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1、第三章 极限与连续练习题3.11观察下列数列的变化趋势若极限存在，求出该极限（1）； （2）； （3）解：（1）当时，（2）当时，没有极限（3）当时，2判断下列命题是否真命题如果不真，指出错误（1）若存在，则有意义；（2）若和都存在，则极限一定存在；（3）如果，那么；（4）如果，那么不存在解：（1）假命题。存在与无关；（2）假命题。若和都存在且相等，则极限存在；（3）假命题。如果，那么；（4）真命题。3求下列函数在处的左右极限，并指出当时，函数的极限是否存在（1）； （2）解：（1），故 （2），故 不存在练习题3.21判断下列各命题是否为真命题如果不是，指出错在哪里（1）无穷大必须是正数；
2、（2）是无穷小；（3）任意多个无穷小的和仍是无穷小； （4）无穷小的倒数是无穷大解：都是假命题2利用无穷小的性质求下列极限（1）； （2）；（3）； （4）解：（1），因为当时，为无穷小量，而，所以（2）因为当时，为无穷小量，而，所以（3）因为当时，为无穷小量，而，所以 （4）因为当时，为无穷小量，也为无穷小量，所以3下列函数在什么条件下是无穷小?在什么条件下是无穷大?为什么?（1）； （2）解：（1），故当时，为无穷大量；当时，为无穷小量（2），故当时，为无穷大量；当时，为无穷小量练习题3.3求下列函数的极限:1； 2；3； 4；5； 6；7； 8；9； 10；11； 12；13； 14解：
3、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）练习题3.4计算下列极限:（1）； （2），；（3）； （4）；（5）； （6）(为正整数)解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（为正整数）练习题3.51当时，无穷小和(1)，2 是否同阶?是否等价?解：（1），故当时，与是同阶无穷小，但不等价；（2），故当时，与是等价无穷小2利用等价无穷小的性质求下列极限:（1）； （2）；（3）； （4）解：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则练习题3.61 讨论函数，在处的连续性解：，故在点连续2求下列函数的间断
4、点，并判断其类型:（1）； （2）解：（1）的定义域为，在处，故 是的第二类间断点；（2），故是的跳跃间断点3设，试问为何值时函数在处连续?解：，当时，函数在处连续练习题3.71求下列极限:（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）；（2）；（3）；（4）2 证明：方程至少有一个小于的正根解：令，在上连续，且，由根的存在定理，至少存在一点，使，即方程至少有一个小于的正根习题三1判断正误：（1）若函数在处极限存在，则在处连续（2）分段函数必有间断点（3）与是时的等价无穷小（4）无界函数不一定是无穷大量解：（1）错（2）错（3）对（4）对2设 求，解：；，故；3求下列极限（1）； （2）；（3）
5、； （4）；（5）； （6）；（7）； （7）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14） 解：（1）因为当时，为无穷小量，为有界变量，故；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）因为 ，所以 ；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）4试证:当时，与均为无穷小，并对这两个无穷小进行比较解：因为，故当时，与均为无穷小量又，所以当时，与是同阶无穷小5讨论下列函数的连续性如有间断点，指出其类型（1）； （2） ；解：（1）函数 在上连续，在点无定义，故是函数的间断点因为，所以是函数的可去间断点不存在，所以是函数的无穷间断点（2）函数在上连续，在处，因为，并且，所以，从而是函数的可去间断点6设求的间断点，并说明间断点所属类型解：因为 ，故是函数的第一类间断点，是跳跃间断点又，故 是函数的第二类间断点7设要使在内连续，应当怎样选择数?解：，当时，,所以在处连续，从而在内连续11