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1、追及和相遇（一）,问题一：两物体能追及的主要条件是什么？,能追及的主要条件： 两物体在追及过程中在同一时刻处于 同一位置。,问题二：解决追及问题的关键在哪？,关键：位移关系、时间关系、速度关系,1：位移关系,追及到时：前者位移+两物起始距离=后者位移,2：时间关系,同时出发：两物体运动时间相同。,思考：两物体在同一直线上同向作匀速 运动，则两者之间距离如何变化?,3：速度关系,结论： 当前者速度等于后者时，两者距离不变。 当前者速度大于后者时，两者距离增大。 当前者速度小于后者时，两者距离减小。,思考：那匀变速直线运动呢？结论 还成立吗？,结论依然成立： 当前者速度等于后者时，两者距离不变。
2、当前者速度大于后者时，两者距离增大。 当前者速度小于后者时，两者距离减小。,问题三：解决追及问题的突破口在哪？,突破口：研究两者速度相等时的情况,在追及过程中两物体速度相等时， 是能否追上或两者间距离有极值 的临界条件。,常见题型一： 匀加速(速度小)直线运动追及匀速(速度大)直线运动,开始两者距离增加，直到两者速度相等，然后两者距离开始减小，直到相遇，最后距离一直增加。,即能追及上且只能相遇一次，两者之间在追上前的最大距离出现在两者速度相等时。,例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加 速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过， （1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远
3、？此时距离是多少？ （2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？,例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？,解法一：物理分析法,(1)解：当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。 由上述分析可知当两车之间的距离最大时有：,v汽atv自, tv自 /a6/32s,x自v自t x汽 at2/2,xmx自x汽,xmv自tat2/262322/26m,例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启
4、动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？,解法二：数学极值法,(1)解：设经过时间t 汽车和自行车之间的距离x,xx自x汽v自tat2/2 6t3t2/2,二次函数求极值的条件可知： 当 tb/2a6/32s 时， 两车之间的距离有极大值， 且 xm62322/26m,(1)解：当 tt0 时矩形与三角形的面积之差最大。,xm6t0/2 （1） 因为汽车的速度图线的斜率等于汽车的加速度大小 a6/t0 t06/a6/32s （2） 由上面（1）、（2）两式可得
5、xm6m,例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？,解法三：图像法,(1)解：选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，汽车相对此参照物(自行车)的各个物理量的分别为： 已知：v相初6m/s，a相3m/s2， v相末0 由公式： 2a相x相v相末2v相初2 得 x相(v相末2v相初2) /2a相6m 由： v相末 v相初+ a相t 得 t = (v相末v相初) /a相=2s,例1：一小汽车从静止开始以3
6、m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？,解法四：相对运动法,例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？, v自t at2/2 6t3t2/2 t4s v汽at 34 12m/s,(2)解：汽车追上自行车时两者位移相等,常见题型二：匀速直线运动追及匀加速直线运动 （两者
7、相距一定距离，开始时匀速运动的速度大）,开始两者距离减小，直到两者速度相等，然后两者距离开始增加。所以：,到达同一位置前，速度相等，,则追不上。,到达同一位置时，速度相等，,则只能相遇一次。,到达同一位置时， v加 v匀，,则相遇两次。,例2、车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。,解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t, 当人追上车时，两者之间的位移关系为： x人x0 x车 即： v人tx0at2/2 由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。 代入数据并整理得： t212
8、t500 b24ac122450560 所以，人追不上车。,在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。 at6 t6s 在这段时间里，人、车的位移分别为： x人v人t6636m x车at2/2162/218m xx0 x车x人2518367m,题型三：速度大的匀减速直线运动追速度小的匀速运动：,当两者速度相等时，若追者仍未追上被追者，则永远追不上，此时两者有最小距离。,若追上时，两者速度刚好相等，则称恰能相遇，也是两者避免碰撞的临界条件。,若追上时，追者速度仍大于被追者的速度，（若不出
9、现碰撞）则先前的被追者还有一次追上先前的追者的机会，其间速度相等时，两者相距最远。,解答：设经时间t追上。依题意： v甲tat2/2Lv乙t 15tt2/2329t t16s t4s (舍去) 甲车刹车后经16s追上乙车,例2、甲车在前以15 m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9 m/s的速度匀速行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？,解答：甲车停止后乙再追上甲。 甲车刹车的位移 x甲v02/2a152/2112.5m 乙车的总位移 x乙x甲32144.5m tx乙/v乙144.5/916.06s,例2、甲车在前以15 m/s的速度匀速行驶，
10、乙车在后以9 m/s的速度匀速行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？,A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA4 m/s，B车的速度vB10 m/s。当B车运动至A车前方7 m处时，B车以a2 m/s2的加速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时，则A车追上B车需要多长时间？在A车追上B车之前，二者之间的最大距离是多少？,解答：设经时间t追上。依题意： vBtat2/2x0vAt 10tt274t t7s t1s (舍去) A车刹车后经7s追上乙车,解答：B车停止后A车再追上B车。 B车刹车的位移 xBvB2/2a102/425m
11、A车的总位移 xAxB732m txA/vA32/48s,vAvBat T6/23s xx0 xBxA 7211216m,A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA4 m/s，B车的速度vB10 m/s。当B车运动至A车前方7 m处时，B车以a2 m/s2的加速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时，则A车追上B车需要多长时间？在A车追上B车之前，二者之间的最大距离是多少？,题型四：速度大的匀速运动追速度小的匀减速直线运动,两者距离一直变小，一定能追上。要注意追上时，匀减速运动的速度是否为零。,题型四：匀变速运动追匀变速运动,总结：,解答追及，相遇问题时，首先根据速度的大小关系判断两者的
12、距离如何变化，把整个运动过程分析清楚，再注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。,（2）常用方法 1、解析法 2、临界状态分析法 3、图像法 4、相对运动法,甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v116m/s的初速度，a12m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v24m/s的速度，a21m/s2的加速度作匀加速直线运动，求两车相遇前两车相距最大距离和相遇时两车运动的时间。,解法一：当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t1，两车速度为v 对甲车： vv1a1t1 对乙车： vv2a2t1 两式联立得 t1(v1v2)/(a2a
13、1)4s 此时两车相距 xx1x2(v1t1a1t12/2)(v2t1a2t12/2)24m 当乙车追上甲车时，两车位移均为x，运动时间为t，则： v1ta1t2/2v2t2 a2t2/2 得 t8s 或 t0(出发时刻，舍去。),解法二： 甲车位移 x1v1ta1t2/2 乙车位移 x2v2ta2t2/2 某一时刻两车相距为x x x1x2 (v1ta1t2/2)(v2ta2t2/2) 12t3t2/2 当tb/2a 时，即 t4s 时，两车相距最远 x124342/224m 当两车相遇时，x0，即12t3t2/20 t8s 或 t0(舍去),一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前
14、方同一轨道上距车为x处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？,方法1：设两车经过时间t相遇，则 v1tat2/2v2tx 化简得：at22(v1v2)t2x0 当 4(v1 v2)2 8ax0 即a(v1v2)2/2x时，t无解，即两车不相撞.,方法2：当两车速度相等时，恰好相遇，是两车相撞的临界情况，则 v1atv2 v1tat2/2v2tx 解得 a(v1v2)2/2x 为使两车不相撞，应使 a(v1v2)2/2x,一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为x处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v
15、2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？,方法3: 后面的车相对前面的车做匀减速运动，初状态相对速度为(v1v2)，当两车速度相等时，相对速度为零， 根据 vt2v022ax ，为使两车不相撞，应有 (v1v2)2 2ax a (v1v2)2/2x,一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为x处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？,1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a120m/s2，B车晚3s启动，加速度a230m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B
16、相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？,解一、两车速度相等时，相距最远。 a1ta2(t3) 得 t9s xa1t2/2a2(t3)2/2270m,解二、 xa1t2/2a2(t3)2/2 5t290t135 5(t218t27) 二次项系数为负，有极大值。 x5(t9)2270 当t9s时，x有极大值，x270m,1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a120m/s2，B车晚3s启动，加速度a230m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？,解三、用图象法。 作出vt图象。由图可知， 在t9s时相遇。 x即为图中斜三角
17、形的面积。 x3180/2270m,1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a120m/s2，B车晚3s启动，加速度a230m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？,2、A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v210m/s，A车在后，车速v120m/s，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。,解一：分析法。 对A： x1v1tat2/2 v2v1at 对B： x2v2t 且 x1x2 100m 由、得 10020tat2/210t10tat2/2 由、得 t20s
18、a0.5m/s2,解二、利用平均速度公式。 x1 (v1v2)t/215t x2v2t10t x1x215t10t100 t20s 由v2v1at得 a0.5m/s2,2、A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v210m/s，A车在后，车速v120m/s，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。,解三、作出vt图。 图中三角形面积表示A车车速由20m/s到10m/s时，A比B多之的位移，即x1x2 100m。 10010t/2 t20s a0.5m/s2,2、A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v210m/s，A
19、车在后，车速v120m/s，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。,解四、以B车为参照物，用相对运动求解。 A相对于B车的初速度为10m/s，A以a减速，行驶100m后“停下”，跟B相遇而不相撞。 vt2v022ax 0102 2a100 a 0.5m/s2 v2v1at 得 t20s,2、A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v210m/s，A车在后，车速v120m/s，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。,3、甲、乙两车相距x，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为
20、零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系.,分析 由于两车同时同向运动，故有 v甲v0a2t v乙a1t,当a1a2时，可得两车在运动过程中始终有v甲v乙。由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次.,当a1a2时，可得v甲v0v乙，同样有v甲v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次.,当a1a2时，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化。最初v甲 v乙；随着时间的推移，有v甲v乙，接下来则有v甲v乙。 若在v甲v乙之前，
21、甲车还没有超过乙车，随后由于v甲v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇； 若在v甲v乙 时，两车刚好相遇，随后v甲v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次； 若在v甲v乙前，甲车已超过乙车，即已相遇过一次，随后由于v甲v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次.,当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为图中的和，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为x，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次.,当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为图中的和，两车也只能相遇一次.,当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为图中的和，其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移，划虚斜线部分的面积表示乙车比甲车多发生的位移。若划实斜线部分的面积小于x，说明甲车追不上乙车，则不能相遇；若划实斜线部分的面积等于x，说明甲车刚追上乙车又被反超。则相遇一次；,若划实斜线部分的面积大于x。说明两车先后相遇两次。,