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1、名校名 推荐第八章第八讲一、选择题1(2016 郴州模拟 ) 过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于A， B 两点，点 O是坐标原点，则 | AF| |BF| 的最小值是 ( C )A 2B 2C 4D 2222设直线 AB的倾斜角为 ，可得 | AF| 1 cos ， | BF| 1cos ，则 | AF| |BF| 2241 cos 1 cos sin 2 4，故选 Cx2y22(2016 台州模拟 ) 已知 P为双曲线 C：9 16 1 上的点，点 M满足 | OM| 1，且OM PMP 到双曲线 C的渐近线的距离为 ( B)0，则当 | PM| 取得最小值时点912A 5B
2、 5C 4D 5MP| 的最小值可以转化为求| OP| 的最小由 OM PM 0，得 OM PM，根据勾股定理，求 |值，当 | | 取得最小值时， 点P的位置为双曲线的顶点 ( 3,0) ， 而双曲线的渐近线为 4x3OPy120，所以所求的距离d 5 ，故选 B3(2016 福州质检) 如图，直线y m与抛物线 y2 4x 交于点 A，与圆 ( x1) 2 y2 4的实线部分交于点B， F 为抛物线的焦点，则三角形ABF的周长的取值范围是(B)A (2,4)B (4,6)CD设 B( xB， yB) ，则 1 xB3.因为可以构成三角形ABF，所以 1xB3.因为圆的半径| BF| 2，抛
3、物线的准线方程为x 1，利用抛物线定义，| AF| 等于点 A 到直线 x 1 的距离 d，1名校名 推荐所以三角形ABF的周长 l | AF| | AB| | BF| | AF| | AB| 2 d| AB| 2 xB ( 1) 2 xB 3，故 4l 6，故选 B二、解答题4已知椭圆C： x2 2y2 4.(1) 求椭圆 C的离心率；(2) 设 O为原点，若点 A 在直线 y 2 上，点 B在椭圆 C上，且 OA OB，求线段 AB长度的最小值x2y2(1) 由题意，椭圆 C的标准方程为 4 2 1.所以 a24， b2 2，从而 c2a2b2 2.因此 a 2， c2，c2故椭圆 C的离
4、心率 e a 2 .(2) 设点 A， B 的坐标分别为 ( t, 2) ， ( x0， y0) ，其中 x00.因为 OA OB，所以 OA OB 0，2y0即 tx 0 2y0 0，解得 t x0 .2 2又 x0 2y0 4，所以| AB| 2 ( x0 t ) 2 ( y02) 2 ( x02y0) 2 ( y0 2) 2 x02224y0 x0 y02 4x02224x0x0 4 x2x0022x082 24(0 x04) ，2x0282x024(0 0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角Eaba b1形的三个顶点，点P( 3， 2) 在椭圆 E 上.2名校名 推荐(1) 求椭圆
5、E 的方程；1(2) 设不过原点 O且斜率为 2的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB的中点为M，直线 OM与椭圆 E交于 C，D，证明： | MA|MB| | MC|MD|.(1) 由已知， a 2b，x2y21又椭圆 a2 b2 1( ab0) 过点 P(3， 2) ，1342故 422 1，解得 b 1，bbx22所以椭圆 E 的方程是4 y 1.(2) 设直线l的方程为y1 (0) ， (1，1) ， (2，2) ，2x m mA xyB xy2x y2 1，4由方程组221得 x2mx 2m 2 0，y 2xm，方程的判别式为20，即22m0，解得由得x12 2
6、， 1x2 22 2，xm xm所以m的方程为y1，点的坐标为 ( ， ) ，直线Mm2OM2x2x y2 1，222由方程组4得 C( 2， D(2，2，1) 或 C() ，D( 222y 2x，22， 2 ) 所以 |5552) | | | ( 2) (2 ) (2 MCMD2m2m4m又 | | | |121555(2 2，所以 | | | | |. | 16)MAMB4AB4164mMAMBMCMDx2y21(2016 全国卷 ) 已知 A 是椭圆 E： 4 3 1 的左顶点，斜率为k( k0) 的直线交 E于 A， M两点，点 N在 E 上， MA NA(1) 当 | AM| | A
7、N| 时，求 AMN的面积；(2) 当 2| AM| | AN| 时，证明3k0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4 .又 A( 2,0) ，因此直线AM的方程为 y x 2.x2y22将 xy 2 代入 4 3 1 得7y 12y 0.解得y 0 或y 12，所以1 12.7y711212144因此 AMN的面积 S AMN2 7.2749x2y22222(2) 将直线 AM的方程 y k( x 2)( k0) 代入 4 3 1得(3 4k ) x 16k x 16k 120.16k212 4k2由 x1( 2) 34k2 得 x13 4k2，212 12k2故 | AM| | x
8、1 2|1 k 3 4k2 .1由题设，直线 AN的方程为 y k( x 2) ，故同理可得 | AN| 12k 1 k23k2 4.2k32由 2| AM| | AN| 得 3 4k2 3k2 4，即 4k6k 3k8 0.设 f ( t ) 4t 3 6t 23t 8，则 k是 f ( t ) 的零点f (t ) 12t 2 12t 3 3(2 t 1) 20，所以 f ( t ) 在 (0 ， ) 单调递增又 f ( 3) 153 260，因此 f ( t ) 在 (0 ， ) 有唯一的零点，且零点k 在 (3， 2) 内，所以3k0) 上相异两点，到y轴的距离P xyQ xypx pQ
9、 P的积为 4，且 OP OQ0.(1) 求该抛物线的标准方程；(2) 过 Q的直线与抛物线的另一交点为 R，与 x 轴的交点为 T，且 Q为线段 RT的中点，试求弦 PR长度的最小值4名校名 推荐(1) 因为 OPOQ 0，所以 x1x2 y1y2 0.又 P，Q在抛物线上，所以y21 2px1， y22 2px2，22所以 y1 y2 1 2 0，2p2py y即 y1y2 4p2，所以 x1x2 4p2.又 x1x2 4，所以 4p2 4， p 1，所以该抛物线的标准方程为 y2 2x.(2) 连接 PQ，设直线PQ过点 E( a, 0) 且方程为 x mya，x，my a消去 x 得 y2 2my 2a 0，联立2x，y 2y1 y2 2m，所以y1y2 2a.设直线 PR与 x 轴交于点 M( b, 0) 且方程为 x ny b，R( x3， y3) ，y1 y3 2n，同理可知y1y3 2b.y3b由可得 .y2a由题意， Q为线段 RT的中点，所以y3 2y2，所以 b 2a.由 (1) 知， y1y2 4，代入，可得2a 4，所以 a 2， b4，所以 y y 8.13所以 | PR| 1n2| y1 y3| 1 n2y1 y32 4y1y3 21 n2 n2 84 2.所以当n 0，即垂直于x轴时，弦长度最小，最小值为4 2.PRPR5