傅氏变换习题解答.pdf

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1、傅氏变换习题解答 习题一 1试证：若满足傅氏积分定理的条件，则有 ( )tf 00 ( )( )cos( )sinf tatdbtd + =+ 其中 1 ( )( )cos, 1 ( )( )sin af bf d d + + = = 证 ( )( )( ) jj 11 (cosjsin)cos 22 t f tfed edf td d + = ( )( ) ( ) 0 00 11 +coscos(cosjsin)jsin 2 1 +( )cos( )sinsinsin fdtdftd d atdbtdfd d t + + = =+ 因，。 ( )sincosftd d + 为 的奇函数( )

2、coscosftd d + 为 的偶函数 2试证：若满足傅氏积分定理的条件，当( )tf( )tf为奇函数时，则有 ( )( )()dtbtf + = 0 sin 其中 ( )( )() 0 2 sinbfd + = 当为偶函数时，则有 ( )tf ( )( )()dtatfcos 0 + = 其中 ( )( )() 0 2 cosafd + = 证 设是奇函数 ( )tf ( )( ) jj 1 2 t f tfed ed + = ( )() j 1 cosjsin 2 t fd ed + = ( ) j 0 1 sin j t fd ed + = ( ) j 1 2j t bed + =

3、。 （( )b是的奇函数） ( )()( ) 0 1 cosjsinsin 2j btt dbtd + =+= 设是偶函数 ( )tf ( )( ) jj 1 2 t f tfed ed + = ( )() j 1 cosjsin 2 t fd ed + = ( )( ) j 0 1 cos 2 t aedatd + = ( )a是的偶函数。 （注也可由 1 题推证 2 题） 3在题 2 中，设，试算出( ) 1,| | 1 0,| | 1 t f t t = ( )a，并推证 0 ,| | 1 2 sincos ,| | 1 4 0,| | 1 t td t t + 证 是偶函数 ( )tf

4、 ( )( ) = + = sin2 0 1 sin2 cos 0 2t tdttfa ( )( ) + = + = d t tdat cossin 0 2 cos 0 f 所以 ( ) 0 | | 1 2 sincos0 1 | | 1 2224 0| | t t df tt t + 1 =。 习题二 1 求矩形脉冲函数 ,0 ( ) 0, At f t = 其他 的傅氏变换。 解 ( )=F( )( ) jj 0 tt f tf t edtAedt + = j ij 0 11 jjj t e ee AAA = 2 求下列函数的傅氏积分： （1） （2） （3） ( ) 22 2 1, 0,

5、1 tt f t t 1 ( ) = 0,2sin 0, 0 tte t tf t ( ) 0,1 1,10 1,01 0,1 t t f t t t = = 1|, 0 1|,1 2 t tt tf ( )( ) ii 1 2 tt f tf tedted + = () 1 2ii 1 1 1 2 tt tedted + = () 1 2i 0 1 1cos t ttdted 1 2 i 23 0 1sin2 cos2sinsin t tttttt ed + =+ + = () i 3 2 sincos1 t ed + = 3 0 4sincos cos td + = （2）满足傅氏积分定理

6、的条件，其傅氏积分公式为 ( ) = 0,2sin 0, 0 tte t tf t ( )( ) iiii 0 11 sin2 22 ttttt f tf t edtedetedt ed + = i2i2 ii 0 1 22i tt ttt ed ee eedt + = ()() () i 2i 2i 0 1 4 i ttttt eedte d + + + = () () () () 1 i 21 i 2 i 0 1 4 i1 i 21 i 2 tt t ee ed + + + + = + + ()() i 111 4 i1 i 21 i 2 t ed + = + + () () 2 24 5

7、2 i 1 cosisin 256 tt d + =+ + ()() 22 2424 5cos2 sin5sin2cos 1i 256256 tttt dd + + =+ + () 2 24 0 5cos2 sin 2 256 tt d + = + （3）函数，满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ( ) ） ，证明 | | 22 0 cos 2 t t de + = + （2），证明( )tetf t cos | | =() + = + + 0 | | 4 2 cos 2 cos 4 2 tedt t （3）证明( ) = ,|, 0 ,|,sin t tt tf 2 0 sin ,|

8、|sinsin 2 1 0,| | ttt d t + = 解 （1）( )=tF( ) | |itt f teedt + = = ii 00 2cos2 2 tt tte e etdtedt + + = ()() () () () () ii ii 00 0 ii tt tt ee eedt + + + =+=+ + 22 112 ii =+= + ( )tf的积分表达式为 ( )( ) + = deFtf ti 2 1 () 22 12 cosisin 2 tt d + =+ + 22 0 2 cos td + = + 即 | | 22 0 cos 2 t t de + = + （2）(

9、)=F( ) + + + =dte ee edtteetf t tt ttti ii | |i| | 2 cos ()()()() 00 1 i 11 i 11 i 11 i 1 00 1 2 ttt edtedtedtedt t + + + + =+ = () () () () () () () () 00 1 i 11 i 11 i 11 i 1 00 21 i 11 i 11 i 11 i 1 tttt eeee + + + 1 + + + + ()()()() 11111 2 1 i 11 i 11 i 11 i 1 =+ + 2 4 24 4 + = + ( )tf的积分表达式为 (

10、 )( ) dedeFtf tti 4 2 i 4 42 2 1 2 1 + + + + = + + + = 0 4 2 cos 4 421 td 因此有 ( ) + = + + 0 | | 4 2 cos 22 cos 4 2 tetftd t （3）( )=F( )( ) ii sin tt f tf t edttedt + = () = 0 sinsini2sinicossintdttdtttt =()() + 0 1cos1cosidttt ()() + + = 1 1sin 1 1sin i 00 tt ()()()() 2 1 1sin1sin1sin1sin i + = 2 1

11、sin i2 = ( )tf的积分表达式为 ( )( ) + + = dedeFtf tti 2 i 1 sin i2 2 1 2 1 () + =+ = 0 22 1 sinsin2 sinicos 1 sini d t dtt 因此有 ( ) + = 0 2 |, 0 |,sin 2 21 sinsin t tt tfd t 4已知某函数的傅氏变换为( )tf( )=F sin ，求该函数( )tf。 解 ( )( )() + + += dttdeFtf t sinicos sin 2 1 2 1 i () 0 sin(1)sin 11sin1 cos 22 tt tdd + + = ()

12、() + + + = 00 1sin 2 11sin 2 1 d t d t （*） 而由 + = 0 2 sin dx x x 得 当时，0u + = 000 2 sinsinsin dx x x du u u d u 当时，0 = = 1|, 0 1|, 4 1 1|, 2 1 t t t tf 5已知某函数的傅氏变换为 0 ( ) ()()F 0 =+，求该函数。 ( )tf 解 ( )( ) ii 00 11 ()() 22 tt f tFeded + =+ 00 -ii 0 cos 2 tt ee t + = 6求符号函数（又称正负号函数） 1,0 sgn 1,0| | t t t

13、tt 的傅氏变换。 解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取，且 |sgn | t dt + + / / ,0 ( )00 0 t n n t n et f tt et = = + + 0 ，则( )f t的频谱函数为 ( )F= ( ) 0/2 ii /20 22 ()() tt AA f ttA edttA e =+ dt ii 22 222 222i22i4 1 cos 22 AeeA 2 + + = 15求作如图所示的锯齿形波的频谱图。 h ( )tf t O T 2T 3T -T -3T -2T -3T ( )()Ttt T

14、h tf -i-i -i 111 ()()()()( )() atu t aa f atf at edtf at ed atf u eduF aaa a + = ； 同理时，0a -i-i -i 111 ()()()()( )() atu t aa f atf at edtf at ed atf u eduF aaa a + = = ； 综上， 1 () | f atF aa = 。 4若( )=F，证明（象函数的位移性质） ： ( )tf ( ) 0 1 j 0 () t Fef = 0 ()Ft，即( ) 0 j t ef t 。 = 证 ( )( )( ) 000 jjj()j 0 (

15、tttt ef tef t edtf t edtF ) + = 。 5若( )=F，证明（象函数的微分性质） ：( )tf( ) d F d =( ) jtf t。 证 ( ) d F d =( )( )( ) jjjt j tt dd f t edtf tedttf t edt dd + = ( )tf t j。 6若( )=F，证明（翻转性质） ( )tf ()=F()ft 证 ()( ) () () ()() () iitt Ff t edtft edt + = =() i t ft edt + = ()ft 。 7若( )=F，证明：( )tf 00 1 ( )cos ()() 2 f

16、 ttFF 0 =+， 00 1 ( )sin ()() 2j f ttFF 0 =+。 证 ( )( )( ) 00 00 jj j()j()j 0 1 ( )cos 22 tt ttt ee f ttf tedtf t edtf t ed + + + t =+ 00 1 ()() 2 FF=+； ( )( )( ) 00 00 jj j()j()j 0 1 ( )sin 2j2j tt ttt ee f ttf tedtf t edtf t edt + + = 00 1 ()() 2j FF=+。 8利用能量积分 2 1 ( )|( )| 2 2 f tdtFd + = ，求下列积分的值：

17、 （1） 2 1 cosx dx x + ； （2） 4 2 sin x dx x + ； （3） 22 1 (1) dx x + + ； （4） () 2 2 2 1 x dx x + + 解 （1） 2 1 cosx dx x + =2 2 2 2 sin sin 2 x x dxdx xx + = + = 2 1 d x x 2 sin （*） dx x xx dxe x x x x x + + = 0 i cossin 2 sinsin ()() dx x xx + + = 0 1sin1sin （*） 再由 2 sin 0 = + dx x x 得 () = = + + 1, 2 1

18、, 0 1, 2 1sin 0 dx x x ， () = + 1, 2 1, 0 1, 2 1sin 0 dx x x 所以由（*）式得 = 其他, 0 11, sin x x 因此由（*）式得 1 2 2 1 1 cos1 2 x dxd x + = （2） 22 4 22 1 sinsin 2 sin 4 xx x dxdx xx + = 22 sin1sin 2 xx dxdx xx + = 2 1sin11 22 2 x dx x + = 2 sin x d x = 1 1 2 24 1 d （3）参见本题第 4 小题。 （4） ()() 22 22 22 1 1 11 xx dxd

19、x xx + + = + () 22 2 11 1 1 dxdx x x + = + + 2 1 arctan| 12 dtx x 2 + + = = + () 2 2 11 2 1 dx x + = + 2 2 1 1 d x + i 22 11cos 111 x 2 x edxd xxx + = + x（利用留数理论计算） + = + + i , 1 iRes2Re 1 Re 2 | i 2 | i z e dt t e zt () | | iRe i1 i2Re =+= + ee e 故 () + + + = + 0 2| 22 2 2 2 1 1 1 dededt t 22 |0 2

20、= = + e 于是 () 22 1 2 2 2 = + + dt t t 。 习题四 1、证明下列各式： （1）( )( )( )( ) 1221 ftftftft=； （2）( )( )( )( )( )( ) 123123 ftftftftftft=； （3）( )( )( )( )( )( ) 121212 a ftftaftftftaft=（为常数）; a （4）( )( )( )( )tfetfetftfe ttt 2121 =（为常数）; a （5）( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 121211211222 ftftgtgtftgtftgt

21、ftgtftgt+=+； （6）( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 12 1221 dftdftd ftftftft dtdtdt = . 证 （1）( )( ) 1212 ( )()ftftff td + = ( )( ) 1221 ()( )f tu f u duftft + = ； （2）记， 23 ( )( )*( )g xf tf t= ( )( )( ) 123123 ( )()()ftftftffdf td + = 1231 ( )()()( ) ()fff tddfg td + = ( )( )( ) 112 ( )* ( ) 3 f tg tftftft=； （3）(

22、 )( ) 12121212 ( )()( )()( )()a ftftaff tdaff tdfaf td + = ( )( )( )( ) 1212 aftftftaft=； （4）( )( ) () 1212 ( )() ttt efteftefef td + = ( )( ) 1212 ( )() tt eff tdeftft + = ； （5）( )( )( )( )( )( )()() 12121212 ftftgtgtffgtgtd + +=+ ( )()( )()( )()( )() 11122122 fgtdfgtdfgtdfgtd + =+ ( )( )( )( )( )(

23、 )( )( ) 11211222 ftgtftgtftgtftgt=+； （6）( )( )( )() 1212 dd ftftfftd dtdt + = ( )() 12 d fftd dt + = ( )( ) 12 d ftft dt = ( )( )( )( )( )( ) 122121 ddd ftftftftftft dtdtdt = ( )( ) 12 d ftft dt = 因此有( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 12 1221 dftdftd ftftftft dtdtdt = 。 3 若( ) 1 0,0 ,0 t t ft et = 与( ) 2 sin ,0

24、, 2 0, tt ft = 其他; 求( )( ) 12 ftft。 解 ( )( )( )() 1212 ftftfftd + = () 2 0 eftd + = （*） 当0 2 t t时， （*）式为 ( )( )() 12 2 sin t t ftftetd = () () () () + = + i1i1i2 1 2 i1 i2 i1 i t t t t t t e e e e () ()() () + + = + + i1i1i2 1 2 i1 i1i12 i1 i tt t it t t t ee e ee e + + + = i1 i1 i1 1i i2 1 22 ee e

25、t 2 ii1i1i i2 2222 eeeee t + = += 2 1 2 e e t 当时， （*）式为 0. 0t 故有 ( )( )() 12 2 0,0 1 sincos,0 22 1, 22 t t t ftftttet e et =+ 当时 当时 当时 3若 1( ) F=( ) 1 ft ， 2( ) F=( ) 2 ft ，证明 1212 1 ( )( )( )( ) 2 f tf tFF =。 证 1i 1212 1 ( )*( )( )() 2 t FFFFded + = i()i 21 1 ()()( )2( )( 2 tt Fede Fdf tf + = 2 ) t

26、 4、求下列函数的傅氏变换. （1）( )() ( ) 0 sinf tt=u t； （2）( )( ) 0 sin t f tet u t =； （3）( )( ) 0 cos t f tet u t =； （4）( )( ) 0 jt f teu t =； （5）( )() 0 j 0 t f teu tt =； （6）( )( ) 0 jt f tet u t = 解（1）( )=F( )( )() + =dtettutf t i 0 sin( ) + =dte ee tu t tt i ii i2 00 ( ) () ( ) () = + + + dtetudtetu tt 00 ii

27、 i2 1 i2 1 = () () () () + + + 0 0 0 0 i 1 i 1 ()() 00 2 0 2 0 2 i + =()( 00 22 0 0 2 i + =) （2）( )=F( )( ) i 0 sin tt f teu ttedt + = = 00 ii i 0 2i tt tt ee eedt + ()() () 00 ii 0 1 2i tt eedt + + = () () () () 00 ii 00 00 1 2iii tt ee + + = + ()() 00 111 2iii = + () () 00 22 2 0 0 2i1 2ii i = + +

28、 （3）( )=F( )( ) i 0 cos tt f teu ttedt + = 00 ii i 0 2 tt tt ee ee + + =dt ()() () 00 ii 0 1 2 tt eedt + + =+ ()() 00 111 2ii =+ + = () 2 2 0 i i + + （4）由像函数的位移性质及( )( ) += i 1 tu得 ( ) () () 0 i 0 0 1 i t eu t = + （5）根据位移性质 () 0 i 0 t- ettu=( )( ) += i 1 0 it- etu 再根据像函数的位移性质 () () 00 0 ii 0 -t t eu

29、 tte = () () 0 0 1 i + () () () 00 i 0 0 i t e =+ （6）由微分性质得 ()( ) ( )( ) n n Ftfit= ( ) d d ttui=( )( ) += i 1 itu( ) i 1 2 += 再由象函数的位移性质得 ( ) () () 0 2 0 i i 1 0 + =ttue t 5证明互相关函数和互能量谱密度的下列性质： 21122112 ( )(), S ( )( )RRS=。 证 21121212 ( )()( )( )()()Rf tf t dtf u f uduR + =+= ； iii-i 212112121212 S

30、 ( )( )()( )( )( )RedRedRedRedS + = =。 6已知某信号的相关函数 2 | | 1 ( ) 4 a Re =，求它的能量谱密度( )S。 证 0 i2 | |ii(2 i)i(2 i) 0 11 ( )( ) 44 aa SRedeedede a d + + =+ 2 111 4 i(2 i)i(2 i)4 a aaa 2 = + + 。 7已知某波形的相关函数( )() 0 cos 2 1 =R()为常数 0 ,求这个波形的能量谱密度. 解 波形的能量谱密度 ( )( ) + + = dedeRS i 0 i cos 2 1 2 1 =()( 000 2 cos +=t) 8 若函数 1 ,0 ( ) 0, b tt f ta = 其他 a ， 与 2 1,0 ( ) 0, ta f t = 其他 ， 求 1( ) f t和 2( ) f t的互相关函数 12( ) R。 证 当| a时，; 1212 ( )( )()0Rf t f td + =+ t= 当0a时， 2 1212 0 ( )( )()() 2 a bb Rf t f tdttdta aa + =+= ; 当0a 时， 22 1212 ( )( )()() 2 ab b Rf t f tdttdta aa + =+= .