即方程x2xa2=0 有等根时a的取值集合 方程有等根的条件是=(1)24(a2)=0, 解得a= 因此A= ,以上解法对吗？不难看出，将B有唯一元素译为方程有等根时a的取值集合是不准确的转译时忽视了x220，即|x| 这一隐含条件,解：正确解法是:方程等价于混合组() 1当(2)有等根时，解得a= ，此时 ，适合(3)； 2当(2)有两个不等的实根时，由0可得a 当 为的增根时，由(2)得 ； 当 为的增根时，由(2)得 ；,例14设a,bR,A=(x,y)|x=n,y=nab,nZ,B=(x,y) |x=m,y=3(m25),mZ,C=(x,y)|x2y2144是平面 xoy
10、内的点集，问是否存在实数a和b使得 (1)AB,(2)(a,b)C同时成立？,解:AB 成立.即 nab=3n215 又(a,b)C a2b2144若满足和的a,b存在, 则关于a,b的方程组 有解从而在直角坐标系aob中,直线L :nab3(n25)=0与a2b2144表示的区域应有公共点.于是圆心O(0，0)到直线L的距离不大于半径12， 即 n2=3而nZ,这是不可能的.故满足的a,b不存在,（六）要注意数形结合解集合问题,例15设全集U=x|0x10,xN*,若AB=3, ACUB=1,5,7,CUACUB=9,求A、B,分析：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图， 用填图的方法来得简
11、捷，由图不难看出,解答：A=1，3，5，7，B=2，3，4，6，8,例16 集合A=x|x25x60,B=x|x23x 0，求AB和AB,解: A=x|x25x60=x|6x1， B=x|x23x0=x|x0 如右图所示，,AB=x|6x1x|x0=R， AB=x|6x1x|x0 =x|6x3，或0x1,例17 设A=x|21,B=x|x2ax b0,已知AB=x|x2,AB=x|1x3， 试求a、b的值,解:如图所示,设想集合B所 表示的范围在数轴上移动，,显然当且仅当B覆盖住集合x|12，且AB=x|1x3 根据二次不等式与二次方程的关系,可知1与3是方程x2axb=0的两根， a=(13
12、)=2， b=(1)3=3,点评：类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合的方法,会得到直观、明了的解题效果,（七）要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用,例18 已知集合A=x|x24mx2m6=0,xR， 若AR，求实数m的取值范围,分析：集合A是方程x24mx2m6=0 的实数解组成的非空集合，AR意味着方程的根有:（1）两负根，（2）一负根一零根,（3）一负根一正根三种情况，分别求解较麻烦，上述三种情况虽可概括为方程的较小根,但在目前的知识范围内求解存在困难,如果考虑题设 AR的反面：AR=，则可先求方程的两根x1、x2均非负时m的取值范围用补集思想求解
13、尤为简便,解:设全集U=m|=(4m)24(2m6)0=m|m1或m 若方程x24mx2m6=0的二根为x1、 x2均非负， 因此，m|m 关于U补集m|m1即为所求,例19 命题甲:方程x2mx1=0有两个相异负根;命题乙:方程4x24(m2)x1=0无实根,这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围,分析:使命题甲成立的m的集合为A,使命题 乙成立的m的集合为B，有且只有一个 命题成立是求ACRB与CRAB的并集,解:使命题甲成立的条件是： 集合A=m|m2 使命题乙成立的条件是:2=16(m2)2162m|m1或m3=m|m3 若为(2),则有：BCRA=m|1m3m|m2=m|1m2 综合(1)(2)可知所求m的取值范围是m|1m2，或m3,